Exercices - Math

BTS-SIO
Les fonctions de référence
Exercices
Note :
Pour tous ces exercices vous utiliserez (si nécessaire) les logiciels géogébra et xcas pour vérifier vos réponses,
donner une réponse, argumenter vos réponses, illustrer vos réponses.
Vous enregistrerez vos travaux sur clé USB, ou sur votre ordinateur, de façon à ce qu’ils soient disponibles
pour une correction en classe.
1
Exercice
On considère les fonctions polynômes suivantes :
f1 :
f2 :
f3 :
R
x
R
x
R
x
−→ R
7−→ f (x) = 1 + x
−→ R
7−→ f (x) = 1 + x + 21 x2
−→ R
7−→ f (x) = f (x) = 1 + x + 12 x2 + 16 x3
1. Déterminer les variations de chacune de ces fonctions.
2. A partir d’un logiciel de géométrie (géogébra), conjecturer une tangente commune aux trois courbes
représentant respectivement les fonctions f1 , f2 , puis f3 . Déterminer une équation de cette tangente.
2
Exercice
Un ordinateur permet de trier n éléments en n log2 (n) secondes. Suivant la loi de Moore, les processeurs et la
capacité de mémoire des ordinateurs doublent tous les 18 mois. Combien de temps faudra-t-il alors à un
ordinateur plus puissant pour trier 2n éléments suivant la même application, en admettant que la vitesse
d’exécution sera divisée par 2 suivant la loi de Moore énoncée.
3
Exercice
Le tableau suivant présente la comparaison de temps pour des complexités d’exécution dans un algorithme de
tri sur la base arbitraire d’une ms (pour x = 1ms, log2 (1) = 0) :
log2 (x)
x
10ms
100ms
1s
10s
30s
1min20s
15min40s
x log2 (x)
x2
Compléter le tableau de valeurs.
S.Mirbel
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4
Exercice
Le tableau suivant présente l’ordre de grandeur de la complexité de problèmes algorithmique pour n entier
naturel (on choisira n > 1) :
f (n)
1
log2 (n)
n
n log2 (n)
n1,58
n2
k
n√ ; k > 2
e
exemple de problème correspondant
accès à une table
accès à un arbre de recherche
addition entière
tri récursif
multiplication récursive
multiplication élémentaire ; tri par échange consécutif
tests probabiliste de primalité
n log2 (n)
factorisations (rapides)
factorisations élémentaires
n
22
1. Montrer que pour ∀n ∈ N ∧ n > 1; log2 (n) > 1.
2. Étudier la fonction (signe de la dérivée, variations, limites):
h:
−→ R
7−→ h(x) = log2 (x) − x
[2; +∞[
x
Puis en déduire ∀n ∈ N ∧ n > 1; log2 (n) < n
3. Montrer que ∀n ∈ N ∧ n > 1; n log2 (n) > n (on pourra faire la différence des deux membres, factoriser,
puis utiliser le résultat de la première question.
4. Montrer que ∀n ∈ N ∧ n > 1; n1,58 < n2
Remarque :
le tableau présente une idée de l’échelle de complexité. En effet, par exemple, il faudrait écrire O(f (n)) et non
f (n) (notation de Landau) : si v(n) est le nombre d’itération d’une procédure, alors on a
∗
v(n) = O(f (n)) ⇐ ∃C ∈ R+
; v(n) < C.f (n)
5
Exercice
Soit la fonction f définie par :
f:
]0; +∞[
x
−→ R
7−→ f (x) = xx = ex ln(x)
et la fonction g définie par :
g:
]0; +∞[
−→ R
x
7−→ g(x) = e
√
x ln(x)
Le but de l’exercice est de comparer f (x) et g(x) pour tout nombre x de ]0; +∞[.
1. Étudier la fonction h définie par :
h:
]0; +∞[
x
−→ R
√
7−→ h(x) = x − x
1
Remarque : sqrtx = x0,5 = x 2 .
√
2. Comparer x et x.
3. Déduire de ce qui précède une comparaison de x ln(x) et
p
x ln(x).
4. En déduire une comparaison de f (x) et g(x).
S.Mirbel
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6
Exercice (extrait du BTS SIO 2013 métropole)
Le but de cet exercice est d’étudier la dépréciation d’un modèle d’ordinateur en fonction du temps écoulé,
exprimé en trimestre, depuis sa mise sur le marché.
L’entreprise conceptrice de ce modèle souhaite déterminer l’évolution trimestrielle du prix de vente de cet
ordinateur, exprimé en euro. On appelle n le nombre de trimestres écoulés depuis la mise sur le marché de ce
produit. Ainsi, à la mise sur le marché, on a n = 0.
Deux modélisations ont été retenues par cette entreprise.
Partie A : 1re modélisation
Le prix de vente initial à la mise sur le marché de ce modèle d’ordinateur est de 795 euros. Chaque trimestre,
le prix de vente de ce modèle diminue de 10 % en raison des progrès technologiques.
On note (un ) la fonction (suite) telle que, pour tout entier naturel n, un désigne le prix de vente, exprimé en
euro, de ce modèle d’ordinateur, n trimestres après sa mise sur le marché.
1. Donner u0 puis calculer u1 et u2 .
2. On admet que, pour tout entier n, on a : un = 795 × 0, 9n . On définit ainsi une fonction u :
u : N −→ R
n 7−→ u(n) = 795 × 0, 9n
Donner les variations de la fonction u.
3. À partir de combien de trimestres le prix de vente d’un tel ordinateur devient-il strictement inférieur à
300 euros :
(a) Vous proposerez un algorithme de recherche de cette valeur, puis utiliser un langage de
programmation ou une table pour la déterminer.
(b) Résoudre algébriquement l’inéquation 795 × 0, 9n < 300. Vérifier à l’aide d’un logiciel de calculs
formel.
Partie B : 2e modélisation
Le prix de vente, exprimé en euro, de ce modèle d’ordinateur au bout de n trimestres écoulés depuis sa mise
sur le marché, noté vn est donné par :
vn = 525e−0,25n + 270.
On définit ainsi une fonction v :
v:
N
n
−→ R
7−→ v(n) = 525e−0,25n + 270
1. Vérifier que le prix de vente de ce modèle d’ordinateur à sa mise sur le marché est de 795 euros.
2. Justifier des variations de la fonction v.
3. Déterminer le nombre minimal de trimestres écoulés depuis sa mise sur le marché à partir duquel le prix
de vente de ce modèle d’ordinateur deviendra inférieur ou égal à 300 euros :
(a) Vous proposerez un algorithme de recherche de cette valeur, puis utiliser un langage de
programmation ou une table pour la déterminer.
(b) Résoudre algébriquement l’inéquation 795 × 0, 9n < 300. Vérifier à l’aide d’un logiciel de calculs
formel.
Partie C : comparaison des deux modèles
1. Déterminer les prix de vente, dans chacune des modélisations, 5 trimestres après la mise sur le marché
du modèle d’ordinateur.
2. À long terme, laquelle des deux modélisations donne le prix de vente le plus bas ? Justifier la réponse.
S.Mirbel
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