Annales du concours TSS ISSEA 2004-2007

BP. 294 - Yaoundé (Rép du Cameroun) Tél. (237) 222.01.34 Fax (237) 222.95.21 e-mail : [email protected]
Résoudre dans :
1)
x + 24 + x + 3 + x + 8 = 0 .
2)
x + 24 − x + 3 − x + 8 = 0 .
3) x − 1 ≤ x 3 − 1 .
Soit, dans , le polynôme P( x) = 6( x − a)( x − b) + 3a ( x − b) + 2b( x − a) où a et b sont des nombres réels non
nuls.
1) Calculer P(0), P(a) et P(b).
2) Déterminer le signe de P(0), P(a) et P(b) dans les cas suivants :
α) 0 < a < b
β) a < 0 < b
3) En déduire l’existence dans , des racines de l'
équation P(x) = 0 et leurs positions par rapport à a et b
dans les cas α et β.
( x − 2) 2
.
x −1
c
1) Déterminer les réels a, b et c tels que f ( x) = ax + b +
.
x −1
En déduire que la courbe ( ) de f admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation .
2) Etudier f et tracer ( ) dans un repère orthonormé (O, i, j ) .
on considère la fonction numérique f définie par : f ( x) =
3) On considère dans le repère (O, i, j ) la droite (∆) passant par le point I de coordonnées ( -1, 0) et de
coefficient directeur a.
a) Déterminer l’équation cartésienne de (∆).
b) On veut déterminer le nombre de points d’intersection de ( ) et (∆). Montrer que ceci revient
à chercher le nombre de racines dans , suivant les valeurs de a, de l’équation :
(a − 1) x 2 + 4 x − (a + 4) = 0 .
Déterminer ce nombre de points d’intersection.
c) Dans le cas où (∆) coupe ( ) en deux points A et B, déterminer les coordonnées du milieu M
de [AB]. ( Utiliser l’expression de la somme des racines d’une équation du second degré).
d) En éliminant a entre les coordonnées de M, montrer que l’ensemble (
de ces points M est
2
inclus dans la courbe ( ’ ) d’équation y = x − 1 −
x
2
e) Etudier la fonction g : x
x − 1 − , tracer ( ’ ) et indiquer (
x
Soit E2 un plan vectoriel et f l’endomorphisme de E2 défini par :
f (i ) = 2i + 5 j et f ( j ) = −3i + j .
1) Ecrire la matrice de f dans la base ( i, j ) .
2) Soit v( x, y ) un vecteur de E2 et v '
(x '
, y'
) son image par f. Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y.
3) Déterminer le noyau de f. Que peut-on en déduire pour f ?
4) Montrer que f (i ), f ( j ) est une base de E2 et déterminer les coordonnées de v dans cette base.
(
)
5) Soit g l’application linéaire qui à tout vecteur v = xi + y j fait correspondre le vecteur v1 = x1 i + y1 j
avec x1 = x + ay et y1 = bx + cy
a, b et c étant des constantes réelles. On pose h = g o f.
a) Donner la matrice de h dans la base ( i, j ) .
b) Peut-on déterminer a, b et c tels que h soit une homothétie vectorielle ? ( On rappelle que h est
une homothétie vectorielle lorsqu’il existe un réel k non nul tel que pour tout vecteur v de E2,
h(v) = kv ).
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