Première S Chapitre 1 : Géométrie plane

Première S
Chapitre 1 : Géométrie plane
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1. la colinéarité de deux vecteurs
Définition :
→
→
→
→
u et v deux vecteurs non nuls sont colinéaires ⇔ il existe un réel k, non nul tel que u = k v
Propriété
→ →
→
→
→→
On pose OI = i et OJ = j alors le repère (O; i , j ) est aussi le repère (O, I, J).
→  x  →  x' 
Les vecteurs u   et v   sont colinéaires ⇔ xy’ – x’y = 0
y
 y' 
Démonstration :
→
→
→
→
→
→
Si u = 0 , on a 0×y’ – x’×0 = 0 donc vrai
Si v = 0 , on a x×0 – 0×y = 0 donc vrai
→
→
→
→
Si u ≠ 0 et v ≠ 0 , alors il existe un réel k, non nul tel que u = k v donc x = kx’ et y = ky’ d’où
xy’ – x’y = x×ky - kx×y = kxy – kxy = 0 CQFD.
2. vecteur directeur d’une droite
Définition :
→
Dire qu'un vecteur u non nul un vecteur directeur d’une droite d signifie qu'il existe deux points A
→
→
et B de d tels que u = AB
Exemple : soit la droite d d’équation y = 2x – 1. elle passe par les points A(1,1) et B( 3 ; 5).
→
→
Un vecteur directeur de d est AB (2 ; 4) ou encore u (1 ;2)
Conséquences:
→
•
→
u et v sont des vecteurs directeurs respectifs de deux droites d et d' sont parallèles si, et
→
→
seulement si, u et v sont colinéaires.
→
•
La droite d passant par un point A et de vecteur directeur u est l’ensemble des points M tels
→
→
que les vecteurs u et AM sont colinéaires.
→
→
Autrement dit : M appartient à d ⇔ u et AM sont colinéaires.
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3. équation cartésienne d’une droite
Propriété:
Les coordonnées (x; y) de tous les points M d'une droite d vérifient une équation de la forme :
ax + by + c = 0 avec a, b et c qui sont des réels tels que (a ; b) ≠ (0 ; 0).
Une telle équation s’appelle une équation cartésienne de d.
Démonstration :
→α
Soit une droite d passant par un point A(xA ; yA) et de vecteur directeur (non nul) u  
β
Pour tout point M(`x ; y) du plan,
NB : Une droite d admet une infinité d’équations cartésiennes, dont les coefficients sont deux à
deux proportionnels.
Propriétés :
Soit des réels a, b, c, a', b' et c' avec (a ; b) ≠ (0 ; 0) et (a’ ;b’) ≠ (0;0).
→ -b 
L’ensemble des points M(x ; y) vérifiant ax + by + c = 0 est une droite de vecteur directeur u  
 a
Les droites d et d 'd’équations respectives ax + by + c = 0 et a’x + b'y + c’= 0 sont parallèles si,
et seulement si, (a ; b) et (a' ; b') sont proportionnels.
Exemples :
→2 
la droite d passant par un point A(-2 ; 3) et de vecteur directeur (non nul) u  
5
→  x+2  →  2 
 et u   sont colinéaires
M est un point de d ssi AM 
 y-3 
5
⇔ 5(x+2) – 2(y – 3) = 0 ⇔ 5x – 2y + 16 = 0
 -4 
• La droite D d’équation: 3x + 4y - 10 = 0 admet comme vecteur directeur u  
 3 
• Soit d d’équation cartésienne : 2x - y + 3 = 0 et d': -4x + 2y +1 = 0
•
→
→
Alors d et d’ sont parallèles, car les vecteurs directeurs respectifs u (1 ; 2) et u’ (- 2 ; - 4) sont
colinéaires ou les coefficients a, b = 2, -1 et a’, b’ = - 4, 2 sont proportionnels
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4. Lien entré équation réduite et équations cartésiennes
Propriété
Soit D une droite d’équation ax + by + c = 0 avec a et b non nuls en même temps.
Si b = 0, alors D est une droite parallèle à l'axe des ordonnées, Elle admet une équation
réduite de la forme : x = k, où k est un réel.
0
Le vecteur de coordonnées   est alors un vecteur directeur de D.
1
• Si b ≠ 0, alors D est une droite qui admet une unique équation réduite de la forme
y = mx + p, où m est le coefficient directeur de D et p est l’ordonnée à l’origine de D.
1
Le vecteur de coordonnées   est alors un vecteur directeur de D.
m
•
démonstration
Soit D une droite d’équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0).
Si b = 0 alors a ≠ 0.
L’équation ax + by + c = 0 est équivalente à: ax + c = 0, c’est-à-dire: x = -
c
a
0 
0
Un vecteur directeur est donc   . Le vecteur de coordonnées   est colinéaire à ce vecteur
a
1
et non nul : donc il dirige D.
a
c
Si b ≠ 0 : l’équation ax + by + c = 0 est équivalente à: y = - x + (- )
b
b
a
Le coefficient directeur m de D est: m = - .
b
 -b 
On sait que le vecteur de coordonnées   est un vecteur directeur de D. Le vecteur de
 a
1
 
a
coordonnées (1 ; - .) c’est-à-dire   est colinéaire à ce vecteur et non nul : donc il dirige D.
b
 m
5. Décomposition d'un vecteur
→
→
Théorème : Soit u et v deux vecteurs non colinéaires du plan.
→
→
→
→
Alors pour tout vecteur wdu plan, il existe un couple unique de réels (α;β) tels que: w = α u + β v
→
→
→
Le couple (α;β) est appelé couple des coordonnées du vecteur w dans la base formée par u et v
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Démonstration :
Synthèse
Équation cartésienne
ax + by + c = 0 avec a et b non nuls en
 -b 
même temps, de vecteur directeur  
 a
ax + by + c = 0 avec a et b non nuls en
 -b 
même temps, de vecteur directeur  
 a
Équation réduite
0
Si b = 0 alors x = k de vecteur directeur  
1
La droite est parallèle à l’axe des ordonnées.
Si b ≠ 0 alors y = mx + p de vecteur directeur
1 
  La droite est sécante à l’axe des ordonnées.
 m
La droite est parallèle à l’axe des ordonnées.
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