PanaMaths - Synthèses de cours

Synthèse de cours (Terminale ES)
 Continuité, limites
Continuité
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dira que « f est continue sur I » si l’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le
crayon.
Exemples fondamentaux
Les fonctions polynômes (dont les fonctions affines), la fonction racine carrée, les fonctions
rationnelles (dont la fonction inverse) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur
ensemble de définition.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction définie sur un intervalle  a; b et soit k un réel compris entre f  a  et
f b .
Si f est continue sur  a; b alors il existe un réel c appartenant à  a; b tel que : f  c   k (voir
figure de gauche ci-dessous).
Si, de plus, f est strictement monotone sur  a; b alors le réel c est unique (voir figure de
droite ci-dessous).
k
k
a
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c
b
[1-5]
a
c
b
Septembre 2011
Limite d’une fonction
Limite d’une fonction continue en un point de l’ensemble de définition
Soit f une fonction d’ensemble de définition D f .
Soit a un élément de D f . On suppose qu’il existe un intervalle I contenant a et contenu dans
D f sur lequel f est continue.
On a alors :
lim f  x   f  a 
x a
Limites de fonctions de référence (Rappels de 1ère)

Fonction affine : x ax  b
o Si a  0 , on a : lim  ax  b    et lim  ax  b    ;
x 
x 
x 
x 
o Si a  0 , on a : lim  ax  b    et lim  ax  b    .

x2
Fonction carrée : x
o lim x 2  lim x 2   ;
x 

x 
x3
Fonction cube : x
o lim x3   ;
x 
o

lim x3   .
x 
Fonction racine carrée : x
o lim x   ;
x
x 

Fonctions inverses : x
1
xa
o
lim
1
  ;
xa
o
lim
1
  ;
xa
o
1
1
 lim
 0.
x  x  a
x  x  a
xa
xa
xa
xa
lim
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[2-5]
Septembre 2011
Opérations sur les limites
Dans ce qui suit, a désigne un réel ou  ou  .
Limite d’une somme
lim f  x 
l
l
l



lim g  x 
l'





lim  f  g  x 
l l '




FI
x a
x a
x a
Limite d’un produit
lim f  x 
l
l 0
0

lim g  x 
l'



lim  f  g  x 
l l '
 (*)
FI
 (*)
x a
x a
x a
(*) Le signe de la limite infinie est déterminé grâce à la règle des signes.
Limite d’un rapport
lim f  x 
l
l   0
0
l


lim g  x 
l '   0
0
0

l'

 f 
lim    x 
x a g
 
l
l'
 (*)
ou
pas de limite (**)
0
 (*)
ou
pas de limite (**)
FI
x a
x a
FI
(*) Le signe de la limite infinie est déterminé grâce à la règle des signes.
(**) Cette situation apparaît lorsque le dénominateur tend vers 0 en changeant de signe sans
sin x
cesse … c’est le cas, par exemple, de la fonction x
en  .
x
Limites en  et  d’une fonction polynôme, d’une fonction rationnelle
La limite en  ou  d’une fonction polynôme est égale à celle de son terme de plus haut
degré.
La limite en  ou  d’une fonction rationnelle est égale à celle du rapport des termes de
plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
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Septembre 2011
La limite en  ou  d’une fonction rationnelle peut donc être finie (éventuellement nulle)
ou infinie :



lim
3x6  4 x 4  x  12
6 x3  2 x  7
x 
lim
x 
lim
3x 6
x3

lim
  ;
x  6 x3
x  2
 lim
5 x 2  67 x  56
7 x5  45 x 4  34 x  1
35 x6  45 x 2  3x  2
x 
20 x6  11x5  3
5 x 2
5
 lim 3  0 ;
5
x  7 x
x  7 x
 lim
35 x6
7 7
 lim  .
6
x  20 x
x  4
4
 lim
Limite d’une fonction composée
a, b et c désignent des réels ou  ou  .
Si lim f  x   b et lim g  X   c alors lim  gof  x   lim g  f  x    c
x a
x a
X b
x a
Limite par comparaison
Si, pour x  x0 (resp. x  x0 , ) on a f  x   g  x  , et si lim g  x    (resp.
x 
lim g  x    ) alors lim f  x    (resp. lim f  x    ).
x 
x 
x 
Si, pour x  x0 (resp. x  x0 , ) on a f  x   g  x  , et si lim g  x    (resp.
x 
lim g  x    ) alors lim f  x    (resp. lim f  x    ).
x 
x 
x 
Si, pour x  x0 (resp. x  x0 , ) on a g  x   f  x   h  x  , et si lim g  x   lim h  x   l
x 
(resp. lim g  x   lim h  x   l ) alors lim f  x   l (resp. lim f  x   l ).
x 
x
x 
x
x 
Remarque : le dernier théorème est souvent appelé « théorème des gendarmes » (les fonctions
g et h prenant toutes deux des valeurs de plus en plus proches de la limite commune l, f n’a
d’autre « choix » que de s’en rapprocher également.
Asymptote (rappels de 1ère)
Soit f une fonction d’ensemble de définition D f et de courbe représentative C f .
Soit a un élément de D f .
Si lim f  x    ou lim f  x    ou lim f  x    alors C f admet en a une asymptote
x a
xa
xa
xa
xa
verticale d’équation x  a .
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[4-5]
Septembre 2011
Soit f une fonction de courbe représentative C f .
Si on a : lim  f  x    ax  b    0 (resp. lim  f  x    ax  b    0 ) alors on dit que « la
x 
x 
droite d’équation y  ax  b est asymptote (oblique) à C f en  (resp.  ) ».
Dans le cas où a  0 , l’asymptote est une « asymptote horizontale ».
Pour étudier, le cas échéant, la position de la courbe C f par rapport à celle de l’asymptote
d’équation y  ax  b , on étudie le signe de la différence f  x    ax  b  .
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[5-5]
Septembre 2011