PROGRAMME DE COLLE S09 CONIQUES - MPSI Saint

MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
semaine du 3+25 novembre 2011
PROGRAMME DE COLLE S09
NB :
seules les démonstrations des théorèmes, propositions étoilées ne sont pas exigées.
CONIQUES
Définition monofocale
Définition : Soient D une droite, F ∈ P \ D et e ∈ R+⋆ . On appelle conique de foyer F , de directrice D et
MF
d’excentricité e l’ensemble Γ = Γ(F, D, e) des points M ∈ P tels que
= e.
d(M, D)
On note K le projeté orthogonal de F sur D. Le nombre p = e KF = e d(F, D) est le paramètre de Γ. Le rond
−−→
KF
RF = (F,~ı, ~), où ~ı est le vecteur unitaire ~ı =
est le repère focal.
KF
Proposition.— Equation de Γ dans le repère focal—.
Γ admet pour équation cartésienne dans le repère focal RF
x2 + y 2 = (ex + p)2
Définition : Soient D une droite, F ∈ P \ D et e ∈ R+⋆
si e = 1, la conique Γ(F, D, e) est la parabole P de foyer F et de directrice D.
si 0 < e < 1, la conique Γ(F, D, e) est l’ellipse E de foyer F , de directrice D et d’excentricité e.
si e > 1, la conique Γ(F, D, e) est l’hyperbole H de foyer F , de directrice D et d’excentricité e.
Étude de la parabole
Proposition*.— Équation réduite —. Soit (O,~ı, ~) un rond, p > 0.
La courbe P d’équation cartésienne y 2 = 2px est une parabole.
Plus précisément P est la parabole définie par la donnée de
•
•
son sommet
sa directrice
O(0, 0)
D : x = − p2
•
•
son foyer
son paramètre p
F (p/2, 0)
x
De plus, une équation cartésienne de la tangente à P au point M0 y0 est yy0 = p (x + x0 ).
0
2
Proposition.— La parabole P d’équation réduite y = 2px a pour paramétrisation
x
y
= 2p t2
= 2p t
t∈R
Étude de l’ellipse
Proposition*.— Équation réduite —. Soit (O,~ı, ~) un rond.
La courbe E d’équation cartésienne
Plus précisément si c =
•
•
x2
y2
+
= 1,
a2
b2
avec 0 < b < a est une ellipse.
√
a2 − b2 (i.e. c2 = a2 − b2 ), E est l’ellipse définie par la donnée de
ses sommets
A′ (−a, 0), A(a, 0), B(0, b) et B ′ (0, −b) •
2
2
ses directrices D : x = − ac et D′ : x = ac
•
De plus, une équation cartésienne de la tangente à E au point M0 est
F (−c, 0), et F ′ (c, 0)
e = c/a et p = b2 /a
ses foyers
et
x0 x y0 y
+ 2 = 1.
a2
b
x2
y2
Proposition.— L’ellipse d’équation 2 + 2 = 1 a pour paramétrisation
a
b
1
x =
y =
a cos t
b sin t
Proposition*.— caractérisation bifocale —.Soit E l’ellipse de foyers F et F ′ associés aux directrices D et D′ et de
demi grand axe a ∈ R+⋆ . Alors pour tout point M ∈ P, M ∈ E ⇐⇒ M F + M F ′ = 2a.
Étude de l’hyperbole
Proposition*.— Équation réduite —. Soit (O,~ı, ~) un rond.
La courbe H d’équation cartésienne
Plus précisément si c =
•
•
x2
y2
−
= 1, est une hyperbole.
a2
b2
√
a2 + b2 (i.e. c2 = a2 + b2 ), H est l’hyperbole définie par la donnée de
ses sommets
A′ (−a, 0) et A(a, 0)
2
ses directrices D′ : x = − ac et D : x =
2
a
c
•
•
ses foyers
et de
F ′ (−c, 0), et F (c, 0)
e = c/a et p = b2 /a
b
De plus H admet pour asymptotes les droites d’équations y = ± x. Enfin, une équation cartésienne de la tangente
a
x0 x y0 y
à H au point M0 est 2 − 2 = 1.
a
b
Proposition.— La branche d’hyperbole d’équations
x2
y2
− 2 = 1, x > 0 a pour parametrisation :
2
a
b
x
y
= ach t
= bsh t
Proposition*.— caractérisation bifocale —. Soit H l’hyperbole de foyers F et F ′ associés aux directrices D et D′
et de demi-axe focal a ∈ R+⋆ . Alors pour tout point M ∈ P, M ∈ H ⇐⇒ |M F − M F ′ | = 2a
Réduction des courbes algébriques de degré 2
Définition : Soit Γ, la courbe algébrique définie par l’équation (K)
discriminant de Γ, le nombre ∆ = b2 − 4ac.
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0. On appelle
Théorème*.— Soit Γ la courbe algébrique de degré 2 définie dans
(K).
• si ∆ = 0, (Γ) est de type
• si ∆ > 0, (Γ) est de type
• si ∆ < 0, (Γ) est de type
le repère orthonormé direct(O,~ı, ~) par l’équation
parabole.
hyperbole.
ellipse.
Savoir-faire :
déterminer la nature de Γ en calculant son discriminant,
déterminer l’équation réduite de Γ par changement de repères successifs.
~ J),
~ où (~ı, I)
~ = θ et θ =
a. pour éliminer les termes en xy, on se placera dans le repère polaire R = (0, I,
1
b
π
4 si a = c et θ = 2 Arctan ( a−c ) sinon.
b. pour absorber les termes en X et Y un fera un changement d’origine.
Coniques en coordonnées polaires
~ J)
~ un rond.
Proposition*.— Équation polaire —. Soit R = (O, I,
La courbe d’équation polaire ρ =
p
est une conique Γ.
1 + e cos(θ − α)
Plus précisément, Γ est la conique définie par la donnée de :
• son excentricité e, son paramètre p et son foyer O
• son axe focal, la droite d’équation polaire θ = α
p
• et de sa directrice D d’équation polaire : ρ =
e cos(θ − α)
Savoir-faire : chercher les sommets focaux de Γ en calculant ρ(α) et ρ(α + π).
2