Projet n 1 : identification des param`etres d`une prise

Magistère informatique et télécommunications
2007-2008
Projet n◦ 1 : identification des paramètres
d’une prise de vue
Ce sujet est inspiré d’un polycopié d’Ernst Hairer [1]. La figure 1 montre une photographie de la Vallée Blanche (prise par G. Wanner). On y reconnaı̂t 6 sommets dont les
coordonnées sur la photo sont notées (uk , vk ), k = 1..6. La figure 2 présente une carte
géographique de cette région. Les six sommets repérés sur la photo y sont représentés et
leurs coordonnées (y compris l’altitude z) sont notées (xk , yk , zk ), k = 1..6. Le tableau 1
recense les données, i.e. les coordonnées de chaque sommet dans les deux systèmes. Le
but du devoir est d’identifier, à partir de ces données, la position de l’appareil photo, du
foyer, et l’angle d’inclinaison.
Fig. 1 – Photographie de la Vallée Blanche
Fig. 2 – Carte de la Vallée Blanche
Les inconnues du problème sont :
– la position du foyer de la caméra, notée (x̂, ŷ, ẑ)
– le vecteur i = (a, b, c), dont la direction donne l’orientation de l’appareil photo, et la
norme indique la distance entre le foyer et le plan du film,
– l’angle θ de rotation de l’appareil autour de la direction (a, b, c)
On note aussi, pour tout k = 1..6,
αk
cos θ sin θ
uk
=
,
et wk = i + αk h + βk g,
βk
− sin θ cos θ
vk
1.
2.
3.
4.
5.
6.
k
Col des Grandes Jorasses
Aiguille du Géant
Aiguille Blanche de Peterey
Aiguille de Tacul
Petit Rognon
Aiguille du Moine
uk
-0.0480
-0.0100
0.0490
-0.0190
0.0600
0.0125
vk
0.0290
0.0305
0.0285
0.0115
-0.0005
-0.0270
Tab. 1 – Données du problème
xk
9855
8170
2885
8900
5700
8980
yk
5680
5020
730
7530
7025
11120
zk
3825
4013
4107
3444
3008
3412
les vecteurs h et g étant définis de façon à former une base orthogonale du plan du film :

 

−ac
b
1
1
 −bc  .
−a , g = p
h= √
2
2
2
2
2 + b2 + c2 )
a +b
(a
+
b
)(a
a2 + b 2
0
On peut montrer que les inconnues doivent satisfaire les relations suivantes, pour
chaque k = 1...6,
  

w1k
xk − x̂
0 = w2k  ×  yk − ŷ  ,
w3k
zk − ẑ
la notation × désignant le produit vectoriel dans R3 .
On obtient donc 18 équations pour seulement 7 inconnues. Le problème étant surdéterminé, et les données sujettes aux erreurs de mesure, on va le résoudre au sens des
moindres carrés.
Suggestions pour l’étude du problème
Les suggestions ci-dessous ne sont que des pistes de réflexion, il n’est pas obligatoire de
traiter toutes les questions, et d’autres aspects pourront être abordés. Cependant, le travail
comportera obligatoirement une partie de programmation, dans un langage laissé au libre
choix du binôme.
1. On note
X = (x̂, ŷ, ẑ, a, b, c, θ)
le vecteur des inconnues. Expliciter la fonction f dont on veut minimiser la norme.
Que peut-on dire de sa différentiabilité ?
2. Quelle méthode numérique vue en cours peut-on proposer pour calculer le minimum ?
(On ne cherchera pas à montrer que la méthode converge dans ce cas particulier.)
Programmer cette méthode et donner le résultat obtenu.
3. On pourra aussi étudier la méthode de Gauss-Newton proposée par Ernst Hairer, qui
consiste à minimiser à chaque étape la norme de l’application linéarisée autour de la
dernière itérée calculée :
X j+1 = Arg min7 kf (X j ) + Jf (X j )(X − X j )k,
X∈R
où Jf désigne la matrice jacobienne de f :
∂fl
Jf (X) =
∂Xi l=1,..18,
i=1..7
Références
[1] polycopié d’analyse numérique d’Ernst Hairer, http ://www.unige.ch/∼hairer/polycop.html,
paragraphe VI.4