T9. Correction du Ds5. Exercice 1 (10 points) Le tableau suivant

T9. Correction du Ds5.
Suivant ce modèle, on estime qu’il y aura 61.12 millions de clients à la fin
2007.
Exercice 1 (10 points)
Le tableau suivant donne le nombre de clients du téléphone mobile en France
atteint à la fin de chaque année.
Année
Rang de l’année xi
Nb de clients (millions) yi
y
55
50
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
0
1
2
3
4
5
6
7
11,5 20,6 29,7 37,0 39,6 41,7 44,5 48,0
45
1. Déterminer le taux d’évolution du nombre de clients de téléphonie mobile
de 1998 à 2005. On arrondira le résultat à 0.1 %.
y2005 − y1998
t =
y1998
48 − 11.5
=
11.5
≈ 3.1739
30
∆
40
b
G
b
+
35
b
25
b
20
15
b
10
A
5
-1
2. Donner les coordonnées du point moyen G du nuage associé à la série
statistique. On arrondira les coefficients au dixième. On ne demande pas
de justifier.
Le point moyen a pour coordonnées (x; y).
x = 3.5, et y = 34.075.
0
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
x
7. On note A(0; 11.5) et B(7; 48) les points extrêmes du nuage.
(a) Déterminer une équation de la droite (AB) sous la forme y = ax + b.
Arrondir a et b au centième.
(AB) a une équation de la forme y = ax + b.
À la calculatrice, le point moyen est G(3.5 ; 34.1).
a
3. Représenter le nuage de points associée à la série dans un repère orthogonal. Placer le point G.
4. Déterminer une équation de la droite d’ajustement ∆ obtenue par la
méthode des moindres carrés. (Arrondir les coefficients au centième).
a ≈ 4.92 et b ≈ 16.84.
La droite de régression ∆ a pour équation y = 4.92x + 16.84.
=
=
≈
yB − yA
xB − xA
48 − 11.5
7−0
5.21
Comme (AB) passe par A(0; 11.5) (qui est sur l’axe des ordonnées), son ordonnée à l’origine est 11.5 (inutile de faire le calcul).
Donc (AB) a pour équation y = 5.21x + 11.5.
5. Tracer ∆ (justifier le tracé).
La droite ∆ passe par le point moyen G et par le point de coordonnées
(0; 16.84).
Ceci permet de la tracer.
6. En supposant que ce modèle reste valable pour 2006 et 2007, prévoir le
nombre de clients pour la fin de l’année 2007. Indiquer la méthode utilisée.
2007 correspond à x = 9.
En remplaçant x par 9 dans l’équation,
=
=
B
b
Entre 1998 et 2005, le nombre de clients a augmenté de 317.4 % environ.
y
b
b
(b) En déduire une nouvelle estimation du nombre de clients du
téléphone mobile pour la fin 2007.
On remplace toujours x par 9 puisque 2007 correspond à x = 9.
y
=
5.21 × 9 + 11.5
=
58.39
D’après ce nouveau modèle, on estime qu’il y aura 58.39 millions de
clients fin 2007.
4.92 × 9 + 16.84
61.12
1
8. À la fin de l’année 2007, on a dénombré 58.7 millions de clients du
téléphone mobile. Quelle était la meilleure estimation ?
61.21 − 58.7 = 2.42, et 58.39 − 58.7 = −0.31.
Il est clair que la seconde estimation (à partir de la droite (AB)) était la
meilleure.
4. On note R(x) la recette, exprimée en centaines d’euros, dégagée par la
vente de y logiciels au prix de x centaines d’euros.
(a) En utilisant la relation entre y et x obtenue à la question 2, montrer
que la recette R(x) a pour expression R(x) = −8.4x2 + 336x pour x
variant entre 5 et 30.
Exercice 2 (10 points)
La société INFOLOG a mis au point un nouveau logiciel de gestion destiné aux
PME. Cette société a mené une enquête dans une région auprès de 300 entreprises équipées d’ordinateurs aptes à recevoir ce logiciel, ceci afin de déterminer
à quel prix chacune de ces entreprises accepterait d’acquérir un exemplaire de
ce nouveau logiciel. Elle a obtenu les résultats suivants :
x prix proposé pour le
nouveau logiciel
en centaines d’euros
30
25
20
15
10
Recette =
R(x) =
R(x)
R(x)
=
=
prix × quantité
x×y
x × (−8.4x + 336)
−8.4x2 + 336x
On trouve en effet R(x) = −8.4x2 + 336x.
y nombre d’entreprises
disposées à acheter
le logiciel à ce prix
90
120
170
200
260
(b) Étudier les variations de la fonction R sur [5 ; 30].
R′ (x)
=
−8.4 × 2x + 336
=
−16.8x + 336
R′ (x) = 0 si −16.8x = 336, soit x =
1. Donner les coordonnées du point moyen associé à la série (on ne demande
pas de justifier).
Le point moyen a pour coordonnées (20; 168).
x
5
R′ (x)
2. Déterminer l’équation de la droite D d’ajustement affine de y en x par la
méthode des moindres carrés sous la forme y = ax + b.
Aucun détail des calculs n’est demandé, les résultats ne seront pas arrondis.
La droite D a pour équation y = −8.4x + 336.
336
= 20.
16.8
20
+
0
30
−
3360
R(x)
1470
3. En utilisant l’ajustement précédent, préciser pour quel prix de vente la
société INFOLOG peut espérer que les 300 entreprises contactées acceptent d’acquérir ce logiciel.
Arrondir le prix du logiciel à un euro.
En remplaçant y par 300, on a donc
2520
On trouve les valeurs de la recette à la calculatrice.
R(5) = −8.4 × 52 + 336 × 5 = 1470.
De même, R(20) = 3360 et R(30) = 2520.
(c) En déduire le prix de vente du logiciel, exprimé en euros, pour que
la recette R(x) soit maximale. Déterminer alors le montant de cette
recette ainsi que le nombre d’entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix.
D’après la question précédente, la recette est maximale lorsque
x = 20, c’est-à-dire si le logiciel coûte 2 000 euros.
La recette maximale est alors de 336 000 euros.
y = −8.4 × 20 + 336 = 168.
Il y a alors 168 entreprises intéressées par le logiciel.
300 = −8.4x + 336
8.4x = 36
36
x =
8.4
x ≈ 4.2857
Le prix du logiciel est exprimé en centaines d’euros : x ≈ 428.57 euros.
On estime qu’au prix de 429 euros, il y aura 300 entreprises intéressées
par le logiciel.
2