Chapitre 1 Pourcentages

DUCHATEL.S
2005-2006
Chapitre 1
Pourcentages
1 Part en pourcentage
Définition
Soit un ensemble de référence E ayant n E éléments et A
une partie de E ayant nA éléments (on note A ⊂ E ). On dit
que la part en pourcentage de A dans E est le nombre t tel
t
n
= A.
que
100 nE
Exemple
Dans une classe de première ES de nE = 25 élèves, on a nA = 20 élèves qui se déclarent
n
20
sportifs. Ainsi on a t = A ×100 = ×100 = 80 % d’élèves sportifs dans cette classe de ES.
25
nE
Remarque
Il faut toujours préciser dans quel ensemble de référence on se situe. Dire que 80% des
élèves sont sportifs ne signifie rien si on ne précise pas si c’est dans le lycée en entier
ou en classe de ES spécifiquement…
Dans la pratique pour calculer nA on utilise la formule nA =
t
× nE .
100
2 Pourcentages de pourcentages
Proposition
On considère trois ensembles A , B et E inclus les uns dans
les autres ( A ⊂ B ⊂ E ). La part de B dans E est de t1 % et
la part de A dans B est de t2 % . On a alors :
t
t
nA = 2 × 1 × nE .
100 100
Preuve
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On a nB =
t1
t
t
t
× nE et nA = 2 × nB . Ainsi on a nA = 2 × 1 × nE .
100
100
100 100
Exemple
Dans une classe de première ES de nE = 25 élèves, on a t1 = 64 % de filles parmi lesquelles
on en a t2 = 75% qui se déclarent sportives.
Ainsi on a : nA =
t2
t
75 64
× 1 × nE =
×
× 25 = 12 filles sportives dans cette classe de ES.
100 100
100 100
3 Pourcentage d’augmentation ou de diminution
On étudie les variations d’une valeur (par exemple le prix d’un voyage). On note la valeur
initiale V0 et la valeur finale V1 .
3.a Coefficient multiplicateur
Définition
Le nombre CM tel que V1 = CM × V0 est appelé le coefficient multiplicateur.
Exemple
Le prix d’un voyage coûte au mois de janvier le prix de V0 = 115 € puis au mois de juin le prix
V
92
= 0,8 .
de V1 = 92 €. Ainsi on a CM = 1 =
V0 115
Remarque
Dans le cas d’une diminution on a CM < 1 et dans le cas d’une augmentation on a CM > 1 .
Exemple
Le prix d’un voyage coûte au mois de janvier le prix de V0 = 115 €. Le prix du voyage V1 au
mois de juin est multiplié par CM = 0,8 . Ainsi on calcule V1 = CM × V0 = 0,8 × 115 = 92 €.
3.b Calcul du coefficient multiplicateur
Proposition
Si la valeur étudiée a augmenté de t % , alors on a CM = 1 +
Si la valeur étudiée a diminué de t % , alors on a CM = 1 −
t
.
100
t
.
100
Preuve
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Dans le cas où la valeur étudiée a augmentée de t % , on a V1 = V0 +
d’où CM =
t
t
× V0 = 1 +
× V0
100
100
V1
t
= 1+
.
V0
100
Exemple
Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur CM = 1 −
20
= 0,8 .
100
4 Evolutions successives
On étudie les variations successives d’une valeur. Par exemple notre voyage coûte au mois de
janvier 200€ puis subit une baisse de 20% en février, une deuxième baisse de 30% au mois de
mars et enfin une augmentation de 10% au mois d’avril.
On note V0 la valeur initiale du prix du voyage au mois de janvier, V1 au mois de février, V2
au mois de mars et V3 la valeur finale au mois d’avril.
Soit CM 1 le coefficient multiplicateur de la première diminution, CM 2 celui de la seconde et
CM 3 celui de l’augmentation.
Proposition
Lorsqu’une grandeur subit n évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le
produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution :
CM global = CM 1 × CM 2 × ... × CM n
Exemple
On voudrait calculer V3 . Pour cela, on calcule les différents coefficients multiplicateurs :
20
30
10
= 0,8 ; CM 2 = 1 −
= 0, 7 ; CM 3 = 1 +
= 1,1 ;
100
100
100
= CM 1 × CM 2 × CM 3 = 0, 7 × 0,8 ×1,1 = 0, 616 .
CM 1 = 1 −
CM global
Ainsi on peut calculer V3 = CM global × V0 = 0, 616 × 200 = 123, 20 €.
Remarque
L’évolution globale correspond à une diminution de t global = (1 − CM global ) ×100 = 38, 4 % qui
est différent de 20 + 30 − 10 = 40% !
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Feuille d’exercices : Pourcentages
Exercice n°1
Dans le lycée Georges Brassens, l’Anglais est choisi comme langue 1 par une partie des
élèves de Première ES.
Les élèves de Première ES constituent l’ensemble de référence.
1. Recopier et compléter le tableau de répartition ci-contre. (On donnera les parts en
pourcentage des élèves de la classe pratiquant l’Anglais arrondies à un chiffre après la
virgule.)
classe
effectif
1reES1
1reES2
1reES3
total
32
33
Elèves en Anglais LV1
effectif
Part en %
20
28
80%
70%
2. Le lycée ayant 320 élèves en Première, quelle est la part en pourcentage des élèves de
Première ES étudiant l’Anglais en LV1 parmi les élèves de Première du lycée ?
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