1.6 Lien avec la théorie des ensembles

10
1.5.4
Preuve par récurrence.
Soit k un entier (en général positif) et P une proposition, faire une démonstration par récurrence de la proposition
∀n ≥ k, P (n)
consiste à procéder en deux étapes :
— initialisation : on vérifie P (k) (on démontre que P (k) est vraie),
— hérédité : on fixe n ≥ k et on suppose que P (n) est vraie, on démontre alors que P (n + 1) est
aussi vraie.
Ces deux étapes suffisent à démontrer ∀n ≥ k, P (n).
Exemple 17. Soit a un nombre réel différent de 0 et 1, on considère la suite géométrique (x n ) de
raison a :
�
x0 fixé
∀n ≥ 0, xn+1 = axn
alors xn = an x0 pour tout n ≥ 0.
1.6
Lien avec la théorie des ensembles
On rappelle d’abord quelques définitions classiques.
Notation 6. La proposition “x ∈ X” se lit “x est un élément de X”, “x appartient à X” ou “x
est dans X”. L’ensemble vide ∅ est l’ensemble n’ayant aucun élément.
Définition 11. Soit A et B deux ensembles.
— Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A est aussi un élément de B.
— Egalité : A et B sont égaux, noté A = B, s’ils ont les mêmes éléments.
— Complémentaire : le complémentaire de A dans B est l’ensemble noté B \ A composé des
éléments de B qui ne sont pas dans A.
— Intersection : l’intersection de A et B est l’ensemble noté A ∩ B composé des éléments qui
appartiennent à la fois à A et B.
— Réunion : la réunion de A et B est l’ensemble noté A ∪ B composé des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux simultanément.
Notation 7. La notation “A ⊂ B” se lit aussi “A est une partie de B”. La notation “A ∩ B” se
lit “A inter B”, et la notation “A ∪ B” se lit “A union B”.
Notation 8. La notation “B \ A” se lit aussi “B moins A”, et est parfois notée �B (A), voire A si
A ⊂ B et qu’on n’éprouve pas la nécéssité de préciser B.
Exemple 18. On considère les ensembles A = [−1, 2[ et B = [0, 3]. A-t-on A ⊂ B ou B ⊂ A ?
Expliciter A ∩ B et A ∪ B, A \ B et B \ A.
On peut réécrire ces relations et opérations sur les ensembles de la manière suivante :
11
1.5.
Propriété– Ensembles et quantificateurs.
Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
A⊂B
≡
A=B
≡
A⊂B
≡
A=B
≡
∀a ∈ A, a ∈ B,
(A ⊂ B) et (B ⊂ A),
(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B),
(x ∈ A) ⇔ (x ∈ B),
x ∈ A\B
≡
x ∈ A∩B
≡
x ∈ A∪B
≡
(x ∈ A) et (x ∈
/ B)
(x ∈ A) et (x ∈ B)
(x ∈ A) ou (x ∈ B)
Remarque 14. L’interprétation en termes de quantificateurs des propositions “ A ∩ B” et “ A ∪ B”
est à rapprocher de leur lecture en termes d’événements dans le domaine des probabilités, où “ A ∩ B”
se lit “A et B” et “ A ∪ B” se lit “A ou B”
Exemple 19. Un exemple classique d’utilisation des équivalences logiques précédentes est la démonstration des identités suivantes :
�
�
�
�
�E ( A ∪ B) = �E A ∩ �E B ;
�
�
�
�
�E ( A ∩ B) = �E A ∪ �E B .
On peut l’appliquer par exemple pour A = [−1, 2[ , B = [0, 3] et E = R.
12
2
2.1
Fonctions numériques usuelles
Fonctions numériques
Définition 12 (Fonction numérique). Une fonction numérique f est un procédé qui à tout
nombre réel x d’un sous-ensemble Df de R associe un unique nombre réel noté f (x). En général, ce
procédé est donné sous la forme suivante :
f : Df → R
x �→ f (x)
L’ensemble Df est appelé ensemble de définition de f .
Remarque 15.
— Une fonction f est donc la donnée à la fois du procédé qui permet de calculer
sa valeur en un point donné mais aussi de l’ensemble de définition Df sur lequel ce procédé est
défini.
— Ne pas confondre la fonction f et le nombre réel f (x).
Exemple 20.
— Pour deux nombres réels a et b fixés, on peut définir la fonction affine f : x �→
a x + b sur Df = R.
— La fonction valeur absolue | · | : x �→ |x| est définie sur D|·| = R.
— La fonction partie entière E : x �→ E(x) est définie sur DE = R.
— La fonction inverse f : x �→ x1 est définie sur Df = R∗ = R \ {0}.
Définition 13 (Image et antécédent). Soit f une fonction numérique définie sur l’ensemble Df .
Si x est un élément de Df alors le nombre réel f (x) est appelé image de x par f . L’ensemble
f (Df ) = {f (x) : x ∈ Df }
qui regroupe toutes les images par f des éléments x de Df est appelé ensemble image de f .
Soit y un nombre réel, on appelle antécédent de y par f tout réel x de Df tel que f (x) = y.
Exercice 2. Donner les enseumbles image des fonctions suivantes :
— La fonction valeur absolue | · | : x �→ |x| définie sur D|·| = R.
— La fonction partie entière E : x �→ E(x) définie sur DE = R.
— La fonction inverse f : x �→ x1 définie sur Df = R∗ .
Remarque 16. Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou plusieurs.. voire une
infinité.
Exercice 3. Donner des exemples pour chacun des 4 cas de la remarque précédente.