FORMULAIRE

FORMULAIRE
Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de définition de la formule : par exemple
√
a sous-entend a > 0, n ∈ N∗ , k est une constante.
Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex ) = x
ln 1 = 0
e0 = 1
ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a)
ex+y = ex ey
ex−y = ex /ey
e−x = 1/ex
lim ex = 0
x→−∞
lim ex = +∞
x→+∞
x
lim xe = 0
x→−∞
lim ln(x) = −∞
x→0
x
lim e /x = +∞
x→+∞
lim ln(x) = +∞
x→+∞
lim ln(x)/x = 0
x→+∞
√
ln( a) = ln(a)/2 ln(aα ) = α ln(a)
√
ex = ex/2
(ex )y = exy
lim x ln(x) = 0
x→0
n x
lim x e = 0
x→−∞
lim ln(x)/x = 0
x→+∞
x
n
lim e /x = +∞
x→+∞
lim ln(x)/xn = 0
x→+∞
Dérivées
Fonctions usuelles
Fonctions usuelles
′
′
Règles de dérivation
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
k
0
x
1
(u + v)′ = u′ + v ′
k×x
k
xk
kxk−1
− x12
1
xn
n
− xn+1
1
√
2 x
ln x
1
x
(k × u)′ = k × u′
′
1 ′
= − uu2
u
√
′
( u)′ = 2u√u
sin x
cos x
ex
ex
(sin u)′ = u′ cos u
cos x
− sin x
tan x 1 + tan2 x
1
x
√
x
(u × v)′ = u′ v + uv ′
(uk )′ = ku′ uk−1
′
′
u ′
= u v−uv
v
v2
(u(v(x)))′ = u′ (v(x)) × v ′ (x)
(ln u)′ =
u′
u
(cos u)′ = −u′ sin u (eu )′ = u′ eu
Exemples
′
3x2 ln x = 6x ln x + 3x
′
sin3 (x) = 3 cos x sin2 x
′
−4x
1−x2
= (1+x
2 )2
1+x2
2x ′
sin e
= 2e2x cos e2x
3 ′
3
e−5x
= −15x2 e−5x
′
sin(x3 ) = 3x2 cos(x3 )
Dérivées partielles
On dérive une fonction de plusieurs variables par rapport à une variable en considérant les autres variables comme constantes.
2 3
2 3
∂ −5x2 y 3
∂
∂ −5x2 y 3
∂
2 3
3
2 3
2 2
= −10xy 3 e−5x y
= −15x2 y 2 e−5x y
∂x (−5x y ) = −10xy
∂y (−5x y ) = −15x y
∂x e
∂y e
Matrice Jacobienne, Trace, Déterminant


(
∂f
∂f
(x,
y)
(x,
y)
x′ = f (x, y)
∂y

Pour un système
on définit la Matrice Jacobienne : A(x, y) =  ∂x
∂g
∂g
y ′ = g(x, y)
(x,
y)
(x,
y)
∂x
∂y
a b
Pour une matrice A =
on définit sa trace tr(A) = a + d et son déterminant det(A) = ad − bc.
c d
Moyenne, Variance, Covariance
n
n
1X
1X
Pour une série X de n mesures xi , on a la moyenne µ(X) =
xi , la variance Var(X) =
(xi − µ(X))2 = µ(X 2 ) − µ(X)2 ,
n i=1
n i=1
p
l’écart-type σ(X) = Var(X). On a µ(aX + b) = aµ(X) + b, Var(aX + b) = a2 Var(X), σ(aX + b) = |a|σ(X).
Pour une série de n couples de mesures (xi , yi ), on a le centre
! de gravité G = (µ(X), µ(Y )),
n
1 X
(xi − µ(X))(yi − µ(Y )) = µ(XY ) − µ(X)µ(Y ),
la covariance Cov(X, Y ) =
n i=1
Cov(x, y)
,
le coefficient de corrélation linéaire ρ(x, y) = p
Var(x)Var(y)
Cov(X, Y )
, b̂ = µ(Y ) − âµ(X).
la droite des moindres carrés y = âx + b̂, où â =
Var(X)
Inertie Totale, Intraclasse, Interclasse
1
Pour un nuage Γ de n points Mi et de centre de gravité G on a l’inertie totale I(Γ) =
d(M1 , G)2 + d(M2 , G)2 + · · · + d(Mn , G)2 .
n
Si ce nuage est la réunion disjointe de k sous-nuages Γ1 , . . . , Γk , de centres de gravité G1 , . . . , Gk , formés de n1 , . . . , nk points
on a l’inertie intraclasse : Iintra = p1 I(Γ1 ) + . . . + pk I(Γk ) où pi = ni /n est le poids relatif de Γi dans Γ
et l’inertie interclasse : Iinter = p1 d2 (G1 , G)2 + . . . + pk d2 (Gk , G)2 , alors I(Γ) = Iintra + Iinter .