Le cercle trigonométrique

École des Mines de Nancy
Denis Villemonais, [email protected]
Année 2014-2015
FIMGP 1A – Mathématiques
Le cercle trigonométrique (rappel)
Le cercle trigonométrique est une représentation en deux dimensions des
différentes valeurs que peut prendre le sinus et le cosinus. Le point de départ
est le schéma suivant, que l’on complète par la suite. Attention : les angles
sont mesurés dans le sens direct (contraire au sens des aiguilles d’une montre).
Pour représenter un angle dans le sens indirect, il suffit d’utiliser une valeur
négative (par exemple −π/2).
Formellement, ce schéma nous apprend que le cosinus d’un angle t correspond à l’abscisse (la position suivant l’axe horizontal) du point déterminé
par l’angle t sur le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1. Le sinus d’un angle t
correspond à l’ordonnée (la position suivant l’axe vertical) de ce même point.
Le schéma de la page suivante nous permet de repérer des valeurs particulières
du sinus et du cosinus. Les angles sont donnés en radians (valeurs comprises
entre 0 et 2π) et en degrés (valeurs comprises entre 0˚et 360˚) afin que vous
puissiez vous y référer en toute situation (dans ce cours, nous préfèrerons
utiliser les mesures en radian).
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Notons en particulier les valeurs suivantes, obtenues à partir du quartier
supérieur droit du cercle trigonométrique, et qu’il est important de retenir.
cos(0) = 1, sin(0) = 0,
√
cos(π/6) = 3/2, sin(π/6) = 1/2,
√
√
cos(π/4) = 2/2, sin(π/4) = 2/2
√
cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = 3/2,
cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1.
Enfin, l’utilisation du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations
suivantes (rappelons que la première relation est obtenue par le théorème de
Pythagore, les suivantes par jeu de symétrie sur le cercle trigonométrique).
Ces relations peuvent également être démontrées grâce aux formules de trigonométrie. Pour tout t ∈ [0, 2π],
cos2 (t) + sin2 (t) = 1,
cos(−t) = cos(t) et sin(−t) = − sin(t),
cos(π + t) = cos(π − t) = − cos(t) et sin(π + t) = − sin(π − t) = − sin(t),
cos(π/2 − t) = sin(t) et sin(π/2 − t) = cos(t).
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