I - Programmation linéaire

Transcription

I - Programmation linéaire
Jean-Philippe Préaux
EOAA - 2009/10
Préliminaires
Méthode du simplexe
Exercices
Préliminaires
Formulation
Exemple de problème bidimensionnel
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
hil
Problème sous forme normale
Résolution dans le cas général
Programmation linéaire en nombres entiers
P
an
t
h
g
i
r
y
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
p
o
C
e
J
:
1. Gestion optimale des ressources
2. Production optimale
3.a. Problème du consommateur
3.b. Problème du concurrent
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
Soit f : R −→ R une application linéaire (ou affine).
P
e
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Formulation
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
Soient ϕ , . . . , ϕ : R −→ R, p applications linéaires,
e
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Formulation
n
1
p
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
e
(b , . . . , b ) ∈ R , x = (x , . . . , x ) ∈ R .
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Formulation
n
1
1
p
p
p
n
1
n
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
e
(b , . . . , b ) ∈ R , x = (x , . . . , x ) ∈ R .
p
ip:
Un problème de programmation linéaire s’écrit
l
i
h
min P
f (x)
max
n
a
e (on se dispensera ici de
soumis aux contraintes inégalitaires
J
contraintes égalitaires): :
t  ϕ (x , . . . , x ) 6 b
h
g  ϕ (x , . . . , x ) 6 b
i
r
y
..

p
.


o

ϕ
(x
,
.
.
.
,x ) 6 b
C
Formulation
n
1
1
p
p
p
n
1
n
n
x
1
1
n
1
2
1
n
2
p
1
n
p
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
En utilisant le produit scalaire
f , ϕ1 , . . . , ϕp sont des formes linéaires sur Rn .
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
f , ϕ , . . . , ϕ sont des formes linéaires sur R .
P
=⇒ ∃ c = (c , . . . , c ) ∈ R , ∀ x = (x , . . . , x ) ∈
eR :
p
ip
l
X
i
f (x) =
cx =h
Phc, xi ,
n
a
où h., .i désigne le produit scalaire
e usuel de R .
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
1
n
p
1
n
n
1
n
n
i i
i=1
n
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
f , ϕ , . . . , ϕ sont des formes linéaires sur R .
P
=⇒ ∃ c = (c , . . . , c ) ∈ R , ∀ x = (x , . . . , x ) ∈
eR :
p
ip
l
X
i
f (x) =
cx =h
Phc, xi ,
n
a
où h., .i désigne le produit scalaire
e usuel de R .
J
∀ i = 1, . . . , p, ∃ a = :(a , . . . , a ) ∈ R ,
t
h
g ϕ (x) = X a x = ha , xi .
i
r
y
p
Co
1
n
p
1
n
n
1
n
n
i i
i=1
n
i
i1
n
in
n
i
ij j
i
j=1
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
Notation matricielle
Matrice et vecteur des contraintes :
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e


a11 · · · a1n

.. 
A = (aij )i=1···p =  ...
. 
j=1···n
ap1 · · · apn
P
an
p
p
i
hil
t
h
g
i
r
y
p×n
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P




e
a
··· a
b
p 

.. 
A = (a )
b =  ...  ∈ R .
=  ...
.  l;ip
i
a
··· a
b
h
P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
Co
11
1n
1
p
ij i=1···p
j=1···n
p1
pn
p×n
p
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P




e
a
··· a
b
p 

.. 
A = (a )
b =  ...  ∈ R .
=  ...
.  l;ip
i
a
··· a
b
h
P
-alors sous forme matricielle :
n
Le problème d’optimisation s’écrit
a
e
Jmin hc, xi = c x
:
t max
h
g Ax 6 b
i
r
y
p
Co
11
1n
1
p
ij i=1···p
j=1···n
p1
pn
p×n
>
x
p
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P




e
a
··· a
b
p 

.. 
A = (a )
b =  ...  ∈ R .
=  ...
.  l;ip
i
a
··· a
b
h
P
n
a
e
Jmin hc, xi = c x
:
t max
h
g Ax 6 b
i
r
pyx , . . . , x > 0, on note x > 0.
Si deoplus
C
11
1n
1
p
ij i=1···p
j=1···n
p1
pn
p×n
>
x
1
n
p
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P




e
a
··· a
b
p 

.. 
A = (a )
b =  ...  ∈ R .
=  ...
.  l;ip
i
a
··· a
b
h
P
n
a
e
Jmin hc, xi = c x
:
t max
h
g Ax 6 b
i
r
pyx , . . . , x > 0, on note x > 0.
Si deoplus
C : > ne représente qu’une inégalité terme à terme.
Attention
11
1n
1
p
ij i=1···p
j=1···n
p1
pn
p×n
>
x
1
n
p
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
Un problème de programmation linéaire est sous forme
canonique
e
s’il s’écrit :
p
p
i
max hc, xi il
h
Ax 6 b-P
n
xa
>0
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Forme canonique
x
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
canonique
e
p
p
i
max hc, xi il
h
Ax 6 b-P
n
xa
>0
e
J
Tout problème linéaire:peut s’écrire sous forme canonique :
t
h
g
i
r
y
p
Co
Forme canonique
x
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
canonique
e
p
p
i
max hc, xi il
h
Ax 6 b-P
n
xa
>0
e
J
tmax :
h
– Changer min en
g min hc, xi ⇐⇒ maxh−c, xi .
i
r
y
p
Co
Forme canonique
x
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
canonique
e
p
p
i
max hc, xi il
h
Ax 6 b-P
n
xa
>0
e
J
tmax :
h
– Changer min en
g min hc, xi ⇐⇒ maxh−c, xi .
i
r
y de signe :
– Contraintes
p
Co si x 6> 0, poser x = x − x avec x , x > 0.
Forme canonique
x
i
i
+
i
−
i
+
i
−
i
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
Un société fabrique deux types de produits A et Be
(par exemple
deux types de système audio), dont la vente lui p
rapporte un
p
i
bénéfice brut respectif de 150 u.m. et de 450
u.m..
il
h
P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Exemple de problème de programmation linéaire.
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
(par exemple
rapporte un
p
i
u.m..Sa
production
l
i
est limitée respectivement à 120 et 70 unités.
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
(par exemple
rapporte un
p
i
u.m..Sa
production
l
i
Une même pièce P
Phla fabrication
(par exemple un lecteur CD) rentre-dans
d’une unité
n
de A, ainsi que dans la fabrication
d’une
unité
de
B.
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
Co
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
(par exemple
rapporte un
p
i
u.m..Sa
production
l
i
Phla fabrication
d’une unité
n
d’une
unité
de
B.
Une
même
a
e
pièce Q (par exemple un haut-parleur)
rentre dans la fabrication
J
d’une unité de A, tandis
que
deux
pièces
Q sont nécessaires à la
:
t
fabrication d’une pièce B.
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
(par exemple
rapporte un
p
i
u.m..Sa
production
l
i
Phla fabrication
d’une unité
n
d’une
unité
de
B.
Une
même
a
e
J
que
deux
pièces
:
t
fabrication d’une pièce B. Elle dispose d’un stock de 140 pièces P
hQ.
et de 180 pièces
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
(par exemple
rapporte un
p
i
u.m..Sa
production
l
i
Phla fabrication
d’une unité
n
d’une
unité
de
B.
Une
même
a
e
J
que
deux
pièces
:
t
fabrication d’une pièce B. Elle dispose d’un stock de 140 pièces P
hQ.
et de 180 pièces
g
i
r au mieux sa production en produits A, B pour en
Commenty
gérer
pbénéfice maximal ?
retirer le
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
Formulation
Notons :
x la quantité de produits A fabriqués,
y la quantité de produits B fabriqués,
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
Formulation
Notons :
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
il qui donne le
f (x, y ) = 150x + 450y la fonction économique
h
bénéfice brut pour une production (x,
Py )
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
Formulation
Notons :
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
il qui donne le
h
Py )
n alors :
Le problème d’optimisation se formalise
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
Formulation
Notons :
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
il qui donne le
h
Py )
n alors :
a
emax f (x, y ) = 150x + 450y
Problème de max :
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
(x,y )
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
Formulation
Notons :
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
il qui donne le
h
Py )
n alors :
a
emax f (x, y ) = 150x + 450y
Problème de max :
J
: : x 6 120
Limites de production
t
h y 6 70
g
i
r
y
p
o
C
(x,y )
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
Formulation
Notons :
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
il qui donne le
h
Py )
n alors :
a
emax f (x, y ) = 150x + 450y
Problème de max :
J
: : x 6 120
t
h y 6 70
g
i
r : x + y 6 140
Stocks disponibles
y
x + 2y 6 180
p
o
C
(x,y )
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
Formulation
Notons :
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
il qui donne le
h
Py )
n alors :
a
emax f (x, y ) = 150x + 450y
Problème de max :
J
: : x 6 120
t
h y 6 70
g
i
r : x + y 6 140
Stocks disponibles
y
180
p de signe : xx,+y 2y> 06 (S)
o
Contraintes
C
(x,y )
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
Formulation
Notons :
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
il qui donne le
h
Py )
n alors :
a
emax f (x, y ) = 150x + 450y
Problème de max :
J
: : x 6 120
t
h y 6 70
g
i
r : x + y 6 140
Stocks disponibles
y
180
p de signe : xx,+y 2y> 06 (S)
o
Contraintes
C
(x,y )
Préliminaires
Exercices
2y
=1
x
u
éa
r
P
e
x
x+
Formulation
Généralisation
+
y = 70
y
80
=
0
14
p
p
i
hil
x = 120
P
an
Le domaine admissible D
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Le domaine admissible est le polygone convexe de R2 :
D = {(x, y ) ∈ R2 | 0 6 x 6 120, 0 6 y 6 70, x+y 6 140, x+2y 6 180}
Préliminaires
Exercices
2y
=1
x
u
éa
r
P
e
x
x+
Formulation
Généralisation
+
y = 70
y
80
=
0
14
p
p
i
hil
x = 120
P
an
k
450
ht
e
J
:
Lign
e de
nive
au
k
g
i
r
y
p
o
C
La ligne de niveau k est la droite 150x + 450y = k ; les lignes de
niveau forment un faisceau de droites parallèles, de pente −1/3.
Préliminaires
Exercices
2y
=1
x
u
éa
r
P
e
x
x+
Formulation
Généralisation
+
y = 70
y
80
=
p
p
i
hil
14
0
(40, 70)
x = 120
Lign
P
an
e de
nive
au f
ma
x
k
450
ht
e
J
:
Lign
e de
nive
au
k
g
i
r
y
p
o
C
Le maximum est atteint sur l’un des sommets de l’hexagone :
Préliminaires
Exercices
2y
=1
x
u
éa
r
P
e
x
x+
Formulation
Généralisation
+
y = 70
y
80
=
p
p
i
hil
14
0
(40, 70)
x = 120
Lign
P
an
e de
nive
au f
ma
x
k
450
ht
e
J
:
Lign
e de
nive
au
k
g
i
r
Le maximum
y est atteint sur l’un des sommets de l’hexagone :
p
il faut
produire 40 pièces A et 70 pièces B pour une bénéfice de
o
C
37500 u.m..
Préliminaires
Exercices
z
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
(40, 70, fmax )
p
p
i
hil
P
an
{(x, y , f (x, y )) ∈ R3 | (x, y ) ∈ D}
y
t
h
g
i
r
y
e
J
:
2
D⊂R
x
p
o
C La nappe représentative de f au dessus de D.
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
En dimension n
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
• Chaque contrainte inégalitaire est l’équation d’un demi-espace.
P
Sa frontière est un hyperplan affine de R .
e
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
En dimension n
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
e
• Le domaine admissible est l’intersection d’un p
nombre fini de
ip
demi-espaces.
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
En dimension n
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
e
nombre fini de
ip un nombre fini de
demi-espaces. C’est un polytope convexe, iayant
l
sommets.
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
En dimension n
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
e
nombre fini de
l
h
sommets.
P
Il peut être borné, ou non borné :
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
En dimension n
n
borné
non borné
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
e
nombre fini de
l
h
sommets.
P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
lorsqu’il est r
borné, c’est un compact
y
p
o
C
En dimension n
n
borné
non borné
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
e
nombre fini de
l
h
sommets.
P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
lorsqu’il est r
borné, c’est un compact =⇒ f y admet un maximum.
y
p
o
C
En dimension n
n
borné
non borné
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
e
nombre fini de
l
h
sommets.
P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
lorsqu’il est r
y
• Les hypersurfaces
de niveau forment un faisceau d’hyperplans
p
o
parallèles
C
En dimension n
n
borné
non borné
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
a
é
r
P
e
nombre fini de
l
h
sommets.
P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
lorsqu’il est r
y
• Les hypersurfaces
de niveau forment un faisceau d’hyperplans
p =⇒ lorsqu’un
o
parallèles
max existe, il est atteint sur l’un des
C
sommets.
En dimension n
n
borné
non borné
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
Théorème fondamental de la Programmation linéaire
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
On a obtenu :
p
p
i
il s’il est ni vide ni
En programmation linéaire, le domaine h
admissible,
tout R , est un polytope convexe ayant
-P un nombre fini de
sommets, qui peut être borné ounnon borné.
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
Co
Théorème (Programmation linéaire)
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
On a obtenu :
p
p
i
admissible,
sommets, qui peut être borné ounnon borné. Si un extremum existe
asommets du polytope. Un point dans
alors il est atteint sur l’un des
e
J jamais extremal si f 6= 0.
l’intérieur du domaine n’est
:
t
h
g
i
r
y
p
Co
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
On a obtenu :
p
p
i
admissible,
e
J jamais extremal si f 6= 0. Lorsque le
:
polytope est borné, tf y prend un minimum ainsi qu’un maximum.
h
g
i
r
y
p
o
C
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
On a obtenu :
p
p
i
admissible,
e
:
h
g
i
=⇒ Fournitr en particulier une méthode de résolution géométrique.
y
p
Co
n
Préliminaires
Exercices
Formulation
Généralisation
x
u
éa
r
P
e
On a obtenu :
p
p
i
admissible,
e
:
h
g
i
=⇒ Fournitr en particulier une méthode de résolution géométrique.
yà proscrire ! on emploiera plutôt la méthode du simplexe.
Méthode
p
Co
n
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Méthode inventée par le mathématicien américain Georges
Dantzig
P
e
en 1947.
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Dantzig
P
e air force, sur
en 1947. Il travaille alors comme conseiller pour l’US
la mécanisation de la planification militaire. pp
i
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Dantzig
P
e air force, sur
i utilisées de toute
l
i
C’est une méthode très efficace. Une des plus
l’histoire des mathématiques appliquées.
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Dantzig
P
e air force, sur
l
i
Ph
Elle met à profit ces constationsn
a géométriques. On part d’un
sommet initial (en général e
l’origine).
J
:
t
h
g
i
r
y
p
Co
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Dantzig
P
e air force, sur
l
i
Ph
l’origine). Une itération consiste en un
Jqui accroı̂t la valeur de la fonction.
saut sur un sommet voisin
:
t
h
g
i
r
y
p
Co
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Dantzig
P
e air force, sur
l
i
Ph
:
Lorsque ce n’est plus
t possible on se trouve sur un maximum local.
h
g
i
r
y
p
Co
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Dantzig
P
e air force, sur
l
i
Ph
:
h
La linéarité -plus
encore
la convexité- assure que c’est un
g
i
r
maximum global.
y
p
Co
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Dantzig
P
e air force, sur
l
i
Ph
:
h
encore
g
i
r
maximum global. Lorsqu’il n’y a pas de maximum la méthode le
y
signale.p
Co
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Dantzig
P
e air force, sur
l
i
Ph
:
h
encore
g
i
r
y
signale.p
En théorie un phénomène retors de cyclage peut
apparaı̂tre
Co ;
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Dantzig
P
e air force, sur
l
i
Ph
:
h
encore
g
i
r
y
signale.p
En théorie un phénomène retors de cyclage peut
apparaı̂tre
Co ; mais il n’apparaı̂t presque jamais en pratique.
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
Un problème de programmation linéaire est sous forme normale,
P
lorsqu’il s’écrit :
e
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Forme normale
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e

p
max hc, xi 

ip
l
i
Ax 6 b
forme canonique
h


P
x > 0 (S)
) n
b>0
a conditions de positivité
e
c>0
J
:
t
h
g
i
r
y
p
Co
Forme normale
x
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e

p
max hc, xi 

ip
l
i
Ax 6 b
forme canonique
h


P
x > 0 (S)
) n
b>0
e
c>0
J
:
c’est à dire lorsqu’en
t plus d’être sous forme canonique il vérifie les
h
deux conditions
de
positivité.
g
i
r
y
p
Co
Forme normale
x
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e

p
max hc, xi 

ip
l
i
Ax 6 b
forme canonique
h


P
x > 0 (S)
) n
b>0
e
c>0
J
:
h
deux conditions
de
positivité.
gla méthode du simplexe qu’à des problèmes sous
i
r
On n’appliquera
y
forme normale.
p
Co
Forme normale
x
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e

p
max hc, xi 

ip
l
i
Ax 6 b
forme canonique
h


P
x > 0 (S)
) n
b>0
e
c>0
J
:
h
deux conditions
de
positivité.
gla méthode du simplexe qu’à des problèmes sous
i
r
On n’appliquera
y
forme normale.
p
o comment écrire tout problème de programmation linéaire
On verra
C
sous forme normale.
Forme normale
x
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Méthode du simplexe I : préparation
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
• a. On change chaque contrainte inégalitaire ϕ (x) 6 b en
P
contrainte égalitaire en introduisant une variable d’écart s :
e
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
i
i
i
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e
ha , xi +p
s p
=b
ha , xi 6 b ⇐⇒
s > 0ili
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e
ha , xi +p
s p
=b
ha , xi 6 b ⇐⇒
s > 0ili
• b. On constitue un tableau sur lequel
Phon travaillera :
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e
ha , xi +p
s p
=b
ha , xi 6 b ⇐⇒
s > 0ili
hon travaillera :
• b. On constitue un tableau sur lequel
P
x
··· x
s
· ·n
· s
b
a
e 0 b )
a
··· a
1
J
: ...
..
..
..
partie centrale
.
A
. t
.
h
a
· · · ga
0
1
b
i
r
y
cp · · · c
0 ··· 0
f − 0 } ligne résultat
o
C | {z }
i
i
i
i
1
i
i
n
i
i
1
p
11
1n
1
p1
pn
p
1
n
c>
i
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Méthode du simplexe II : Implémentation
Boucle principale de l’algorithme.
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
hil
• Tant que la ligne résultat contient un terme > 0 à gauche.
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
• Fin tant que.
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
il la colonne pivot j.
• Le plus grand de ces éléments détermine
h
P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
• Fin tant
p que.
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
h
Ppivot :
• Choisir un pivot dans la colonne
n centrale choisi tel que b /α
C’est l’élément α de la partie
a
soit > 0 et minimal. Il e
détermine la ligne pivot (L).
J
:
t
h
g
i
r
y
• Fin tant
p que.
o
C
ij
i
ij
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
h
Ppivot :
a
J
: trouver de pivot : pas de solution.
• Si on ne peut pas
t
h
g
i
r
y
• Fin tant
p que.
o
C
ij
i
ij
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
h
Ppivot :
a
J
: trouver de pivot : pas de solution.
• Si on ne peut pas
t
• Sinon ajouter
h α.(L) à chaque autre ligne jusqu’à annuler
tous r
lesig
termes de la colonne pivot autres que le pivot.
yque.
• Fin tant
p
Co
ij
i
ij
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Méthode du simplexe II : implémentation
a1j
..
.
aij
..
.
apj
bj
..
.
p
p
i
hibl
P
an
e
J
:
cmax > 0
i
..
.
bp
f −R
t
h
g
i
r
y élément de la ligne résultat (à gauche), détermine la
Le plus grand
p
colonne
pivot
Co
Colonne
pivot
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
a1j
..
.
(L) :
aij
..
.
apj
bj
..
.
p
p
i
hibl
P
an
e
J
:
cmax > 0
i
bi /aij minimal
..
.
bp
f −R
t
h
g
i
r
y l’élément a de la colonne pivot (en haut) tel que b /a
Le pivot est
p
soit o
> 0 et minimal. Il détermine la ligne pivot (L).
C
Colonne
pivot
ij
i
ij
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e −a /a × (L)
a1j
..
.
(L) :
aij
..
.
apj
bj
..
.
p
p
i
hibl
P
an
e
J
:
cmax > 0
1j
ij
i
..
.
bp
f −R
−apj /aij × (L)
−c/aij × (L)
t
h
g
i
r
On utilisey
la ligne pivot pour annuler tous les termes de la colonne
p
pivot,
autres que le pivot.
Co
Colonne
pivot
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
b − a b /aP
.. e
p
.
p
i
il b
0
..
.
aij
..
.
0
0
j
Ph
n
a
e
J
:
1j i
ij
i
..
.
bp − apj bi /aij
f − R − cj bi /aij
t
h
g
i
r
y sur un sommet voisin. La valeur de la fonction, qui
C’est le saut
p
étaito
R, s’est accrue de c b /a > 0.
C
j i
ij
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
• Lorsqu’il n’y a plus de terme > 0 dans la ligne résultat
:
P
e
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P:
Barrer les colonnes à la verticale d’éléments 6= 0 deela ligne résultat
p
gauche.
p
i
il
h
P
n
a
e
0 · · · 0 r < 0 0:· ·J
·0 r < 0 0···0 f − f
t
h
g
i
r
y
p
Co
i
max
j
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P:
gauche.Chaque variable correspondante est =p0.p
i
l
i
Ph
n
a
e
0 · · · 0 r < 0 0:· ·J
·0 r < 0 0···0 f − f
t
h
g0
x i=
s =0
r
y
p
Co
i
j
i
j
max
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P:
ile système linéaire (S).
l
Déterminer les autres variables en résolvant
i
)
Ph
n
(S)
a
e
0 · · · 0 r < 0 0:· ·J
·0 r < 0 0···0 f − f
t
h
g0
x i=
s =0
r
y
p
Co
i
j
i
j
max
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P:
l
i
)
Ph
n
(S)
a
e
0 · · · 0 r < 0 0:· ·J
·0 r < 0 0···0 f − f
t
h
g0
x i=
s =0
r
yobtient le maximum (x , x , . . . , x )
p
=⇒ On
Co
i
j
i
j
max
1
2
n
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P:
l
i
)
Ph
n
(S)
a
e
0 · · · 0 r < 0 0:· ·J
·0 r < 0 0···0 f − f
t
h
g0
x i=
s =0
r
yobtient le maximum (x , x , . . . , x ) ; la valeur maximale
p
=⇒ On
o
f C de f se lit dans la ligne résultat partie droite.
i
j
i
j
max
1
2
n
max
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Reprenons l’exemple précédent :
max f (x, y ) = 150x + 450y
(x,y )
p
p
i
hil
x 6 120
y 6 70
x + y 6 140
P
n
x, y > 0 (S)
a
e
J
t:
x + 2y 6 180
h
g
i
yr
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Reprenons l’exemple précédent :
max f (x, y ) = 150x + 450y
(x,y )
p
p
i
hil
x 6 120
y 6 70
x + y 6 140
P
n
x, y > 0 (S)
a
e
J
t :y s s s
x + 2y 6 180
x
1
0
1
1
150
ir gh
C
y
p
o
0
1
1
2
450
1
2
3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
s4
0
0
0
1
0
120
70
140
180
f −0
Préliminaires
Exercices
x
1
0
1
1
150
y
0
1
1
2
450
t
h
g
i
r
y
s1
1
0
0
0
0
s2
0
1
0
0
0
s3
0
0
1
0
0
s4
0
0
0
1
0
120
70
140
180
f −0
x
u
éa
r
P
e
P
an
p
p
i
hil
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
1
0
1
1
150
y
s1
1
0
1 0
1
0
2
0
450 0
t
h
g
i
r
y
s2
0
1
0
0
0
s3
0
0
1
0
0
s4
0
0
0
1
0
x
u
a
é
r
120
P
(L)
70
e
140 p−(L)
ip −2(L)
180
l
i
hf − 0 −450(L)
P
an
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
1
0
1
1
150
y
s1
0
1
1 0
1
0
2
0
450 0
s2
0
1
0
0
0
s3
0
0
1
0
0
s4
0
0
0
1
0
x
u
a
é
r
120
P
(L)
70
e
140 p−(L)
ip −2(L)
180
l
i
h −450(L)
P
x
y s
s
sans
1
0 1
0 e0 0
120
J
0
1 0
1
0
0
70
:
t
1
0 0
1 0
70
h −1
1
0ig 0
−2
0 1
40
r
150y 0 0 −450 0 0 f − 31500
p
o
C
1
2
3
f −0
4
Préliminaires
Exercices
x
1
0
1
1
150
y
s1
1
0
1 0
1
0
2
0
450 0
s2
0
1
0
0
0
s3
0
0
1
0
0
s4
0
0
0
1
0
x
u
a
é
r
120
P
(L)
70
e
140 p−(L)
ip −2(L)
180
l
i
hf − 0 −450(L)
P
x
y s
s
sans
1
0 1
0 e0 0
120
J
0
1 0
1
0
0
70
:
t
1
0 0
1 0
70
h −1
1
0ig 0
−2
0 1
40
r
150y 0 0 −450 0 0 f − 31500
p
o
C
1
2
3
4
−(L)
−(L)
(L)
−150(L)
Préliminaires
Exercices
x
0
0
0
1
0
y
0
1
0
0
0
s1
1
0
0
0
0
t
h
g
i
r
y
s2
1
1
0
−2
−300
s3
0
0
1
0
0
s4
−1
0
−1
1
−150
80
p
p
ili 70
Ph
an
e
J
:
x
u
éa
r
P
e
30
40
f − 37500
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
0
0
0
1
0
y
0
1
0
0
0
s1
1
0
0
0
0
t
h
g
i
r
y
s2
1
1
0
−2
−300
s3
0
0
1
0
0
s4
−1
0
−1
1
−150
80
p
p
ili 70
Ph
an
e
J
:
x
u
éa
r
P
e
30
40
f − 37500
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
0
0
0
1
0
y
0
1
0
0
0
s1
1
0
0
0
0
s2
1
1
0
−2
−300
s3
0
0
1
0
0
s4
−1
0
−1
1
−150
80
p
p
ili 70
Ph
an
e
J
:
x
u
éa
r
P
e
30
40
f − 37500
On obtient pour maximum x1 = 40, x2 = 70, et fmax = 37500.
(s1 = 80, s2 = 0, s3 = 30, s4 = 0).
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Ecrire un problème max sous forme normale
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
• En présence de contrainte égalitaires.
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
L’insérer dans le tableau, sans ajouter de variable d’écart.
e
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e
• En l’absence de la contrainte de signe : (S) : p
x > 0, c’est à dire
ip
l
si x 6> 0.
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
i
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e
ip0.
si x 6> 0. Poser x = x − x avec x , x il>
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
i
i
+
i
−
i
+
i
−
i
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e
ip0.
• Si c 6> 0.
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
i
i
+
i
−
i
+
i
−
i
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e
ip0.
h
• Si c 6> 0.
P
Si c < 0 : poser x = 0. Dans la matrice de la méthode du simplexe
n la colonne correspondante.
cela revient à barrer (=supprimer)
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
i
i
+
i
i
−
i
+
i
−
i
i
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e
ip0.
h
• Si c 6> 0.
P
a
e
• Si b 6> 0.
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
i
i
+
i
i
−
i
+
i
−
i
i
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
e
ip0.
h
• Si c 6> 0.
P
a
e
• Si b 6> 0.
J
Si b < 0. Changer tla :
contrainte inégalitaire en contrainte
égalitaire en insérant
une nouvelle variable p > 0.
h
ga x + · · · + a x 6 −|b |
i
r
y −a x − · · · − a x − p = |b | avec p > 0
p
⇐⇒
Co
i
+
i
i
i
−
i
−
i
+
i
i
i
i
i1 1
in n
i1 1
in n
i
i
i
i
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Changer un problème min en problème max
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Théorème (Dualité min/max)
p
p
i
hil
Un problème de minimisation en programmation linéaire est
équivalent à un problème de maximisation dans le sens suivant :
P
a⇐⇒n
min g (y) = hb, yi
y
A>
y>c
y>0
t
h
g
i
r
y
e
J
:
max f (x) = hc, xi
x
Ax 6 b
x>0
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
hil
P
a⇐⇒n
min g (y) = hb, yi
y
A>
y>c
y>0
t
h
g
i
r
y
e
J
:
max f (x) = hc, xi
x
Ax 6 b
x>0
• gmin = fmax ,
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
hil
P
a⇐⇒n
min g (y) = hb, yi
y
A>
y>c
y>0
e
J
:
max f (x) = hc, xi
x
Ax 6 b
x>0
t
h
gde g a pour coordonnées les opposés des valeurs
i
• un minimum
r
y résultat à la verticale des variables d’écart du
dans lap
ligne
problème
Co de maximisation.
• gmin = fmax ,
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Exemple de problème de minimisation
p
p
i
min 2x + 8y il


Ph 100 
1 0
 0 1  n  100 

 ax


 1 1 
500 
>
e




 1 3J y
 900 
:
t
3 2
1200
h
g
x, y > 0
i
r
y
On considère le problème de minimisation :
x,y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Avec le théorème de dualité min/max, il est équivalentP
au
problème de maximisation :
e
p
ip + 1200x
l
max 100x + 100x + 500x + i900x
 h
Px  
n x  2
1 0 1 1 a
3 
x 6
0 1 1J3e 2 
8
 x 
:
x
t
h
g x ,x ,x ,x ,x > 0
i
r
y
p
Co
x1 ,...,x5
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
Avec le théorème de dualité min/max, il est équivalentP
au
problème de maximisation :
e
p
ip + 1200x
l
max 100x + 100x + 500x + i900x
 h
Px  
n x  2
1 0 1 1 a
3 
x 6
0 1 1J3e 2 
8
 x 
:
x
t
h
g x ,x ,x ,x ,x > 0
i
r
y
qui est p
sous forme normale. On le résout par la méthode du
simplexe.
Co
x1 ,...,x5
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
Préliminaires
Exercices
1
0
100
0
1
100
t
h
g
i
r
y
1
1
500
1
3
900
3 x
u
éa
r
P
2
e
p 8
p
i
hil f − 0
2
1200
P
an
1
0
0
0
1
0
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
1
0
100
0
1
100
1
1
500
1
−2/3
−300
0
1
100
1
1/3
100
:
t
h
1
3
900
3 p 8
p
i
hil f − 0
2
1200
1
0
0
3P 1
7/3n 0 −2/3
a
500 0 −400
e
J
1 x
u
éa
r
P
2
e
0
1
0
0
1
0
2
20/3
f − 800
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
1
0
100
0
1
100
1
1
500
1
−2/3
−300
0
1
100
1
1/3
100
1
−3
−800
:1
t
h −2
0
1 p
o
C
g
i
100
r
y
1
3
900
3 p 8
p
i
hil f − 0
2
1200
1
0
0
3P 1
7/3n 0 −2/3
a
500 0 −400
e
J
−400
1 1
0
0
x
u
éa
r
P
2
e
3
−7
−1500
1
−3
−900
0
1
0
0
1
0
2
20/3
f − 800
0
1
0
2
2
f − 1800
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
1
−3
−900
0
1
0
1
−2
−200
t
h
g
i
r
y
1
0
0
3
−7
−800
p
p
i
hil
1
−3
− 600
P
an
0
1
− 100
e
J
:
p
o
C
2
2
f − 2000 Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
1
−3
−900
0
1
0
1
−2
−200
1
0
0
3
−7
−800
p
p
i
hil
1
−3
− 600
0
1
− 100
P
n = 100 ; f
=⇒ x
= 600 ; a
y
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
min
min
min
= 2000 .
Co
2
2
f − 2000 I - Programmation linéaire
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
1
−3
−900
0
1
0
1
−2
−200
1
0
0
3
−7
−800
p
p
i
hil
1
−3
− 600
0
1
− 100
2
2
f − 2000 P
n = 100 ; f = 2000 .
=⇒ x
= 600 ; a
y
e
J
: plus facile à résoudre dans un problème
t
Remarque. En fait c’est
hproblème max : inutile de résoudre un système
min que dans un
g
i
rtrouver la valeur des variables.
linéaire pour
y
p
o
C
min
min
min
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
Attention, lorsque un problème d’optimisation linéaire
e cherche une
p
solution entière (c’est à dire à coordonnées entières),
ip tout ce que
l’on a vu jusqu’à présent ne s’applique pasil!
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e cherche une
p
ip tout ce que
h sur les réels et non sur
La méthode du simplexe donne l’optimum
P
les entiers.
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e cherche une
p
ip tout ce que
P
les entiers.
n de programmation linéaire
Un tel problème s’appelle un problème
a
eet c’est un domaine de recherche
en nombre entiers (PLNE),
J
spécifique, utilisant ses: outils propres (optimisation combinatoire),
t pas ici.
que nous ne développerons
h
g
i
r
y
p
Co
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e cherche une
p
ip tout ce que
P
les entiers.
n de programmation linéaire
Un tel problème s’appelle un problème
a
eet c’est un domaine de recherche
en nombre entiers (PLNE),
J
spécifique, utilisant ses: outils propres (optimisation combinatoire),
t pas ici.
que nous ne développerons
h
g entier d’un optimum ne fournit pas en général
i
Prendre un r
arrondi
l’optimumyen nombre entiers !
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Exemple de PLNE
Soit le problème :
p
p
i
hil
max x + 4y
x,y
y > 0,
P
an
4>x >0
425x + 200y 6 670
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Exemple de PLNE
4
max x + 4y
p
p
i
hil
3
x,y
y > 0,
P
an
2
4>x >0
425x + 200y 6 670
:
t
h
Je
1
0
rig
0
1
2
3
y
p
o
Le domaine admissible.
C
4
5
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Exemple de PLNE
4
max x + 4y
p
p
i
hil
3
x,y
y > 0,
P
an
2
4>x >0
425x + 200y 6 670
:
t
h
Je
1
0
rig
0
1
2
3
y
p
o
Le maximum est atteint au point (4, 2.5).
C
4
5
Préliminaires
Exercices
x
u
éa
r
P
e
Exemple de PLNE
4
max x + 4y
p
p
i
hil
3
x,y
y > 0,
P
an
2
4>x >0
425x + 200y 6 670
:
t
h
Je
1
0
rig
0
1
2
3
y
p
o
Le maximum est atteint au point (4, 2.5).
Le maximum du problème en nombres entiers est (1, 3).
C
4
5
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
e
Exercices
p
p
i
hil
Exercice 1.
P
an
Exercice 2.
t
h
g
i
r
y
Exercice 3.
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
Une usine produit deux types de produits finis x et y àP
partir d’une
e
même matière première.
p
p
i
il
h
P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Exercice 1. Enoncé
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
e partirà lad’une
même matière première. Les produits x et y lui p
rapportent
vente respectivement 8 et 4 euros le litre. lip
i
h
P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
rapportent
pquantité de x et y
vente respectivement 8 et 4 euros le litre. La
i
l
i
produits est limitée par le stock de matière
h première disponible et
par la durée du temps de travail. -P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
rapportent
i
l
i
disponible et
h première
par la durée du temps de travail. La
fabrication
d’un
litre de
P
produit x (resp. y ) nécessite 1kgn(resp. 1kg ) de matière première.
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
Co
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
rapportent
i
l
i
disponible et
h première
fabrication
d’un
litre de
P
a fabriquer 100l de x tandis qu’il
Il faut 15 heures de travail e
pour
J 100l de y .
faut 3 heures pour fabriquer
:
t
h
g
i
r
y
p
Co
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
rapportent
i
l
i
disponible et
h première
fabrication
d’un
litre de
P
pour
J 100l de y . On dispose de 1t de
:
matière première ettde 45 heures de travail chaque semaine.
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
rapportent
i
l
i
disponible et
h première
fabrication
d’un
litre de
P
pour
J 100l de y . On dispose de 1t de
:
matière première ettde 45 heures de travail chaque semaine.
h du simplexe pour maximiser le profit
Appliquer la méthode
g
i
r
hebdomadaire.
y
p
o
C
Retour.
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
e
Exercice 1 : Formulation
p
p
i
hil
On note x, y les quantités en litre de produits finis.
La fonction économique à maximiser -qui représente le bénéfice
brut- est :
f (x, y ) = 8x + 4y
sous les contraintes :
t
h
g
i
r
y
P
an
e
J
:

 x + y ≤ 1000
15x + 3y ≤ 4500

x, y ≥ 0
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
e
Exercice 1 : Méthode du simplexe
1
1
15 3
8
4
1
0
0
0
1
0
1000
4500
f −0
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
1 1 0 1000
− l
P
l
3 0 1 4500
e
−pl
4 0 0 f −0
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
1
15 8
t
h
g
i
r
y
1
15
8
15
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
1
1 1 0 1000
− l
P
l
15 3 0 1 4500
e
−pl
8
4 0 0 f −0
ip
l
i
0
4/5 1 −1/15 700h
l
15
3
0
1 -P
4500
n f − 2400
0 12/5 0 -8/15
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
1
15
8
15
Co
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
1
1 1 0 1000
− l
P
l
15 3 0 1 4500
e
−pl
8
4 0 0 f −0
ip
l
i
0
4/5 1 −1/15 700h
l
− l
15
3
0
1 -P
4500
n f − 2400 −3l
0 12/5 0 -8/15
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
1
15
8
15
15
4
Co
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
1
1 1 0 1000
− l
P
l
15 3 0 1 4500
e
−pl
8
4 0 0 f −0
ip
l
i
0
4/5 1 −1/15 700h
l
− l
15
3
0
1 -P
4500
n f − 2400 −3l
0 12/5 0 -8/15
a
e 700
J
0 4/5
1
−1/15
: 5/4 1875
15
0
-15/4
t
0
0 gh
-3
-1/3
f − 4500
i
r
y
p
Co
1
15
8
15
15
4
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
1
1 1 0 1000
− l
P
l
15 3 0 1 4500
e
−pl
8
4 0 0 f −0
ip
l
i
0
4/5 1 −1/15 700h
l
− l
15
3
0
1 -P
4500
n f − 2400 −3l
0 12/5 0 -8/15
a
e 700
J
0 4/5
1
−1/15
=⇒ y = 875
:
15
0
-15/4
5/4
1875
=⇒ x = 125
t
h
f
= 4500
0
0 g -3
-1/3
f − 4500
i
r
y
p
Co
1
15
8
15
15
4
max
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
1
1 1 0 1000
− l
P
l
15 3 0 1 4500
e
−pl
8
4 0 0 f −0
ip
l
i
0
4/5 1 −1/15 700h
l
− l
15
3
0
1 -P
4500
n f − 2400 −3l
0 12/5 0 -8/15
a
e 700
J
0 4/5
1
−1/15
=⇒ y = 875
:
15
0
-15/4
5/4
1875
=⇒ x = 125
t
h
f
= 4500
0
0 g -3
-1/3
f − 4500
i
r
y 125 l de produit x et 875 l de produit y pour
Il faut produire
p
maximiser
le bénéfice à 4500e. On a pleinement utilisé le stock et
o
C
la main d’oeuvre.
1
15
8
15
15
4
max
Retour.
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
e
p
p
i
hil
Une fonderie fabrique 3 qualités de bronze à partir de cuivre et
d’étain, en proportions variables. Elle dispose d’une quantité
mensuelle de 65 tonnes de cuivre et de 5 tonnes d’étain.
Qualité
A
B
C
P
an
Bénéfice brut (Ke/t)
2
1.6
1.8
e
J
:
% cuivre
90
93
95
t
h
Quelle production
g maximise le bénéfice mensuel ?
i
r
y
p
Co
Retour.
% étain
10
7
5
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
Notons :
P
– x la quantité mensuelle produite (en t) de bronze
de
e qualité A.
p
– y la quantité mensuelle produite (en t) de p
bronze de qualité B.
i
l
i
– z la quantité mensuelle produite (en t) de bronze de qualité C .
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Exercice 2. Formulation
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
Notons :
P
de
e qualité A.
p
i
l
i
h
La fonction bénéfice brut mensuel à P
maximiser s’écrit :
n
f (x, y , z) =a2x + 1.6y + 1.8z
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
Notons :
P
de
e qualité A.
p
i
l
i
h
La fonction bénéfice brut mensuel à P
maximiser s’écrit :
n
f (x, y , z) =a2x + 1.6y + 1.8z
e :
J
sous les contraintes inégalitaires
:
t
h 90x + 93y + 95z 6 6500
g
i
r 10x + 7y + 5z 6 500
y
p
x, y , z > 0
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
e
Exercice 2. Méthode du simplexe
93
90
10 7
2
1.6
95
5
1.8
1
0
0
0
1
0
6500
500
f −0
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
93
90
10 7
2
1.6
95
5
1.8
1
0
0
0
1
0
6500
500
f −0
0
10
0
30
7
0.2
50 x
u
éa
r
1 P
−9
2000
e
0
p
0
ip
l
i
h
5
0.8
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
1
−0.2
500
f − 100
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
93
90
10 7
2
1.6
0
10
0
95
5
1.8
30
4
−0.28
1
0
0
50 0
0
0
1
0
6500
500
f −0
1
−0.1
−0.016
t
h
g
i
r
y
0
10
0
30
7
0.2
50 0
p
0
ip
l
i
h
5
0.8
e
J
:
P 2000
300
n
a f − 132
−9
1.9
−1.856
x
u
éa
r
1 P
−9
2000
e
500
f − 100
=⇒ x3 = 40
=⇒ x1 = 30
=⇒ fmax = 132
p
o
C
1
−0.2
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
93
90
10 7
2
1.6
0
10
0
95
5
1.8
30
4
−0.28
1
0
0
50 0
0
0
1
0
6500
500
f −0
0
10
0
30
7
0.2
50 0
p
0
ip
l
i
h
5
0.8
P 2000
300
n
a f − 132
−9
1.9
−1.856
1
−0.1
−0.016
x
u
éa
r
1 P
−9
2000
e
1
−0.2
500
f − 100
=⇒ x3 = 40
=⇒ x1 = 30
=⇒ fmax = 132
e
J
On obtient x = 30, x : = 0, x = 40, pour f
= 132. Il faut
t
produire 30t, 0t et
40t,
respectivement
de
bronze
de qualités A, B,
h
g
C , pour un benéfice
de 132000 e. Les stocks de cuivre et
i (smaximal
répuisés
d’étain sont
= s = 0).
y
p
o
C
1
2
1
3
max
2
Retour.
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
Problème du consommateur. On peut acheter 4 types
e d’aliments,
dont la teneur en glucides et lipides est donnée p
dans le tableau
ip convenable) :
suivant (par unité de poids et exprimé en iunités
l
h
type 1 type 2P type 3 type 4
glucides
2
n2.51 02 4.51
a
lipides
1
e 2 1 8
prix
2J
:
t
Le problème du consommateur
à obtenir au moindre coût
gh de glucides etconsiste
i
au moins 12runités
7 unités de lipides.
y
p
Co
Exercice 3.a. Enoncé
Retour.
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
En notant x , x , x , x les quantités de chaque type d’aliment :
P
e
p
ip
l
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Formulation
1
2
3
4
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
min 2x + 2x + x + 8x
e
p

p
 2x + x + x > 12 ili
x + 2.5x + 2x + h
4.5x > 7

x , x , x , x > -0P
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Formulation
1
2
3
4
1
x1 ,...,x4
1
2
2
1
1
3
4
4
2
2
3
3
4
4
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
Préliminaires
Exercices
x
u
a
é
r
P
min 2x + 2x + x + 8x
e
p

p
 2x + x + x > 12 ili
x + 2.5x + 2x + h
4.5x > 7

x , x , x , x > -0P
n au problème :
Par dualité min/max, il est équivalent
a
e12y + 7y
J
max
:
t
+y >2
h  y 2y+ 2.5y
g
i
>2

r
y
2y > 1
p


y
+
4.5y
>8

o


C
y ,y > 0
Formulation
1
2
3
4
1
x1 ,...,x4
1
2
2
2
2
4
4
1
1
3
3
3
4
4
1
y1 ,y2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
e
Exercice 3.a. Méthode du simplexe
p
p
i
hil
P
an
t
h
g
i
r
y
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
e
2 1
0
1
12
1
2.5
2
4.5
7
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
t
h
g
i
r
y
2
2
1
8
f −0
p
p
i
hil
P
an
e
J
:
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa 2
2 1
1
0 0 r0
2
0 2 −0.5 1 P
2
e 0 0 11
1
0 2
0p 0 1 0
8
0 4 l−0.5
ip 0 0 1 7
i
f −0
0 1h −6 0 0 0 f − 12
P
n
a
Je
2 1
0
1
12
1
2.5
2
4.5
7
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa 2
2 1
1
0 0 r0
0 0 0
2
0 2 −0.5 1 P
2
1 0 0
e 0 0 11
0 1 0
1
0 2
0p 0 1 0
8
0 0 1
0 4 l−0.5
ip 0 0 1 7
i
0 0 0 f −0
0 1h −6 0 0 0 f − 12
P
2 0
1
0 n
−0.5 0
1.5
0
0 0 −0.5 e1a −1
0
0 2
0 J 0
1
0
1
:
0 0 t−0.5 0
−2
1
5
h
0 g0
-6
0
-0.5
0 f − 12.5
ri
2 1
0
1
12
1
2.5
2
4.5
7
1
0
0
0
0
y
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa 2
2 1
1
0 0 r0
0 0 0
2
0 2 −0.5 1 P
2
1 0 0
e 0 0 11
0 1 0
1
0 2
0p 0 1 0
8
0 0 1
0 4 l−0.5
ip 0 0 1 7
i
0 0 0 f −0
0 1h −6 0 0 0 f − 12
P
2 0
1
0 n
−0.5 0
1.5
0
0 0 −0.5 e1a −1
0
0 2
0 J 0
1
0
1
:
0 0 t−0.5 0
−2
1
5
h
0 g0
-6
0
-0.5
0 f − 12.5
ri
2 1
0
1
12
1
2.5
2
4.5
7
1
0
0
0
0
y
p
o
Il faut acheter 6 u.p. d’aliment de type 1, 0.5u.p. d’aliment de type
3, et aucun aliment de types 2,4. Pour un coût de 12.5 u.m. on
obtient 12 u. de glucides et 7 u. de lipides.
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
Problème du concurrent. Un vendeur concurrent souhaite
e dont les
s’approprier ce marché avec 2 nouveaux types d’aliment,
p
teneurs respectives en glucides et lipides sontp
données dans le
ide volume dans l’unité
l
i
tableau suivant (toujours exprimé par unité
convenable) :
Ph
n 1 type 2
type
a
glucides
1
0
e
J
lipides
0
1
:
t
h les prix de chacun de ces 2 produits lui
Il cherche à déterminer
g
i
permettant r
d’être le plus compétitif, tout en en retirant le bénéfice
y
maximal.
p les prix optimaux de ces 2 aliments.
o
Déterminer
C
Exercice 3.b. Enoncé
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
En appelant y , y le prix par unité de volume des aliments 1 et 2,
P
il s’agit de maximiser la fonction (c’est la gain obtenu pour l’achat
e
permettant d’obtenir 12u. de glucides et 7u. dep
lipides) :
ip
l
g (y , y ) = 12y + 7y
i
Ph
n
a
e
J
:
t
h
g
i
r
y
p
o
C
Exercice 3.b. Formulation
1
2
1
2
1
2
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
P
e
lipides) :
ip
l
g (y , y ) = 12y + 7y
i
Ph pour obtenir la même
Pour être compétitif le coût de ses-produits
n dans les produits concurrents
quantité de glucides et lipides que
a
doit leur être inférieur ou égal.
Cela
e s’exprime :

J
y ≤2
:  2yy ++2.5y
t
≤2
h
g
2y
≤
1



ri
y + 4.5y ≤ 8
y
p
Co
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2
1
2
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
a
é
r
P
e
lipides) :
ip
l
g (y , y ) = 12y + 7y
i
Ph pour obtenir la même
Pour être compétitif le coût de ses-produits
n dans les produits concurrents
quantité de glucides et lipides que
a
doit leur être inférieur ou égal.
Cela
e s’exprime :

J
y ≤2
:  2yy ++2.5y
t
≤2
h
g
2y
≤
1



ri
y + 4.5y ≤ 8
y
p
Ce problème
n’est rien d’autre que le problème max dual du
o
C
problème du consommateur.
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2
1
2
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
x
u
éa
r
P
e
Exercice 3.b Méthode du simplexe
p
p
i
l
0
1.5 i
h
0
-P0
0 n 1
a1 5
On lui a déjà appliqué la méthode du simplexe :
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
1
−0.5
0
−0.5
−6
0
1
0
0
0
t
h
g
i
r
y
−0.5
−1
1
−2
−0.5
e0
J
:
f − 12.5
p
o
C
Préliminaires
Exercices
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice 3.b Méthode du simplexe
p
p
i
l =⇒
0
1.5 i
h
0
-P0
0 n 1
=⇒
a1 5
On lui a déjà appliqué la méthode du simplexe :
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
1
−0.5
0
−0.5
−6
0
1
0
0
0
t
h
g
i
r
y
−0.5
−1
1
−2
−0.5
x
u
éa
r
P
e
e0
J
:
f − 12.5
On obtient : y1 = 0.75u.m. et y2 = 0.5u.m..
Retour.
p
o
C
y1 = 0.75
y2 = 0.5

I - Programmation linéaire

Transcription

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