Université d`Aix Marseille 1, Master de Mathématiques Analyse

Université d’Aix Marseille 1, Master de Mathématiques
Analyse numérique, Exercices éléments finis
Exercice 1
Soit f ∈ L2 (]0, 1[). On s’intéresse au problème suivant :
−u′′ (x) = f (x), x ∈]0, 1[,
u(0) = 0, u(1) = 0.
dont on a déjà étudié une formulation faible...
Soient N ∈ IN, h = 1/(N + 1) et xi = ih, pour i = 0, . . . , N + 1, et Ki = [xi , xi+1 ], pour i = 0, . . . , N . Soit
HN = {v ∈ C([0, 1], IR) t.q. v|Ki ∈ P1 , i = 0, . . . , N , et v(0) = v(1) = 0}, où P1 désigne l’ensemble des polynômes
de degré inférieur ou égal à 1.
1. Montrer que HN ⊂ H01 .
2. Pour i = 1, . . . , N , on pose :
φi (x) =


1−
0
|x − xi |
si x ∈ Ki ∪ Ki−1 ,
h
sinon.
Montrer que φi ∈ HN pour tout i = 1, . . . , N et que HN est engendré par la famille {φ1 , . . . , φN }.
3. Donner le système linéaire obtenu en remplaçant H par HN dans la formulation faible. Comparer avec le schéma
obtenu par différences finies.
Exercice 2
Soit f ∈ L2 (]0, 1[). On s’intéresse au problème :
−u′′ (x) + u(x) = f (x), x ∈]0, 1[,
u′ (0) − u(0) = 0, u′ (1) = −1.
1. Donner une discrétisation par éléménts finis P1 sur maillage uniforme de ce problème.
2. Même question pour le problème suivant :
−u′′ (x) − u′ (x) + u(x) = f (x), x ∈]0, 1[,
u(0) + u′ (0) = 0, u(1) = 1
(1)