Démonstration 05
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Démonstration 05
Démonstration 05 →→ Le plan est rapporté à un repère (O; i , j ) . • Soit d une droite. Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points distincts de d. → → Un point M de coordonnées (x ; y) appartient à d si et seulement si AM est colinéaire à AB . → → AM a pour coordonnées (x - xA ; y - yA) , AB a pour coordonnées (xB - xA ; yB - yA). → → AM est colinéaire à AB ⇔ (x - xA)(yB - yA) - (y - yA)(xB - xA) = 0 ⇔ (yB - yA) x - (xB - xA) y - (yB - yA) xA + (xB - xA) yA = 0 en posant a = yB - yA ; b = - (xB - xA) et c = - (yB - yA) xA + (xB - xA) yA on obtient une équation de la forme ax + by + c = 0 Comme A et B sont deux points distincts, on a (xA ; yA) ≠ (xB ; yB) , donc (a ; b) ≠ (0 ; 0) . toute droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0 a, b, c étant trois réels tels que (a ; b) ≠ (0 ; 0) → Cette droite a pour vecteur directeur AB de coordonnées Donc d a pour vecteur directeur (xB - xA ; yB - yA) = (-b ; a) → v (-b ; a) . Réciproquement considérons l'équation ax + by + c = 0 a, b, c étant trois réels tels que (a ; b) ≠ (0 ; 0) Si b ≠ 0 , on peut écrire by = -ax - c donc y = - a x - c . b b Cette équation est de la forme y = px + q avec p = - a et q = - c b b C'est l'équation d'une droite de coefficient directeur p = - a b Si b = 0 on a nécessairement a ≠ 0 et on peut écrire ax + c = 0 donc x = - c a → C'est une équation de la forme x = k, donc c'est l'équation d'une droite parallèle à (O; j ). • D'après les résultats vus précédemment, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points d'abscisses yB - yA y - yA différentes, la droite (AB) a pour coefficient directeur p = - a = donc p = B . - (xB - xA) xB - xA b http://xmaths.free.fr 1èreS − Vecteurs − Repères cartésiens − Sections planes − Démonstrations