Devoir surveillé Examen X Session: principale de contrôle X Matière

Devoir surveillé
Examen X
Matière :
MECANIQUE
Enseignant(s) :
Nébil BEN NESSIB et Adel GHARBI
Filière(s) :
MPI
Barème : Exercice : 7 pts et Problème : 13 pts
Nombre de pages :
Deux pages
Session: principale
de contrôle X
Semestre: Premier
Date:
07/07/07
Durée:
1h 30mn
Documents: autorisés
non autorisés X
Exercice : (Base de Serret-Frenet)
G G G
Soit un point matériel M qui se déplace dans un référentiel orthonormé direct (O, i , j , k )
suivant la loi :
⎧
⎛π ⎞
⎪ x(t ) = 1 − 4 cos ⎜ 2 t ⎟
⎝ ⎠
⎪
⎪
⎛π ⎞
⎨ y (t ) = 1 + 4sin ⎜ t ⎟
⎝2 ⎠
⎪
2
⎪ z (t ) = t − 4
⎪
⎩
1°)
G
a/ Calculer le vecteur vitesse v .
b/ En déduire son module v.
G
c/ Trouver le vecteur tangent T .
G
2°) Calculer le vecteur accélération a .
3°) Calculer la position du point matériel M et le rayon de courbure ρ de la trajectoire en M à
l’instant t = 2 secondes.
Problème : (Barre en rotation)
G JG JJG
Soit un référentiel absolu (fixe) R(O, X, Y, Z) = R (O, I , J , K ) et une barre Ox horizontale en
rotation autour de OZ avec une vitesse angulaire ω constante positive.
G G G
On associe à cette barre un référentiel relatif (mobile) R’(O, x, y, z)= R’ (O, i , j , k ) .
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Un point matériel M de masse m peut glisser sans frottement sur (Ox). Ce point est soumis en
G
outre à une force proportionnelle au vecteur OM telle que f = λ OM . On suppose qu’à l’instant
de date t = 0, le point M est au repos et admet comme abscisse x = x0.
Ζ
ω
g
y
Ο
Y
Μ
X
x
1°) Quelles sont les forces qui agissent sur le point M dans le repère relatif R’ ?
2°)
a/ Appliquer, dans le repère relatif R’, la relation fondamental de la dynamique au
point M.
G
b/ Déterminer les composantes de la réaction R de la barre en M.
c/ En déduire l’équation différentielle de mouvement du point M par rapport à la barre.
On suppose que le coefficient λ est positif (λ > 0).
d/ Déterminer la solution de l’équation différentielle du mouvement du point M.
On rappelle que la solution de l’équation différentielle y − Ω 2 y = 0 est de la forme
x = x(t ) = AeΩt + Be− Ωt .
Ω, A et B sont des constantes à déterminer en fonction de x0, ω, λ et m.
Bon Courage
"
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