construire l`exponentielle

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Devoir à la maison à rendre le mercredi 16 novembre 2016
CONSTRUIRE L’EXPONENTIELLE
Votre mission dans ce devoir : construire l’exponentielle réelle à partir de rien. Mission périlleuse s’il en est car bien sûr, quand
on construit l’exponentielle « à partir de rien », on s’interdit toute utilisation quelle qu’elle soit des fonctions exponentielle
et logarithme. Si je vois une fois quelque part l’exponentielle ou le logarithme dans vos œuvres, votre mission est un échec.
Si d’autre part je rencontre dans vos copies la règle « 1+∞ = 1 », règle dont ce devoir montre justement qu’elle est FAUSSE,
je vous coupe la tête.
D’un point de vue technique, ce devoir a principalement pour but de vous faire manipuler des inégalités.
x n
en (x) = 1 +
. L’ensemble des réels x pour lesquels la suite en (x) n∈N∗ est
n
NULLE est noté E, et pour tout x ∈ E, on pose :
e(x) = lim en (x). Vous allez montrer dans
Pour tous x ∈ R et n ∈ N∗ , on pose :
convergente DE LIMITE NON
ce devoir que :
réelle.
E=R
n→+∞
et que la fonction e : R −→ R ainsi construite n’est autre que notre bonne vieille exponentielle

1
n+1
‹k
k
.
n+1

‹
 ‹
n+1
1
n 1
¶
.
b) En déduire que pour tous n ∈ N∗ et k ∈ N tels que k ¶ n :
k
(n + 1)k
k
k n
c) Montrer enfin que la suite en (x) n∈N∗ est croissante pour tout x ∈ R+ .
1) a) Montrer que pour tous n, k ∈ N :
1−
2) a) Montrer que pour tous n, k ∈ N tels que k ¶ n :
b) En déduire que pour tous x ∈ [0, 1[ et n ∈ N∗ :
¾1−
 ‹
n
¶ nk .
k
1
en (x) ¶
.
1− x
c) Montrer enfin que E contient l’intervalle [0, 1[. Que vaut e(0) ?
3) a) En raffinant la technique de la question 2)b), montrer que pour tous x ∈ ] − 1, 1[ et n ∈ N∗ :
e (x) − 1 ¶
n
|x|
.
1 − |x|
b) En déduire que pour toute suite réelle (αn )n∈N∗ telle que lim nαn = 0 :
n→+∞
lim
n→+∞
1 + αn
n
= 1.
4) On exploite dans cette question le résultat de la question 3).
a) Montrer que pour tout x ∈ R :
lim en (x) en (−x) = 1.
n→+∞
b) En déduire que pour tout x ∈ E :
c) Montrer que pour tous x, y ∈ R :
d) En déduire que pour tout x, y ∈ E :
e) Montrer enfin que :
E=R
−x ∈ E.
lim
n→+∞
en (x) en ( y)
= 1.
en (x + y)
x + y ∈ E.
et que pour tous x, y ∈ R :
∗
5) a) Montrer que pour tous x ∈ ] − 1, 1[ non nul et n ∈ N :
b) En déduire que e est dérivable en 0 et que :
e′ (0) = 1.
e(x + y) = e(x) e( y).
en (x) − 1
|x|
− 1 ¶
.
x
1 − |x|
c) Montrer enfin, en revenant à la définition du nombre dérivé en un point, que e est dérivable sur R et que :
1
e′ = e.