Devoir Surveillé n 3 de Mathématiques - Tivomaths

Lycée St-Joseph de Tivoli
Premières S2 & S3
Vendredi 7 Novembre 2014
Devoir Surveillé n°3 de Mathématiques
- Fonctions de référence & Valeur absolue Durée : 1 heure 30 minutes
L’usage de la calculatrice est autorisé.
La feuille annexe est à compléter et à remettre avec la copie.
La qualité et la clarté de la rédaction entreront pour une part importante dans l’évaluation de la copie.
Exercice 1
(≈ 5 points)
Résoudre dans R les équations et l’inéquation suivantes.
(E1 ) : |7x − 3| = 11
;
(E2 ) : |1 − 5x| = |2x + 1|
Exercice 2
;
(I1 ) : 4 6 |5x + 6| < 7.
(≈ 6 points)
Soit ϕ : x ∈ R 7→ |x2 − x − 6| − |2 + x|.
1. Étudier le signe du trinôme P (x) = x2 − x − 6.

2


x
−4
si x 6 −2
2
2. À l’aide d’un tableau, démontrer que : ϕ(x) = −x + 4
si −2 < x 6 3

 2
x − 2x − 8 si x > 3
3. Résoudre dans R l’équation ϕ(x) = 1.
Exercice 3
On considère la fonction f définie sur R par f (x) =
(≈ 3 points)
1 2
x
3
+ 2x − 1.
1. Compléter le tableau de valeurs de f en annexe (page 2). On donnera les résultats sous forme d’entiers
ou de fractions irréductibles.
2. Compléter les ligne 2, 4, 5 et 7 de l’algorithme en annexe qui, à partir de la donnée d’un réel x, renvoie
la valeur de f (x).
1
3. Dans le repère orthonormé en annexe, on a tracé la courbe de la fonction T : x 7→ x2 + 2x − 1.
3
En expliquant la démarche, construire en couleur dans ce même repère la courbe Cf de la fonction f .
Exercice 4
(≈ 6 points)
Il s’agit du QCM de la page 3.
NB. Pour chacune des questions du QCM, vous devez cocher l’unique réponse exacte parmi les
propositions, sans justification.
Une case correctement cochée rapporte 1 point. Une mauvaise case cochée enlève 0,5 point. L’absence de
réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à
l’exercice est 0.
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LATEX 2ε
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Vendredi 7 Novembre 2014
Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexe de l’exercice 3.
• Tableau de valeurs de f .
x
3
0
1
3
−2
f (x)
• Algorithme.
1
Variables
:
x, t et y sont des réels
2
Entrée
:
3
Traitement
:
4
Demander à l’utilisateur un réel . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
t prend la valeur x2 + 2x − 1
3
Si t . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
y prend la valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Sinon
7
8
y prend la valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sortie
:
Afficher ”f (x) =”, y
• Courbe de f .
6
4
CT
2
−8
−6
−4
2
−2
−2
−4
Tournez SVP. . .
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QCM de l’exercice 4.
Questions
Réponses
1 :
1. La fonction x 7→ 1 − x
est strictement croissante sur ] −∞ ; 1 [
est strictement décroissante sur ] −∞ ; 1 [
n’est pas monotone sur ] −∞ ; 1 [
2. Soit a un réel strictement positif.
Dire que x ∈ [ 1 − a ; 1 + a ] signifie :
|x| 6 1 + a
|x − 1| 6 a
|x − a| 6 1
√
x2 − x > x2 − x
3. Si x est un réel de l’intervalle ] 0 ; 1 [, alors :
√
x2 − x < x2 − x
4. Si a et b sont deux réels non nuls de signes
opposés, alors :
»
(x − 1)2 = x − 1
|a − b| = |a| + |b|
|a − b| = |a| − |b|
|a + b| = |a| + |b|
5. Combien de nombres entiers relatifs
k sont
√ solutions de l’inéquation k − 2 6 3 ?
3
5
6
6. On considère une fonction g définie sur R dont la courbe dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.
10
8
6
4
2
−4
−2
2
4
6
a. Donner l’équation réduite de la droite passant par A (0 ; 4) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Donner l’équation réduite de la droite passant par B (4 ; 4) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. Donner une expression de g(x) à l’aide d’une valeur absolue : g(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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