Examen 2008-2009

Recherche opérationnelle et applications
Master en sciences informatiques - Charleroi
Session de janvier 2009
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Indiquez vos noms et prénoms sur chaque feuille.
Commencez chaque question sur une nouvelle feuille.
L’examen est à notes ouvertes.
Durée de l’examen : 3 heures.
Bon travail !
Bernard Fortz
Question 1 (8 points)
Le gérant d’un hôtel souhaite renouveler le linge de toilette de son établissement. Il a besoin de :
– 90 draps de bain,
– 240 serviettes et
– 240 gants de toilette.
Une première entreprise de vente lui propose un lot A comprenant 2 draps de bain, 4 serviettes et 8
gants pour 5 €. Une deuxième entreprise vend pour 9 € un lot B de 3 draps de bains, 12 serviettes et 6
gants de toilettes.
Pour répondre à ses besoins, le gérant achète x lots A et y lots B.
1. Ecrire le problème du choix optimal des quantités x et y comme un programme linéaire en nombres
entiers.
2. Résoudre la relaxation linéaire du problème graphiquement.
3. Quelle est la solution optimale du problème en nombres entiers ? Justifiez.
4. Ecrire le dual du programme linéaire (relaxé).
5. Déterminer la solution optimale du dual.
6. [Bonus] Un hôtel voisin voudrait que notre gérant augmente les quantités commandées afin de lui
racheter les draps de bain excédentaire. A quel prix de rachat minimum notre gérant acceptera-t-il
cette offre ? Justifier.
1
Question 2 (6 points)
Résoudre le problème de transport suivant, donné par son tableau initial, en utilisant la méthode du
coin nord-ouest pour trouver la solution réalisable de base initiale.
1
2
3
Demande
Destinations
1
2
3
12
9
7
15
22
21
23
17
11
500 300 170
Offre
350
400
220
Question 3 (6 points)
1. Définissez ce qu’est une variable en base pour un programme linéaire.
2. Enoncez le théorème de dualité faible en programmation linéaire.
3. Définir (en français) le problème du voyageur de commerce et en donner une formulation mathématique.
4. Quand considère-t-on qu’un problème est facile ?
5. Enoncer les propriétés de la relaxation linéaire LP d’un problème de maximisation en nombres
entiers P .
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