Relativité - Les maths au quotidien

« ALLEZ CHEWIE,
PASSE EN VITESSE LUMIERE
»
Niveau : terminale S.
Lien avec le programme : calculer la dérivée de √ . Limite infinie d’une fonction en un point, d’une composée de deux
fonctions. Asymptote parallèle à l’un des axes de coordonnées. Interpréter graphiquement les limites obtenues.
Lien avec le programme de physique : Temps et relativité restreinte.
Lien avec Les maths au quotidien : Astronomie.
Han Solo, Chewbacca et Princesse Leia sont à bord du Faucon
Millenium et sont poursuivis par le vaisseau amiral de Dark
Vador. Ils s’apprêtent à passer en « vitesse lumière »…
La vitesse c de la lumière dans le vide intersidéral peuplé de vilains aliens est d’environ 300 000 km/s.
On prendra c = 300 000 km/s pour les calculs.
D'après la théorie de la relativité, si l’on voyage à une vitesse v comprise entre 0 et c, notre masse au repos va être
c
multipliée par γ(v) =
.
2
c − v2
On note la courbe représentative de γ, d’équation y = γ (v), dans un repère orthogonal du plan.
1. Calculer γ (v) pour v = 0,5 km/s puis pour v = 105 km/s.
2. a. Calculer lim γ (v). Qu’en déduit-on pour
→
?
b. Calculer la dérivée de γ et étudier ses variations sur l’intervalle [0 ; c[.
c. Déterminer une équation de la tangente
à
au point d’abscisse v = 0.
3. Tracer sur le graphique en bas de page les droites d’équation y = 1, v = c et la courbe .
4. a. Leia, qui n’aime pas prendre trop de poids, se demande pour quelle vitesse sa masse est le double de celle
au repos. Répondre à sa question.
b. À partir de quelle vitesse Leia verra-t-elle sa masse augmenter de 1 % ? Remarques, pour nous, pauvres
Terriens, qui ne disposons pas de Faucon Millenium ?
Point info : La fonction γ de la variable v s’appelle le facteur de Lorentz. Celui-ci s'applique également à la
dilatation du temps (voir programme de physique) et la contraction des longueurs en relativité restreinte.
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
v
Éléments de correction du DTL facteur de Lorentz
c
1. γ(0,5) =
c − 0,5
2
300000
1 et γ(100 000)
2
3000002 − 1000002
lim c2 − v2 = 0+ et lim √ = 0+ donc par composée lim √ −
2. a.
→
→
→
lim c = c. Par quotient lim γ (v) = +∞.
→
admet une asymptote verticale d’équation x = c.
b. Posons f (v) = √ −
−
γ’(v) = c
(
. f est dérivable sur [0 ; c[ et f ’(v) =
−v
c −v
2
2
c −v
)
2
2
2
−v
−
= c
c −v
2
(
c −v
2
c. Équation de la tangente
à
2
2
=
) (
2
cv
c −v
2
2
)
3
.
au point d’abscisse v = 0.
−v
=
2 c2 − v2
v
c
v
c2 − v 2
0
c
+
+
+
−
+
γ’(v)
+
+∞
Var de γ
:y=1
c
−2v
−
: y = γ’(0)(v − 0) + γ(0)
b.
= 0+ .
→
On en déduit que
4. a.
1,06
= 2 ⇔ c 2 = 4 ( c 2 − v 2) ⇔ v 2 = c 2 ⇔ v =
0
√
c car v 0.
c2 − v 2
Pour une vitesse d’environ 260 000 km/s, la masse de Leia double.
c
1,01 ⇔ c2
1,012 (c2 − v2) ⇔ v2
,
c2 ⇔ v =
,
,
,
c2 − v 2
À partir d’environ 42 110 km/s, la masse de Leia augmentera de plus de 1%.
c car v
0.