FONCTIONS 1) Limites 1-1 méthodes pour lever une

Mathématiques BTS1 CIRA
FONCTIONS
1) Limites
1-1
méthodes pour lever une indétermination
au voisinage d’un infini
x+1
Exemple1 f (x) = 2
Quelle est la limite en +∞ ?
x + 3x + 1
On factorise par les monômes dominants
f (x) =
1 + x1
x
×
x2
1 + x3 +
1
x2
=
1 + x1
1
×
x 1 + x3 +
1
x2
On a alors facilement lim f (x) = 0
x→+∞
Exemple2 f (x) = ex − x + 1 Quelle est la limite en +∞ ?
On factorise par la quantité majoritaire : f (x) = ex × 1 −
x
ex
+
1
ex
.
x
puis on utilise les résultats du terminale : lim e = +∞ et
x→+∞
ex
= +∞ donc lim f (x) = +∞
lim
x→+∞
x→+∞ x
au voisinage d’un point
x+1
Peut-on parler de la limite en -2 ?
Exemple1 f (x) =
x+2
Il faut distinguer deux cas : en -2 par valeurs supérieures noté
lim et en -2 par valeurs inférieures noté lim . Le numérateur
x→−2+
x→−2−
tend vers -1 dans les deux cas donc
lim f (x) = −∞ et
x→−2+
lim f (x) = +∞
x→−2−
avec des racines carrées
p
Exemple1 f (x) = x
x2 + 1 − x Quelle est la limite en +∞ ?
On utilise souvent la quantité conjuguée pour écrire autrement
√
une expression contenant des
p
√x2 + 1 + x
1
2
f (x) = x
x +1−x × √
= x× √
=
2
2
x +1+x
x +1+x
1
1
q
donc lim f (x) =
x→+∞
2
1+ 1 +1
x2
1-2
Asymptotes
Horizontale
Si
lim f (x) = a ∈ R alors on dit que Cf admet une asymptote horizontale d’équation y = a au
x→+∞
voisinage de +∞. On aura une définition analogue au voisinage de −∞.
x+1
Exemple1 f (x) =
on a : lim f (x) = 1 donc Cf admet une asymptote
x→+∞
x+2
horizontale d’équation y = 1. Il convient ensuite d’étudier la position de la
courbe Cf par rapport à son asymptote en étudiant le signe de la différence
f (x) − 1
Verticale
Si lim f (x) = ±∞ alors on dit que Cf admet une asymptote verticale d’équation x = x0
x→x0
[Stéphane LE METEIL 4-11-2005]
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x+1
on a : lim f (x) = −∞ et lim f (x) = +∞ donc
x→−2+
x→−2−
x+2
on dit que Cf admet une asymptote verticale d’équation x = 2
Exemple1 f (x) =
Oblique
S’il existe des constantes réelles m et p telle que si lim [f (x) − (mx + p] = 0 alors on dit que Cf admet
x→+∞
une asymptote oblique d’équation y = mx + p
5
x2 + 1
on a : f (x) = x − 2 +
x+2
x+2
lim [f (x) − (x − 2)] = 0 donc Cf admet une asymptote oblique
Exemple1 f (x) =
donc
x→+∞
d’équation y = x − 2. Il convient ensuite d’étudier la position de la courbe Cf
par rapport à son asymptote en étudiant le signe de la différence f (x) − (x − 2)
2) Continuité
2-1
Définitions
En a
On dit d’une fonction f qu’elle est continue en a lorsque lim f (x) = f (a)
x→a
Sur I
Lorsqu’une fonction est continue en tout point d’un intervalle I alors on dit qu’elle est continue sur I
2-2
Propriétés
L’image d’un intervalle par une fonction continue est encore un intervalle
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, notons J l’intervalle image ; pour tout y ∈ J, il existe
au moins une solution x dans I à l’équation y = f (x)
2-3
Fonctions réciproques
Si f est continue sur un intervalle I et strictement croissante sur ce même intervalle I alors pour tout
y ∈ J = f (I), il existe exactement une solution x dans I à l’équation y = f (x).
[Stéphane LE METEIL 4-11-2005]
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Comme à chaque y de J, on associe l’unique solution x de l’équation y = f (x), on définit une fonction
de J vers I. Cette fonction ainsi créée se nomme fonction réciproque de f . On la note f −1 .
Le graphe de f est l’ensemble des points M (x, y) tels que y = f (x), le graphe de f −1 est l’ensemble des
N (y, x) tels que y = f (x). Pour obtenir le second à partir du premier, il suffit d’échanger les rôles d’x et
d’y. Les deux graphes sont donc les images l’un de l’autre par la symétrie d’axe ∆ d’équation y = x
exp/ln
1
qui s’annule pour x = 1, définie sur I = R+
∗.
x
Elle est donc strictement croissante sur I. On a lim `n x = −∞ et lim `n x = +∞ donc J = f (I) = R.
La fonction `n est définie comme unique primitive de x 7→
x→0+
x→+∞
La fonction réciproque est donc définie sur R, elle se nomme exp.
Si y = `n(x) alors x = exp(y), on note x = ey .
arcsin, arccos, arctan
−π +π
;
.
La fonction sin est continue et strictement croissante sur I =
2
2
Lorsque x décrit I, sin(x) décrit tout l’intervalle J = [−1; 1]. Elle admet donc
sur J une fonction réciproque, appelée arcsin.
La fonction cos est continue et strictement décroissante sur I = [0; π]. Lorsque
x décrit I, cos(x) décrit tout l’intervalle J = [−1; 1]. Elle admet donc sur J
une fonction réciproque, appelée arccos.
La fonction
tan est continue et strictement croissante sur
−π +π
I =
;
. Lorsque x décrit I, tan(x) décrit tout
2
2
l’intervalle J = R. Elle admet donc sur J une fonction
réciproque, appelée arctan.
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3) Dérivabilité
3-1
Définitions
Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a, on dit que f est dérivable en a lorsque
f (x) − f (a)
lim
est un nombre réel. Lorsqu’il existe, on le nomme nombre dérivée de f en a et on
x→a
x−a
le note f 0 (a).
√
+
+
+
Exemple1 : on considère
√
√ la fonction
√
√f définie
√ sur√R par f (x) = x. soit a ∈ R∗ , on a pour tout x ∈ R :
f (x) − f (a)
x− a
x− a
x+ a
1
f (x) − f (a)
1
√ =√
√ donc lim
=
=
×√
= √ .
x→a
x−a
x−a
x−a
x−a
x+ a
x− a
2 a
Le nombre dérivé de la fonction f : x 7→
√
1
1
x en a est √ , on écrit f 0 (a) = √
2 a
2 a
Fonction dérivée
Lorsque f est dérivable en tout point d’un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui
a tout nombre a ∈ I fait correspondre le nombre f 0 (a) se somme fonction dérivée de f et est notée f 0 .
3-2
Interprétations
graphique
f (x) − f (a)
représente la pente de la corde entre les points A(a, f (a)) et M (x, f (x)). Lorsque
x−a
x tend vers a, le point M se rapproche du point A, à la limite la corde devient la tangente en A à la
courbe représentant f .
La quantité
Lorsque lim
x→a
f (x) − f (a)
est un réel, c’est la pente de la tangente en A(a, f (a)) à Cf .
x−a
cinématique
Si f (t) décrit le déplace d’un mobile le long d’un axe au cours du temps t alors f 0 (a) correspond à la
f (x) − f (a)
vitesse instantanée de ce mobile à l’instant t = a. En effet :
correspond à une différence de
x−a
position/une différence de temps, c’est la vitesse moyenne entre les instants a et x. Lorsque x tend vers
a, la vitesse moyenne devient la vitesse instantanée en a.
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3-3
Formulaires
Fonction
Dérivée
Fonction
Dérivée
ax + b
a
u+v
u0 + v 0
xα
αxα−1
k.u
k.u0
`n x
1
x
u×v
u0 × v + u × v 0
ex
ex
1
u
−u0
u2
cos(ωx)
−ω sin(ωx)
u
v
u0 × v − u × v 0
v2
sin(ωx)
+ω cos(ωx)
√
u0
√
2 u
tan(ωx)
ω(1 + tan2 (ωx))
u
uα
αuα−1 × u0
arcsin x
√
1
1 − x2
`n u
u0
u
arccos x
√
−1
1 − x2
eu
eu × u0
f (u(x))
f 0 (u(x)) × u0 (x)
arctan x
1
1 + x2
Remarque : pour passer de la dérivée de f (x) celle de f (u(x)), il suffit donc de remplacer les x par des
u(x) et de multiplier le résultat par u0 (x)
1
2
0
Exemple1 : (arctan(2x)) =
× (2x)0 =
1 + (2x)2
1 + 4x2
3-4
Variations
Croissance, décroissance, constance
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
Si pour tout x ∈ I, f 0 (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I
Si pour tout x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0 alors f est croissante sur I
Si pour tout x ∈ I, f 0 (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I
Si pour tout x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0 alors f est décroissante sur I
Si pour tout x ∈ I, f 0 (x) = 0 alors f est constante sur I
Extremum, point d’inflexion
Si sur un intervalle la dérivée s’annule en changeant de signe alors on dit que f admet un extremum local.
Si la dérivée est négative, s’annule puis est positive alors il s’agit d’un minimum local
Si la dérivée est positive, s’annule puis est négative alors il s’agit d’un maximum local
Si la dérivée s’annule sans changer de signe alors c’est un point d’inflexion
[Stéphane LE METEIL 4-11-2005]
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