Fiche pédagogique enseignant MATHÉMATIQUES

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Fiche pédagogique réalisée
dans le cadre du projet Inforoutes
TICE et enseignement bilingue francophone en Roumanie, Bulgarie et Moldavie
avec le soutien de l'Organisation Internationale de la Francophonie
www.vizavi-edu.ro
Partenaires :
Fiche pédagogique enseignant
MATHÉMATIQUES
MINISTERUL EDUCAŢIEI,
CERCETĂRII, TINERETULUI ŞI
SPORTULUI
Probabilités conditionnelles
Pays
Roumanie
Cadre
Lycées à section bilingue francophone
Niveaux
Classes de XIIe
Discipline
Mathématiques
Programme
Curriculum spécifique aux sections bilingues :
http://vizavi-edu.ro/fr/ressources/baccalaureat/textes-officielsprogrammes/76.html
Thème du
programme
Thème 2 : Probabilités conditionnelles
Sujet
Approche
méthodologique
Enseignement par résolution de problème.
Niveau de français B1.
•
Prérequis
•
•
Calcul des pourcentages : savoir qu’augmenter (ou diminuer) une quantité x
de t% correspond à multiplier x par 1 + t% (ou 1 – t%).
Notion de coefficient multiplicateur.
Notion d’arrondi
OBJECTIFS
Disciplinaires
Linguistiques
•
•
•
•
Réinvestir le calcul des pourcentages
Calculer des variations exprimées en pourcentages
Exprimer une variation en pourcentage
Déterminer la variation globale en connaissant des variations successives
• Déterminer la variation réciproque en connaissant la variation initiale
•
•
•
•
•
Maîtriser le lexique spécifique
Exprimer un raisonnement sur des variations et des pourcentages
Décrire un calcul de variations
Décrire un calcul avec des pourcentages
Justifier la réponse à un problème, argumenter
Aurélie Chesnais, Institut universitaire de formation des maîtres, site de Nîmes, Université Montpellier II.
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DOCUMENTS
Annexe
Fiche élève.
OUTILS LINGUISTIQUES
Lexique utile
•
•
•
•
•
•
Pourcentage
variation, augmentation, diminution, évolution,
coefficient multiplicateur
Taux d’évolution
Successif
Réciproque
•
•
Présent et futur de l’indicatif
Les tournures interrogatives directes et indirectes
Les tournures impersonnelles :
on sait que …,
on peut démontrer que …,
on peut prouver par le calcul que …,
on a …,
on choisit …,
on calcule…,
on note …,
on considère …, etc.
Les expressions de la cause et de la conséquence :
si … alors …,
donc,
alors,
ce qui prouve que…,
par conséquent,
car,
or,
d’où,
on en déduit que…, etc.
•
Formes
syntaxiques /
discursives utiles
•
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SÉQUENCE PEDAGOGIQUE
Séance 1 :
Démarche
Consigne
Laisser les élèves chercher les solutions aux deux exercices.
Leur demander de justifier leurs réponses.
Les élèves travaillent individuellement puis ils sont invités à se réunir en binômes
Modalités de
travail
Durée
Objectifs
Évaluation /
Correction
ou en petit groupes afin de comparer leurs démarches.
Le professeur fait une synthèse pour établir que :
- les pourcentages correspondant à des évolutions successives ne s’additionnent pas et ne se soustraient pas ;
- les coefficients multiplicateurs se multiplient entre eux ;
- l’évolution réciproque d’une évolution (positive ou négative) de taux
t % est une évolution de coefficient multiplicateur 100/(100+t).
2 heures.
• Etablir que les pourcentages correspondant à des évolutions successives
ne s’additionnent pas ni ne se soustraient.
• Etablir la formule de calcul du coefficient multiplicateur d’une
évolution réciproque.
Présentation par les élèves de leurs solutions.
Demander aux élèves d’expliquer et de justifier leur démarche.
Laisser la classe évaluer les solutions présentées.
Exercice 1 :
1. Taux d’évolution de 2006 à 2007 : (1,697 – 1,588)/1,588 ≈ 6,98 %. Le
coefficient multiplicatif est donc environ 1+ 0,069 soit 1, 069.
Taux d’évolution de 2007 à 2008 : (1,798 – 1,697)/1,697 ≈ 5,95 %. Le coefficient
multiplicatif est donc environ 1,060.
Taux d’évolution de 2008 à 2009 : (1,782 – 1,798)/1,798 ≈ - 0,89 %. Le coefficient
Taux d’évolution de 2009 à 2010 : (1,753 – 1,782)/1,782 ≈ - 1,63 %. Le coefficient
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2. Soit on multiplie les coefficients multiplicatifs entre eux et on soustrait 1,
soit on calcule le taux d’évolution à partir des données du tableau. Dans les
deux cas, on trouve environ 10, 39 %.
Exercice 2 :
1. a. Calcul du nouveau prix de l’article dans le magasin B : 30 % de 150
représente 45 euros, donc le nouveau prix est 195 euros.
Calcul du nouveau prix de l’article dans le magasin A : 20 % de 150 représente 30
euros, donc le prix intermédiaire est 180 euros. Puis 10 % de 180 représente 18
euros, donc le nouveau prix est 198 euros.
Il vaut donc mieux acheter l’article dans le magasin B.
b. Les taux d’évolution ne s’ajoutent pas.
2. a. 18/360 = 5 %.
b. L’erreur serait de répondre qu’il faut appliquer une baisse de 5 %.
On calcule le nouveau prix : 378 euros. Le taux de baisse pour passer de 378 à 360
est : (360-378)/378 soit environ - 4,76 %.
Séance 2 :
Démarche
Consigne
Laisser les élèves chercher les solutions aux deux exercices.
Leur demander de justifier leurs réponses.
Modalités de
travail
Les élèves travaillent individuellement puis ils sont invités à se réunir en binômes
Durée
1 heure 30
Objectifs
Évaluation /
Correction
ou en petit groupes afin de comparer leurs démarches.
• Réinvestir les résultats établis lors de la séance précédente.
Présentation par les élèves des solutions trouvées et des stratégies.
Demander aux élèves d’expliquer leurs stratégies.
Laisser les élèves discuter et argumenter concernant les différents
résultats et les différentes stratégies.
Exercice 3 :
1. On exprime les hausses et les baisses à l’aide du coefficient multiplicateur
et on les multiplie ensemble pour obtenir le coefficient multiplicateur de
l’évolution globale (comme dans l’ex 1). 0,75×1,17×1,08 = 0,9477. Le taux
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étant inférieur à 1, il s’agit d’une baisse. Le taux de baisse est 1-0,9477 soit
0,0523, soit environ 5,23 %.
2. 1,17×1,08×0,75 = 0,9477. L’action B a donc diminué. Le taux de diminution est le même que pour l’action A : 5,23 %.
3. Les remarques que l’on peut attendre sont :
- Les pourcentages d’évolution ne s’additionnent pas et ne se soustraient pas, c’est pourquoi les évolutions successives de l’action A (ou
de l’action B) ne permettent pas de revenir au prix initial.
- L’ordre dans lequel se font les évolutions successives ne modifie pas
l’évolution globale.
Exercice 4 :
1. Ce ne sont pas les subventions qui baissent, mais le taux d’augmentation ; autrement dit, les subventions augmentent toujours mais de
moins en moins vite. Pour s’en convaincre, les élèves peuvent même
calculer le montant des subventions successives pour constater le
montant de la hausse.
2. 1,17×1,15×1,10×1,09×1,06 ≈ 1,71. Le taux d’augmentation est donc
de 71 % environ.
3. Deux méthodes possibles : soit on calcule le montant des subventions
chaque année ou seulement en 2012, soit on calcule à partir des coefficients multiplicateurs.
Méthode des coefficients multiplicateurs : l’augmentation entre 2009
et 2011 a été de 9 % puis 6 % soit un coefficient multiplicateur de
1,09×1,06 = 1,1554. Pour revenir à la valeur de 2009, il faut une diminution qui compense une augmentation dont le coefficient multiplicateur est 1,1554. Autrement dit, le coefficient multiplicateur de la diminution entre 2011 et 2012 doit être l’inverse de 1,1554 pour que la
subvention revienne à sa valeur de 2009.
Or 1/1,1554 ≈0,8655. Le taux de diminution à appliquer est donc
1-0,8655 soit environ 0,1345 soit environ 13,45 %.
CONSEILS POUR LES ENSEIGNANTS
Dans la question 2 de l’exercice 1, les deux méthodes attendues sont :
4. De calculer le pourcentage « directement », à partir des valeurs du tableau.
5. De calculer le coefficient multiplicateur en multipliant les coefficients multiplicateurs de
chaque année puis de retrouver le pourcentage à partir du coefficient obtenu.
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Dans la question 3 de l’exercice 3, on attend deux remarques :
6. Les pourcentages d’évolution ne s’additionnent pas et ne se soustraient pas, c’est pourquoi les
évolutions successives de l’action A (ou de l’action B) ne permettent pas de revenir au prix initial.
7. L’ordre dans lequel se font les évolutions successives ne modifie pas l’évolution globale.
Dans la question 1 de l’exercice 4, les élèves peuvent choisir de calculer soit la valeur de la
subvention chaque année, soit le coefficient multiplicateur en multipliant les coefficients
multiplicateurs correspondant à chaque année.
FICHE ELEVE
Séance 1
Exercice N°1 :
Le tableau ci-dessous indique l’évolution en millions de tonnes de la production mondiale de céréales
entre 2006 et 2010.
Année
2006
2007
2008
2009
2010
Quantité de
céréales
produites en
millions de
tonnes
1,588
1,697
1,798
1,782
1,753
1. Calculer les taux d’évolution en pourcentage d’une année à l’autre (arrondir au centième). Calculer le coefficient multiplicateur d’une année à l’autre (arrondir au millième).
2. Calculer le taux d’évolution globale de 2006 à 2010 (arrondir au centième) de deux manières
différentes.
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Exercice N°2 :
1. Deux magasins A et B vendent un même article au prix de 150 euros. Le magasin A décide
d’augmenter son prix de 20 %. Le magasin B décide d’augmenter son prix de 30 %. Voyant
cela, le magasin A décide d’augmenter son prix à nouveau de 10 %.
a. Dans lequel des deux magasins vaut-il mieux aller acheter cet article ? Justifier.
b. Quelle remarque peut-on faire ?
2. Deux magasins A et B vendent un même article au prix de 360 euros. Le magasin A décide
d’augmenter le prix de l’article de 30 euros.
a. Calculer le pourcentage de hausse que cela représente.
b.
Voyant que le magasin B n’a pas augmenté son prix, le magasin A décide de revenir au
prix initial. Quel pourcentage de baisse doit-il appliquer ?
Séance 2
Exercice N°3 :
Le prix d’une action A a successivement baissé de 25 % puis augmenté de 17 % et enfin augmenté à
nouveau de 8 %. Le prix d’une action B a successivement augmenté de 17 % puis augmenté à
nouveau de 8 % et enfin baissé de 25 %.
1. Le prix de l’action A a-t-il globalement augmenté ou diminué ? De quel pourcentage (arrondi
au centième) ?
2. Mêmes questions pour l’action B.
3. Quelles remarques peut-on faire ?
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Exercice N°4 :
La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000 euros pour l’année 2006.
Depuis 2006, l’évolution de la subvention en pourcentage d’une année à l’autre est celle décrite dans
le tableau ci-dessous. Par exemple, le taux d’évolution de la subvention de 2008 à 2009 est de +10 %.
Année
Evolution (en
pourcentage)
2007
+ 17 %
2008
+ 15 %
2009
+ 10 %
2010
+9%
2011
+6%
1. Le responsable sportif se plaint d’une diminution continuelle des subventions depuis l’année
2007. Que lui répondriez-vous ? Argumentez la réponse.
2. Calculer le pourcentage global d’augmentation de la subvention de 2007 à 2011.
3. Suite à des difficultés financières, l’entreprise décide en 2012 de ramener la subvention à sa
valeur de 2009. Quel est alors le taux d’évolution (en pourcentage) de la valeur de la subvention entre 2011 et 2012 (arrondir au pourcent) ?

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