Eléments de correction du devoir surveillé – 1ière S3

Eléments de correction du devoir surveillé – 1ière S3
Exercice nº1
(2 points)
a. Les mesures d’un même angle de vecteurs sont d’une part
3
2

;  2 et
7
2
.

2
;

7
2
;

3
2
et
5
2
, et d’autre part
(un cercle trigonométrique est très utile)
b. Dans l’intervalle [0 ; 8π], il y a 4 mesures différentes pour un angle de vecteurs ayant comme


 

mesure 2 :
;  2 ;  4 ;  6 . (un cercle trigonométrique est très utile)
2
2
2 2
Exercice nº2
(6 points)
a. La suite  un  est géométrique de raison 0,98 et de premier terme 31 milliard. Diminuer de 2
% par an revient à multiplier par 1-0,02 un terme pour passer au terme suivant.
n
9
n
b. un  u0 q  3110  0,98
c. en 2025, n  2025  2007  18
u18  31109  0,9818  2,154919526 1010
La consommation mondiale en 2025 sera d’environ 21,5 milliards de barils.
d. Déterminer la consommation de pétrole de 2007 à 2025.
1  0,9819
u0  u1  ...  u18  31109 
 1,55 1012 1  0,9819   4,94 1011
1  0,98
La consommation de pétrole de 2007 à 2025 est d’environ 494 milliards de barils.
e. En 2007, on évalue les quantités de pétrole restantes à exploiter à 1 238 milliards de barils.
n 1
9 1  0,98
Sn  u0  u1  ...  un  3110 
 1,55 1012 1  0,98n1 
1  0,98
A l’aide de ma calculatrice, lorsque S78  1235 109 et S79  1242 109
En 2086 l’énergétique de la planète….ne sera plus pétrolière (sur les bases de cet exercice)
Exercice nº3
(6 points)
Partie A
a. cos x = –
3
2
5

 x  6  2 k

à l’aide du cercle trigonométrique, on a ou
où k 

5
x  
 2 k
6

b. sin 3x = 1 à l’aide du cercle trigonométrique, on a 3x 

2
 2k où k 
ainsi, on a x 

6

2 k
où k 
3
Partie B
a. Résoudre dans ℝ l’équation d’inconnue u :
2u2 + u – 1 = 0
  b2  4ac  9  0
il y a deux solutions réelles u1 
b  
4
b   2 1
   1 et u2 
 
2a
4
2a
4 2
2sin2 x + sin x – 1 = 0
b. En déduire les solutions de l’équation d’inconnue x :
en posant u  sin x on obtient l’équation du a., ainsi
sin x  0,5
sin x  1
ou
x

2


 x  6  2 k

où k 
ou

5
x 
 2 k
6

 2k où k 

5
 

 2k : k  
ainsi les solution sont   2k ;  2k ;
6
6
 2

Exercice nº4
(6 points)
Camille est championne de gymnastique. Elle veut tenter un triple saut périlleux sur un trampoline.
Départ arrêté, son premier bond l’élève à 1 m de hauteur, puis la hauteur de chaque bond l’élève aux
5
du bond précédent.
4
On désigne par un la hauteur en centimètres du nième bond et par u1  100 cm la hauteur du premier
bond.
5
625
5
u3  125 
 156, 25
et
a. u2  100  125
4
4
4
5
et de premier terme 100. On passe d’un terme au
b. La suite (un) est géométrique de raison
4
n 1
5
5
n 1
terme suivant de la suite en multiplier par
. On a un  u1  q  100   
4
4
5
5
c. Au rebond, n  6 : u6  100     305
4
La hauteur au 6e rebond est d’environ 305 cm à 1 cm près.
d. Camille a besoin de 3 m par saut périlleux. Pour un triple saut périlleux, elle a besoin de 9 m.
Comme u10  745 et u11  931 , elle devra effectuer au moins 11 bonds avant de tenter
l’exploit du triple saut.
6e