1. a. Puisque lim 0 lim lim ( ) e et e alors f x = = +∞ = −∞ De même

Exponentielle u(x)
1. a. Puisque lim e x = 0
x →−∞
De même lim e x = +∞
x →+∞
et
et
Solution
lim e− x = +∞ alors lim f ( x) = −∞
x →−∞
x →−∞
lim e − x = +∞ alors lim f ( x) = +∞
x →+∞
x →+∞
b. Calculons la dérivée, ∀x ∈ R , f ′ ( x ) =
1 x −x
(e + e )
2
1
La fonction exponentielle est strictement positive sur R , donc ∀x ∈ R , f ′ ( x ) = (e x + e− x ) > 0
2
La fonction f est strictement croissante sur R .
2. a. f (0) = 0 et f '(0) = 1 , donc l’équation de la tangente T à la courbe (C) au point d’abscisse 0
est y = x
b. ∀x ∈ R , d '( x) = f ′ ( x ) − 1 =
1 x −x
e− x 2 x
e− x x
x
e + e ) −1 =
(e − 2e + 1) =
(e − 1) 2 > 0
(
2
2
2
Puisque d (0) = 0 , alors
si x ∈ ]−∞ , 0 [ , d est négative et la courbe (C) est en dessous de la tangente T
si x ∈ ] 0, + ∞ [ , d est positive et la courbe (C) est en dessous de la tangente T
c. Tracé de la courbe (C) et de la tangente T
© Gérard Hirsch – Maths54
Exponentielle u(x)
Solution
1) lim e − x = +∞ et lim x (1 + e − x ) = +∞ d ' où lim ln(1 + e− x )  = +∞
x →−∞
x →−∞
x →−∞
lim e − x = 0 et lim x (1 + e − x ) = 1 d ' où lim ln(1 + e − x )  = ln1 = 0
x →−∞
x →+∞
x →+∞
2) La fonction ϕ : x a 1 + e− x est continue, dérivable et strictement positive sur R , donc la
fonction f : x a ln ϕ = ln(1 + e− x ) est continue et dérivable sur R .
∀x ∈ R, f '( x) =
−e − x
< 0 puisque e − x > 0
−x
1+ e
La fonction f est strictement décroissante sur R
3) ∀x ∈ R , f ( x) = ln(1 + e− x ) = ln e − x (e x + 1)  = ln(e − x ) + ln(1 + e x ) = − x + ln(1 + e x )
Puisque lim e x = 0 et lim (1 + e x ) = 1 donc lim ln(1 + e x ) = ln1 = 0
x →−∞
x →−∞
x →−∞
Alors lim [ f ( x) − (− x) ] = 0 = lim ln(1 + e x ) = 0
x →−∞
x →−∞
La droite ∆ d’équation y = − x est asymptote à la courbe Γ en −∞ .
Tracé de la courbe Γ et de la tangente ∆
© Gérard Hirsch – Maths54