Sujets de bac

Sujets de bac : Droites et plans dans l’espace
L’espace est rapporté à un repère ; ; ; orthonormé. Soit un nombre réel.
On donne les points 8; 0; 8, 10; 3; 10 ainsi que la droite d’équations paramétriques
5 3
1 2
Sujet n°1 : Polynésie – septembre 2003
1)
2
a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite Δ définie par et .
b. Démontrer que et Δ sont non coplanaires.
a. Le plan est parallèle à et contient Δ. Montrer que 2; 2; 1 est un vecteur normal à .
Déterminer une équation cartésienne de .
b. Montrer que la distance d’un point quelconque ! de à est indépendante de !.
c. Donner un système d’équations paramétriques de la droite définie par l’intersection de avec le
plan .
3) La sphère " est tangente à au point #10; 1; 6. Le centre Ω de " se trouve à la distantce & 6 de du
même côté que . Donner une équation cartésienne de ".
2)
Sujet n°2 : Polynésie – juin 2006
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration
de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ; ; ; , on donne les points 0; 0; 2 ; 0; 4; 0 et #2; 0; 0
On désigne par ( le milieu du segment )#*, par , l’isobarycentre des points , et #, et par . le projeté
orthogonal du point sur le plan #.
0 est le plan ( ».
. #
Proposition 1 : « l’ensemble des points ! de l’espace tels que !
0 0!
0 est la sphère de
!#
!#
Proposition 2 : « l’ensemble des points ! de l’espace tels que 0!
diamètre )#* ».
Proposition 3 : « le volume du tétraèdre # est égal à 4 ».
Proposition 4 : « le plan # a pour équation cartésienne 2 2 4 et le point . a pour coordonnées
13 ; 3 ; 35. »
2 4 2
Proposition 5 : « la droite #, admet pour représentation paramétrique Sujet n°3 : Réunion – juin 2006
6
26 6 7 8 ».
2 26
Pour chacune des questions 1,2,3 et 4, parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont
fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations qu’il pense exactes.
Aucune justification n’est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur 1 point.
Toute réponse juste rapporte 0,5 point. Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal ; ; 1) Soit 9 le plan d’équation 2 3 4 1 0.
a. La distance du point au plan 9 est égale à 1.
:
b. La distance du point au plan 9 est égale à <3
√
c. Le vecteur 11; < ; 25 est un vecteur normal au plan 9.
d. Le plan > d’équation 5 2 0 est parallèle au plan 9.
=
2) On désigne par 9 le plan d’équation 2 0, et par ? la droite passant par le point 1 ; 1 ; 1 et
de vecteur directeur @
1; 4; 2.
a. La droite ? est parallèle au plan 9.
b. La droite ? est orthogonale au plan 9.
c. La droite ? est sécante avec le plan 9.
16
d. Un système d’équations paramétriques de ? est 1 46
1 26
6 7 8
3) On désigne par A l’ensemble des points ! ; ; tels que : 3 et 2 1. Soit le point
1 ; 1 ; 1.
a. L’ensemble A contient un seul point, le point .
b. L’ensemble A est une droite passant par .
c. L’ensemble A est un plan passant par .
d. L’ensemble A est une droite de vecteur directeur @
1; 3; 2.
4) #? est un tétraèdre quelconque. Soit 9 le plan passant par et orthogonal à la droite #.
a. Le plan 9 contient toujours le point ?
b. Le plan 9 contient toujours la hauteur . du triangle #.
. #
.
. #
c. Le plan 9 est toujours l’ensemble des points M de l’espace tels que : !
d. Le plan 9 est toujours le plan médiateur du segment )#*.
L’espace est rapporté au repère orthonormal ; ; ; .
On considère les plans et B d’équations respectives :
0 et 2 3 4 0
1) Montrer que l’intersection des plans et B est la droite ? dont une représentation paramétrique est :
4 26
4 6 6 7 8
6
2) Soit E un nombre réel.
On considère le plan F d’équation 1 E E2 3 4 0.
a. Vérifier que le vecteur 1 E; 1 2E; 1 est un vecteur normal du plan F .
b. Donner une valeur du nombre réel E pour laquelle les plans et F sont confondus.
c. Existe-t-il un nombre réel E pour lequel les plans et F sont perpendiculaires ?
3) Déterminer une représentation paramétriques de la droite ?G, intersection des plans et H:.
Montrer que les droites ? et ?G sont confondues.
4) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
On considère le point 1; 1; 1.
Déterminer la distance du point à la droite ?, c’est-à-dire la distance entre le point et son projeté
orthogonal sur la droite ?.
Sujet n°4 : Réunion – septembre 2010
Sujet n°5 : Polynésie – septembre 2011
Partie A
< AI
. AI
.
On rappelle que pour tous les points A et I de l’espace, AI < AI
Soient et deux points distincts de l’espace et ( le milieu de )*.
1) Démontrer que, pour tout point ! de l’espace, on a :
1
!< !< 2!( < <
2
2) Déterminer la nature de l’ensemble A des points ! de l’espace tels que
!< !< <
Partie B
L’espace est rapporté à un repère orthonormal ; ; ; .
On considère les plans 9 et > d’équations respectives : 3 4 1 0 et 2 5 0 et les points
et de coordonnées respectives 1; 0; 4 et 3; 4; 2.
1) Montrer que les plans 9 et > sont sécants. On nomme Δ la droite d’intersection des plans 9 et >.
2)
Montrer que le point appartient à la droite Δ.
1
b. Montrer que @
J2K est un vecteur directeur de la droite Δ.
5
c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite Δ.
3) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
Soit A l’ensemble des points ! de l’espace tels que !< !< < . Déterminer l’ensemble des points
d’intersection de A et de la droite Δ. On précisera les coordonnées de ces points.
a.
Sujet n°6 : Amérique du sud – novembre 2011
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse
choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou
d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal ; ; ; . On considère le point de coordonnées 1; 1; 1 et
les droites et L de représentations paramétriques :
36 L
26 1
6 L 7 8
36 2 6 7 8
L 6L 2
L
6
36 2
Proposition 1 : « Le point appartient à la droite ».
Proposition 2 : « Le plan perpendiculaire à la droite passant par le point a pour équation : 2 3 0».
Proposition 3 : « Les droites et L sont orthogonales ».
Proposition 4 : « Les droites et G sont coplanaires ».
Proposition 5 : « La distance du point au plan d’équation 2 3 0 est
√:4
M
Correction sujets de bac : Droites et plans dans l’espace
Sujet n°1 : Polynésie – septembre 2003
1)
2
J3K et passe par 8; 0; 8.
a. Δ est dirigée par 2
8 26
!; ; 7 Δ N ! et colinéaires N il existe 6 7 8 tel que ! 6 N 36 8 26
3
2
J3K est un vecteur directeur de Δ.
b. @
J 2 K est un vecteur directeur de et 2
2
@
et ne sont pas colinéaires donc et Δ ne sont pas parallèles. Déterminons leur éventuelle intersection :
6 3
13
8 26 5 3
6 5
<
N O 6 : 1 2
N 6 1 ce qui est impossible. Donc et Δ ont une intersection vide
36 1 2
=
8 26 2
1
5 3
2
sans être parallèles donc elles sont non coplanaires.
2)
a. contient Δ donc il contient et . De plus, il est parallèle à donc le vecteur @
a une direction
contenue dans . est normal à si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires dirigeant . Il
et à @
suffit donc de vérifier que est orthogonal à pour montrer que est normal à :
:
2 P 2 2 P 3 1 P 2 4 6 2 0 donc et sont orthogonaux.
. . @
2 P 3 2 P 2 1 P 2 6 4 2 0 donc et @
sont orthogonaux.
Finalement est bien un vecteur normal à .
Une équation cartésienne de est donc 2 2 & 0 avec & 7 8. Or 7 donc 2 P 8 0 1 P 8 & 0 et donc & 24. Une équation de est : 2 2 24 0
b. On considère un point !5 3
; 1 2
; 2
de .
|25 3
21 2
2
24| |10 6
2 4
2
24| 36
&!; 12
3
3
√2< 2< 1<
Donc la distance d’un point ! quelconque de à est toujours égale à 12. Elle est donc indépendante du point !.
c. On considère & la droite d’intersection entre et . Alors
6 12
2 2 24 0
12
NR
donc en posant 6, on trouve 6 R
0
0
0
3) La distance entre Ω et est égale à 6 donc le rayon de la sphère est 6.
10 2
#Ω est un vecteur normal à donc il est colinéaire à 2; 2; 1 donc 1 2 . De plus #Ω 6 ou encore
6
#Ω< 36 or #Ω< 36 N 2< 2< < 36 N 9 < 36 N < 4 N 2 ou 2.
Les deux points de coordonnées 14; 3; 8 et 6; 5; 4 sont les deux points susceptibles d’être le centre de ".
De plus, Ω est du même côté de que donc 2 2 24 V 0.
2 P 14 2 P 3 8 24 18 W 0 et 2 P 6 2 P 5 4 24 18 V 0 donc Ω6; 5; 4.
Une équation de " est donc : 6< 5< 4< 36
. #
0 est le plan perpendiculaire à # passant par . Il
Proposition 1 : L’ensemble des points ! tels que !
reste à vérifier si ( et appartiennent bien à ce plan et si , ( et définissent bien un plan.
0
2
. #
J 0 K . J4K 0 0 0 0 donc appartient bien au plan voulu.
0; 0; 0 donc 2
0
Sujet n°2 : Polynésie – juin 2006
1
2
. #
J 2 K . J4K 2 8 0 6 donc ( n’appartient pas au plan perpendiculaire à #
(1; 2; 0 donc (
2
0
passant par donc la proposition est fausse.
!(
2!(
(
!(
(#
car ( est le milieu de )#* donc
Proposition 2 : Pour tout point ! du plan : ! !#
0
. Mais aussi !
#
. D’où
#!
( (#
! !#
1
0 0!
0 N 02!(
0 N !( #
!#
!#
0 0#
0!
2
:
Concrètement ! appartient à la sphère de centre ( et de rayon #. Cette sphère correspond à la sphère de
<
diamètre )#*. Donc la proposition 2 est vraie.
0
0
J0K . J4K 0 0 0 0. Donc
Proposition 3 : est un triangle rectangle en . En effet : . 2
0
P 2 P 4
4
XYZ[ 2
2
Par ailleurs, l’équation du plan est clairement 0.
|2|
&#; 2
√1<
:
:
2
Donc \ZY[] = P XYZ[ P &#; = P 4 P 2 = ^ 4 donc la proposition 3 est fausse.
Proposition 4 : On note le plan d’équation 2 2 4. Regardons s’il passe par les points , et #.
Pour : 2 P 2 0 0 4 donc 7 .
Pour : 0 4 0 4 donc 7 .
Pour # : 0 0 2 P 2 4 donc # 7 .
Par ailleurs, , et #ne sont clairement pas alignés donc ils définissent bien un plan qui correspond au plan .
2 <
4 <
2 <
On note .G le point de coordonnées 13 ; 3 ; 35 : .G _135 135 135 _2: 2: 2: _ 2: |0 0 0 4|
2 4 2
`4
:`
`4
:44
:<
3
=
4
4
3
2
4
2
:`a4a:`
=`
#.
On a donc bien .G &;
Il reste à vérifier que .G 7 # : 2 P 3 3 2 P 3 3 4 donc
3
on a bien .G 7 # et .G est bien le projeté orthogonal de sur # et donc la proposition 4 est vraie.
&; # √2<
1<
2<
Proposition 5 : , a pour coordonnées 1= ; = ; =5.
<
=
4
=
< 4 <
1
g
qui
est
colinéaire
au
vecteur
@
J
2K
f
2
4
b =e
et @
6@
! 7 , N !
colinéaires N il existe un réel 6 tel que !
6
6
26 N il existe un réel 6 tel que 2 N il existe un réel 6 tel que 2 26
2 26
Donc la proposition 5 est vraie.
d
La droite , est dirigée par ,
c
Sujet n°3 : Réunion – juin 2006
1) &; 9 |<Pha=Pha4PhH:|
√<i a=i a4i
:
√<3
2
:
Un vecteur normal à 9 est le vecteur : J3K et < : donc est normal à 9.
4
5
< J 2 K est un vecteur normal à > et .
: < 10 6 4 0 donc > et 9 sont orthogonaux.
1
Finalement, les réponses vraies sont les réponses : j et k
2
2 4 2 0 donc et @
sont orthogonaux ce qui indique que ?
2) J 1 K est un vecteur normal à 9. . @
1
est parallèle au plan 9. De plus l 9 car 2 1 1 ^ 0 donc ? et 9 sont strictement parallèles.
Par élimination, la réponse d doit être vraie… or c’est le système paramétrique obtenu en utilisant le point et le
vecteur directeur @
. Finalement, les réponses vraies sont les réponses : m et &
3
représente l’intersection de deux
2 1
plans 9: et 9< d’équations respectives 3 0 et 2 1 0. L’intersection de deux plans est une
droite. Déterminons une autre point de cette droite :
3 0
2 1 3 0
4 3 NR
NR
R
2 1 0
2 1
2 1
En prenant 2, on trouve 2 et 3 donc 2; 2; 3 appartient à A.
1
J3K est donc un vecteur directeur de la droite A.
Le vecteur 2
Finalement, les réponses vraies sont les réponses : j et &
sont orthogonaux et donc !
. #
0.
et #
4) Soit ! un point de 9. Alors, !
. #
!
. #
. #
.
. #
!
. #
donc la réponse m est fausse.
A priori, il n’y a aucune raison pour que ? . #
. #
.
. #
or ce
Par contre, en notant . le pied de la hauteur issue de dans le triangle # : . . #
. #
et . appartient à 9.
dernier produit scalaire est nul car . et # sont perpendiculaires donc . . #
Comme et . appartiennent à 9, la droite . est contenue dans 9.
Tous les points du plan médiateur de )#* sont équidistants de et # or il n’y a aucune raison pour que #
donc la réponse & est fausse.
Finalement, les réponses vraies sont les réponses : j et k
3) 1 1 1 3 et 2 1 1 donc 7 A. Par ailleurs, R
1
2
L
1) J1K est normal à et J3K est normal à B. et L ne sont clairement pas colinéaires donc et B ne
1
1
sont pas parallèles. Ils sont donc sécants et leur intersection est une droite.
0 2 4
! 7nB No
N R 4 0 N o
donc en posant 6, on trouve une
4
2 3 4 0
26 4
représentation paramétrique de ? : 6 4 6 7 8
6
2)
a. F : 1 E E2 3 4 0
N E E E 2E 3E E 4E 0 N 1 E 1 2E 4E 0
1E
Donc le vecteur J1 2EK est normal à F .
1
b. Deux plans sont confondus si et seulement si ils sont parallèles avec un point commun, autrement dit
si leurs vecteurs normaux sont colinéaires et qu’ils passent par un même point.
1
: J1K est normal à et 0; 0; 0 appartient à .
1
1E F N : et colinéaires et 7 F Nil existe 7 8, : et 4E 0 Nil existe , 1 2E et E 0
1
NE0
Donc il n’existe qu’une seule valeur pour que et F soient confondus : E 0
c. Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
et F perpendiculaires N . : 0 N 1 E 1 2E 1 0 N E 1
Donc pour E 1 les plans et F sont perpendiculaires.
3) 9H: a pour équation : 2 2 2 2 3 4 0 soit – 4 0
0 2 4
! 7 n H: N o
No
donc, en posant 6, on trouve :
4
4 0
26 4
? L 6 4 6 7 8
6
On retrouve la représentation paramétrique de ? donc ? et ?G sont confondues.
Sujet n°4 : Réunion – septembre 2010
4) et H: sont perpendiculaires et leur droite d’intersection est la droite ?.
Pour calculer la distance de à ?, on peut commencer par calculer la distance de à et à H: puis utiliser le
théorème de Pythagore dans le triangle # rectangle en avec le projeté orthogonal de sur et # le projeté
orthogonal de sur ?.
|1 1 1|
|1 1 4|
3
4
&; √3 et &; H: 2√2
√1< 1< 1< √3
√1< 1< 0< √2
&; ?< # < < # < &, < &; H: < 2 8 10
Donc &; ? √10
Sujet n°5 : Polynésie – septembre 2011
Partie A
1) Pour ! dans l’espace :
<
. !(
!(
(
(
(
. !(
(
! !< !(
(
. !(
. (
(< !( < !(
. (
(
. !(
(<
!( < !(
<
2!(
. (
. (
2 q r
2!( < 2!(
2
1
(
. (
<
2!( < 2!(
2
:
(
car ( est le milieu de )*.
0
2!( < < < car (
2)
1
1
1
!< !< < N 2!( < < < N 2!( < < N !( < <
2
2
4
:
N ! appartient au cercle de centre ( et de rayon < A est donc le cercle de centre ( passant par .
3
1
1) : J4K est normal à 9 et < J2K est normal à >. : et < ne sont clairement pas colinéaires donc 9
1
1
et > ne sont pas parallèles. Ils sont donc sécants.
2)
a. 1; 0; 4 : 3 P 1 4 P 0 4 1 0 donc 7 9 et 1 2 P 0 4 5 0 donc 7
>. Comme appartient à 9 et >, il appartient à leur intersection donc à Δ.
] 1 1
b. On considère le point # tel que # @
. On a donc ] 2 soit #0; 2; 9. Regardons si ce
] 4 5
point appartient aussi à Δ donc à 9 et > :
3 P 0 4 P 2 9 1 0 donc # 7 9 et 0 2 P 2 9 5 0 donc # 7 >.
donc par @
Finalement # 7 Δ. La droite Δ est donc la droite # et elle est bien dirigée par #
.
Partie B
c. Une représentation paramétrique de Δ passant par , de vecteur directeur @
est donc
1 2 7 8
4 5
3 ( est le milieu de )* avec (1; 2; 3. ( {1 1< 2< 3 4< √9 3 donc A est le
cercle d’équation 1< 2< 3< 9.
1 1 2
2
NO
! 7 A n Δ N O
4 5
4 5
1< 2< 3< 9
2< 2 2< 1 5< 9
1 1 
2
}
2 NO
N
4 5 4 5
~
1
} 0 ou 30 < 2 0
|
15
La valeur 0 nous permet de retrouver que le point appartient bien aux deux ensembles A et Δ.
L’autre point d’intersection est alors ? 1
:4
< :=
; ; 5
:€
:€ =
.
Sujet n°6 : Amérique du Sud – novembre 2011
Proposition 1 : FAUX
26 1 1
60
7 N 36 2 1 N 6 1 ce qui est impossible donc n’appartient pas à .
61
61
Proposition 2 : VRAI
2
Un plan perpendiculaire à a pour vecteur normal le vecteur @
J3K qui dirige . Une équation du plan est donc
1
2 3 & 0. Comme ce plan passe par , on trouve & 0 et donc 2 3 0 comme équation.
Proposition 3 : FAUX
2
3
@
J3K dirige et @L J1K dirige L .
1
3
L 2 P 3 3 P 1 1 P 3 6 3 3 6 donc @
@
. @
et @L ne sont pas orthogonaux et les droites et L ne sont
pas orthogonales.
Proposition 4 : FAUX
@
et @L ne sont clairement pas colinéaires donc et L ne sont pas parallèles.
26 1 36 L
Cherchons à savoir si elles sont sécantes ; on doit donc résoudre le système :36 2 6 L 2 or
6 36 L 2
L
L
L
L
6 1
66 4 1 36
26 1 36
36 2 6 L 2 N 96 L 6 2 6 L 2 N 6 L 0,6 ce qui est donc impossible.
6 36 L 2
6 36 L 2
6 36 L 2
et G ne sont donc pas sécantes. Elles sont donc non coplanaires.
Proposition 5 : VRAI
|2 P 1 3 P 1 1|
2
2√14 √14
&; 14
7
√14
{2< 3< 1<