TP : Equations du 2 degré à coefficients complexes
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TP : Equations du 2 degré à coefficients complexes
TP : Equations du 2nd degré à coefficients complexes Racines carrées d’un nombre complexe On désire rechercher la racine carrée d’un nombre complexe donnée de manière algébrique, par exemple c = 9 + 7i . Méthode : 1) On cherche donc un nombre complexe z = x + iy tel que z 2 = 9 + 7i , x et y étant des réels. 2) On développe z 2 = ( x + iy )( x + iy ) z 2 = (x + iy )( x + iy ) = x 2 − y 2 + 2 xyi On repère la partie réelle : x 2 − y 2 + 2 xy Et la partie imaginaire : 2 xy x 2 − y 2 = 9 Par identification avec c, on obtient : 2 xy = 7 Par ailleurs, On calcul le module de c, que l’on identifie au module de z. c = 9 2 + 7 2 = 130 z2 = x2 + y2 On obtient x 2 + y 2 = 130 x2 − y2 = 9 3) On doit donc résoudre le système suivant : x 2 + y 2 = 130 2 xy = 7 2 y 2 = −9 + 130 x2 − y2 = 9 2 2 2 x + y = 130 ssi 2 x = 9 + 130 2 xy = 7 2 xy = 7 L1←L2-L1 L2←L1+L2 2 − 9 + 130 y = 2 9 + 130 ssi x 2 = 2 2 xy = 7 x = ± 9 + 130 Ce qui donne a priori quatre couples de solutions : , soit pour z : y = ± − 9 + 130 z1 = 9 + 130 + i − 9 + 130 z 2 = − 9 + 130 + i − 9 + 130 z 3 = − 9 + 130 + i − 9 + 130 z 4 = − 9 + 130 − i − 9 + 130 Ce qui fait beaucoup trop car z = 9 + 7i a deux solutions (équation de degré 2). 2 4) En utilisant la dernier équation du système : 2 xy = 7 , on retient z1 et z 4 , car xy doit être strictement positif ! Ainsi S= { 9+ 130 + i − 9 + 130 ;− 9 + 130 − i − 9 + 130 Exercice : Résoudre en utilisant la même méthode. a) z 2 = 1 + 3i b) z 2 = −12 − 3i c) 5 z 2 = 25 − 50i TS MAI ©EPoulin } d) ( z + 3i ) = 4 + i (6 z − 2 ) 2 Résolution d’une équation du 2nd degré à coefficents complexes La résolution d’une équation du second degré est maintenant très simple : En effet, on peut démontrer facilement (à partir de la forme canonique) que l’équation az 2 + bz + c = 0 (avec a, b, c complexe et a ≠ 0 ) admet deux solutions déterminées de la manière suivante : • On calcule le discriminant ∆ = b 2 − 4ac admet : (ATTENTION ∆ est un nombre complexe !) • On cherche alors le nombre complexe δ tel que δ 2= ∆ . ( δ est une racine carrée complexe de ∆ ). • Les solutions s’écrivent : z1 = −b +δ −b −δ et z 2 = 2a 2a Remarque : Pour tout nombre complexe z, az 2 + bz + c = a ( z − z1 )( z − z 2 ) z1 + z 2 = − b c et z1 z 2 = a a Exemple : Résoudre : (1 + i )z 2 − 3 z + 2 − i = 0 ∆ = b 2 − 4ac = (− 3) − 4(1 + i )(2 − i ) = 9 − 8 − 4 − 4i = −3 − 4i On calcule les racines carrées de ∆ par la méthode précédente. Si d et –d sont les racines carrées de , on a : ∆ 3+ d 3−d z1 = et z2 = 2(1 + i ) 2(1 + i ) 2 Dans notre cas, d = 1 − 2i et − d = −1 + 2i Les solutions s’écrivent : z1 = 4 − 2i = 1,5 − 1,5i 2(1 + i ) Exercice : Résoudre a) (1 + 4i )z 2 − (2 − 3i )z + 1 − 2i = 0 b) (4i )z 2 + (2 − 3i )z − 5 − 2i = 0 c) 4 z 2 − (1 − 7i )z + 3 − 2i = 0 d) 4 z 2 − 3 z + 19 = 0 e) 4 − i 5 z 2 − (1 − 7i )z + 3 − i = 0 ( ) MAI1 : Travail Autonome Méthode de travail • • • Travailler en binôme ou en trinôme. Comprendre le principe et les étapes. Faire les exercices et confronter vos résultats. TS MAI ©EPoulin et z2 = 2 + 2i =1 2(1 + i )