UPMC 1M001 Université Pierre et Marie Curie 2014-2015

UPMC
1M001
Université Pierre et Marie Curie 2014-2015
1M001, Examen du 4 juin 2015 (2h)
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Les correcteurs tiendrons compte de la qualité de la rédaction et de la précision des raisonnements.
Cet énoncé comporte 5 exercices indépendants.
Exercice 1. Questions de cours
1. Énoncer le théorème des accroissements finis.
2. Écrire la formule de Taylor-Young à l’ordre n. Sous quelles hypothèses cette formule est-elle vraie ?
Exercice 2. On considère sur R l’équation différentielle y 0 (x) + 3y(x) = e−3x (x2 − 2), notée (E).
1. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle homogène (E0 ) : y 0 (x) + 3y(x) = 0.
2. Déterminer une solution particulière y0 (x) de (E).
3. Déterminer l’ensemble des solutions de (E).
4. Déterminer la solution de (E) qui s’annule en x = 1.
Exercice 3. Trouver les racines complexes des polynômes :
1. P (X) = X 2 + iX + 1
√
2. Q(X) = X 2 − 3X − i
Exercice 4.
1. Donner le développement limité à l’ordre 4 en x = 0 de cos(x).
2. Donner le développement limité à l’ordre 4 en x = 0 de ln(1 + x2 ).
3. Montrer que ln(1 + u) < u pour tout u > 0.
x2
2 . Montrer que f est définie, continue et dérivable sur R∗ .
4. Soit f (x) =
2
ln(1 + x ) − x2
5. Montrer que f (x) admet une limite ` en x = 0.
cos(x) − 1 +
(
6. Soit g(x) =
f (x) pour x 6= 0
`
pour x = 0
La fonction g est-elle dérivable en x = 0 ?
Exercice 5. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ] − 2 , 2 [ par h(x) =
x3
.
4 − x2
1. Étudier les variations de h sur l’intervalle ] − 2 , 2 [.
2. Montrer que h admet une fonction réciproque h−1 . Quel est le domaine de définition de h−1 ?
Quelle est son image ?
3. Sur quels intervalles ouverts h−1 est-elle dérivable ?
1
4. Calculer h(1) et (h−1 )0
.
3
5. Tracer dans un même repère les graphes des fonctions h et h−1 .