Mathématiques 1 - Concours Centrale

MATHÉMATIQUES I
Filière PC
MATHÉMATIQUES I
Objectifs
On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l’ensemble des solutions d’une
équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu’elle est homogène,
puis lorsque celle-ci admet un « second membre » d’un type particulier.
La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes.
Notations
2
• Pour tout couple ( m, n ) ∈ IN :
* si m ≤ n l’ensemble { k ∈ IN, m ≤ k ≤ n } est noté [ [ m, n ] ] ;
* δ m, n vaut 1 si m = n , 0 sinon.
2
• Si ( p, q ) ∈ IN , on note C
I q [ X ] l’ensemble constitué des éléments de C
I [ X ] de
degré inférieur ou égal à q et C
I q[ X ]
I q, p [ X ] celui constitué des éléments de C
p
divisibles par X .
• Si u est une application linéaire, Ker ( u ) et Im ( u ) désignent respectivement
son noyau et son image.
0
• Si u est un endomorphisme, par convention, u est l’application identité, et
p+1
p
pour tout entier naturel p , on pose u
= uou .
• On considère un intervalle I de IR contenant au moins deux éléments. On
dira que l’intervalle I est un voisinage de 0 s’il existe un réel α > 0 tel que
∞
[ – α, α ] ⊂ I . On note E le CI espace vectoriel des applications de classe C de
I dans C
I , 0 E son élément nul, id E l’application identité de E et D l’endomorphisme « dérivation » de E , c’est-à-dire tel que : ∀ f ∈ E, D ( f ) = f ′ .
• Pour tout y de E , et pour tout k entier strictement positif, y
ième
(0)
dérivée k
de y . Par convention y = y .
(k)
désigne la
I [ X ] et z ∈ C
I , on note deg ( P ) le degré de P et P 〈 z〉 l’application de I
• Si P ∈ C
zt
dans C
I définie par : ∀t ∈ I, P 〈 z〉 ( t ) = P ( t )e .
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Partie I 2
Soient z ∈ C
I et ( p, q ) ∈ IN tel que p ≤ q .
I.A - Montrer que C
I q, p [ X ] est un CI espace vectoriel de dimension finie et préciser sa dimension.
I.B - Montrer qu’on peut définir une application ϕ z de C
I [ X ] dans E définie par :
∀P ∈ C
I [ X ], ϕ z ( P ) = P 〈 z〉 .
Montrer que ϕ z est linéaire et injective.
I.C - Déduire des questions précédentes que les images par ϕ z de C
I q [ X ] et
C
I q, p [ X ] sont des sous-espaces vectoriels de E de dimensions finies que l’on précisera.
Dans la suite de ce problème, n est un entier naturel non nul, α = ( α 0, …α n ) un
n+1
élément de C
tel que α n n’est pas nul, et on note ( H ) l’équation différentielle,
I
d’inconnue y élément de E :
n
∑ αk y
(H)
(k)
= 0E .
k=0
Partie II On se propose, dans cette partie, de déterminer S H , l’ensemble des solutions de
( H ) définies sur I . On admettra que dim ( S H ) = n .
⎛
n
k⎞
∑ αk D ⎟⎠ .
⎝
II.A - Justifier que S H = Ker ⎜
k=0
On note p le nombre de racines distinctes du polynôme A =
n
∑ αk X
k
de C
I [X] ;
k=0
on note r 1, r 2 …r p ses racines et m 1, m 2 …m p leurs ordres de multiplicité respectifs.
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II.B - Vérifier que S H contient le sous-espace vectoriel de E :
p
∑ Ker ( ( D – r j ⋅ id E )
mj
).
j=1
On admettra que cette somme est directe.
*
II.C - Dans cette question, r ∈ C
I et m ∈ IN .
a) Soit P un élément non nul de C
I [ X ] . Justifier l’existence d’un élément Q de
C
I [ X ] tel que d°Q < d°P et ( D – r ⋅ id E ) ( P 〈 r〉 ) = Q 〈 r〉 .
b) En déduire par récurrence la propriété suivante pour tout entier k de
[ [ 1, m ] ] :
k
I k – 1 [ X ] , alors P 〈 r〉 ∈ Ker ( ( D – r ⋅ id E ) ) .
si P ∈ C
m
c) En conclure que Ker ( ( D – r ⋅ id E ) ) est un sous-espace vectoriel de E de
dimension au moins m .
II.D - Déduire de ce qui précède que, pour tout élément y de E , on a l’équivalence suivante, y ∈ S H si et seulement si il existe une famille ( P j ) j ∈ [ [ 1, p ] ] d’éléI [ X ] telle que :
ments de C
p
∀ j ∈ [ [ 1, p ] ] ,
deg ( P j ) < m j et ∀t ∈ I, y ( t ) =
∑ P j ( t )e
r jt
.
j=1
II.E - Dans le cas où I est un voisinage de 0 , prouver que pour tout réel α strictement positif tel que ] – α, α [ ⊂ I , les solutions de ( H ) sont développables en
série entière sur ] – α, α [ .
Partie III I [ X ] , non nul. On note d le
Dans cette partie, on considère un polynôme B de C
degré du polynôme B . On choisit un nombre complexe z et on note m l’ordre de
multiplicité (éventuellement nul) de z en tant que racine du polynôme
n
A =
∑ αk X
k
de C
I [X] .
k=0
On se propose de résoudre l’équation différentielle, d’inconnue y élément de E ,
notée ( L ) :
n
( L)
∑ αk y
(k)
= B 〈 z〉 .
k=0
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III.A - Vérifier qu’on peut définir une application ψ , de C
I m + d, m [ X ] dans E ,
définie par
n
∀P ∈ C
I m + d, m [ X ],
ψ( P) =
∑ αk D
k
( P 〈 z〉 )
k=0
puis montrer que celle-ci est linéaire.
I d[ X ]) .
III.B - Prouver que ψ est injective et que Im ( ψ ) ⊂ ϕ z ( C
I m + d, m [ X ] tel que Π 〈 z〉
III.C - Démontrer qu’il existe un unique élément Π de C
soit solution de ( L ) , définie sur I , puis préciser, en fonction de Π , l’ensemble des
solutions de ( L ) sur I .
III.D - Dans le cas où l’intervalle I est un voisinage de 0 , les solutions de ( L )
sont-elles développables en série entière sur tout intervalle ] – α, α [ ( α > 0 ) tel
que ] – α, α [ ⊂ I ?
Partie IV On suppose, dans cette dernière partie, que α 0 vaut 1 et que :
αk
.
M = max
k ∈ [ [ 0, n ] ]
On considère également un élément b de E et on note ( L b ) l’équation différentielle, d’inconnue y élément de E :
n
∑ αk y
( Lb )
(k)
= b.
k=0
+
IV.A - Soit α ∈ IR * tel que ] – α, α [ ⊂ I et que ( L b ) admette une solution développable en série entière sur l’intervalle ] – α, α [ .
Montrer que b est également développable en série entière sur l’intervalle
] – α, α [ . Qu’en est-il alors des autres solutions de ( L b ) ?
I p [ X ] tel
IV.B - Montrer que, si p ∈ IN , alors il existe un unique élément Π p de C
que :
n
(k)
∑ αk Π p
k=0
p
X
= -------- .
p!
I
Prouver qu’il existe un unique élément ( π p, j ) j ∈ [ [ 0, p ] ] de C
p
Πp =
X
p+1
tel que :
j
∑ ⎛⎝ π p, j ⋅ ------j!-⎞⎠ .
j=0
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IV.C - Prouver que :
∀( p, q ) ∈ IN
2
min { n, p – q }
∑
q≤ p⇒
( α k ⋅ π p , q + k ) = δ p, q
k=0
IV.D - Lorsque p est un entier strictement positif, traduire sous forme matrip+1
I
cielle le système linéaire précédent d’inconnue ( π p, j ) j ∈ [ [ 0, p ] ] , élément de C
,
puis écrire une procédure qui, en fonction de n et du système α , détermine l’unique solution de celui-ci.
IV.E j
a) Vérifier que : ∀ p ∈ IN, ∀ j ∈ [ [ 0, p ] ], π p, p – j ≤ ( 2M ) .
b) En déduire que, pour tout t ∈ IR et pour tout entier q , alors :
q
Π q ( t ) ≤ ( 2M+ t ) .
I développable en
On suppose dorénavant que b est une application de I dans C
série entière sur un intervalle ] – α, α [ ( α > 0 ) inclus dans I . On note r le rayon
(n)
n
de convergence de la série entière ∑ b ( 0 ) z et on suppose que r > 2M .
IV.F a) Montrer qu’il existe β élément de ]0, α[ tel que la suite de fonctions ( f p ) p ∈ IN
définie par :
p
∀ p ∈ IN ∀t ∈ I , f p ( t ) =
∑b
(q)
( 0 )Π q ( t )
q=0
converge sur ] – β, β [ .
On note f la limite de cette suite de fonctions, définie sur ] – β, β [ .
n
b) Prouver que f est de classe C sur ] – β, β [ .
IV.G - Justifier que f est une solution de ( L b ) définie sur l’intervalle sur ] – β, β [ .
IV.H - Prouver que f est de classe C
on a :
∀t ∈ ] – β, β [, f
∞
sur ] – β, β [ et que pour tout entier k > 0 ,
(k)
( t ) = lim f p ( t ) .
(k)
p → +∞
+
IV.I - Si t ∈ IR , on note E ( t ) sa partie entière.
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On se propose, dans cette question, de démontrer que f est développable en série
entière sur ] – β, β [ . À cet effet, on introduit un élément x de ] – β, β [ puis, pour
+
tout entier p de IN , l’application e p de IR dans C
I définie par :
( E(t))
E(t)
fp
(0) ⋅ x
+
∀ p ∈ IN , ∀t ∈ IR , e p ( t ) = -----------------------------------------.
[ E ( t ) ]!
+
a) Montrer que, si p ∈ IN , e p est intégrable sur IR et préciser la valeur de son
+
intégrale sur IR .
+
b) Exhiber une application e en escalier de IR dans IR intégrable telle que :
∀ p ∈ IN ,
+
∀t ∈ IR ,
e p(t) ≤ e(t) .
c) Conclure.
IV.J a) Qu’en déduit-on pour les solutions de ( L b ) sur l’intervalle ] – β, β [ ?
b) Les résultats précédents sont-ils encore valables si α 0 n’est pas égal à 1 ?
••• FIN •••
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