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Calculs de répartition et de variation
Les pourcentages servent à calculer une proportion (c'est-à-dire ce que représente une grandeur par rapport à
une autre) ou à mesurer une évolution (un taux de croissance). Attention : suivant le cas, on n’appliquera pas la même
formule.
1 – PROPORTIONS, REPARTITIONS.
 Le calcul de proportion ou de répartition consiste à mesurer
le poids d’un ou de plusieurs éléments dans un total. Pour
Valeur de la partie
passer d'un nombre absolu à sa part relative dans un
×100
Proportion en % =
Valeur de l'ensemble
ensemble, on divise la valeur de ce nombre par la valeur
de l'ensemble, puis on multiplie par 100.
Exemple : En France métropolitaine, au deuxième trimestre 2011, on dénombrait 2,58 millions de chômeurs, parmi
lesquels il y avait 1,299 millions d’hommes. Leur proportion est donc de
= 50,35 %
 Inversement, pour passer d'un pourcentage à sa valeur absolue, on multiplie la part en pourcentage par la
valeur de l'ensemble (le total).
Exercice 1 – La population française d’après le bilan démographique de 2007 et de 2010 – INSEE
Source : INSEE
http://www.insee.fr
2000
2005
2010
moins de 20 ans
Effectifs
%
15 643,5
15 781
15 968,5
de 20 ans à 59 ans
Effectifs
%
32 565,5
33 977,5
34 063,9
60 ans ou plus
Effectifs
%
12 329
12 879 ,1
22,63
Total
Effectifs
60 538
64668,8
%
100
100
100
* Résultats provisoires
Remarques :
Contrairement au taux de variation, une proportion est toujours positive et
reste comprise entre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Une augmentation en valeur absolue ne se traduit pas forcément par une
augmentation de la part relative.
Exercice : supposons qu’un ménage dépense mensuellement 450 € pour
l’alimentation sur un revenu de 2 000 €, en moyenne. Un an plus tard, cette
dépense passe à 460 € alors que le revenu est passé à 2 200 €. Présentez
ces informations dans un tableau et calculez la part que représente
l’alimentation dans le budget de ce ménage pour les deux années en
moyenne, et vérifiez la validité de la règle énoncée dans le titre.
Inversement, une proportion plus importante ne signifie pas forcément
que le nombre absolu le soit aussi.
Exercice : reprenons l’exemple précédent : supposons qu’un ménage
dépense mensuellement 450 € pour l’alimentation sur un revenu de 2 000 €,
en moyenne. Un an plus tard, cette dépense passe à 440 € alors que le revenu du ménage chute à 1800 €.
Calculez la part que représente l’alimentation dans le budget de ce ménage pour les deux années en moyenne,
et vérifiez la validité de la règle énoncée dans le titre.
On prend 21 % de 63 % des élèves = (dans les calculs, on utilisera l’écriture décimale des pourcentages)
d2 – CALCULS DE VARIATION.
La variation absolue est la différence entre les valeurs d'un phénomène observé à des dates différentes.
Variation absolue = Valeur d’arrivée – Valeur de départ
Mais ce calcul ne donne qu'une information pauvre. Gagner 100 € de plus par mois est considérable pour un ouvrier,
mais ne change pratiquement rien au revenu d’un trader. Il est donc préférable de se référer à une variation relative. Il
peut s’agir d’un coefficient multiplicateur, d’un taux de croissance ou encore d’un indice. Dans tous les cas, la
variation exprimée s’exprime en fonction de la valeur de départ, ce qui donne une idée de son ampleur.
2.1 - Taux de variation ou de croissance.
Un taux de variation (ou de croissance) exprime la variation d’un phénomène entre deux dates en pourcentage.
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Taux de variation =
valeur d'arrivée - valeur de départ
× 100
valeur de départ
Exemple : L’effectif des chômeurs (au sens du B.I.T) était de 2,455 millions de personnes au premier trimestre de
2009, puis de 2,55 millions au deuxième trimestre 2011 (source : INSEE). Le taux de croissance correspondant
est donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rédigez une phrase indiquant la signification de cette valeur. Il conviendra de lire le résultat en donnant une
information complète : « tel phénomène a augmenté (ou diminué) de n % entre telle date et telle date. »
Remarques :
Un pourcentage traduisant une proportion est compris entre 0 et 100. Mais une variation relative peut être
négative (si la grandeur a régressé entre deux dates) ou supérieure à 100 % (si la grandeur a plus que doublé).
Une augmentation de 10 % entre l'époque 1 et 2 suivie d'une autre augmentation de 10 % entre l'époque 2 et 3
ne correspond pas à une augmentation de 20 % entre l'époque 1 et 3.
Exercice : Si je gagne 10 000 € et que cette somme subit les deux variations indiquées ci-dessus, quelle sera sa
progression totale ?
Enfin, si le taux de croissance du P.I.B. de l'économie est de 2 % une année et de 3 % une autre année, on ne
peut pas dire que la croissance a augmenté d' 1 % mais d'un point de pourcentage entre ces deux dates.
En effet, le taux de croissance a augmenté de
3 2 100 = 50 %. Par ailleurs, s’il n’est pas permis d’opérer une
2
simple différence entre les deux taux de croissance, c’est que la population de référence n’est pas la même :
dans notre exemple, le premier taux de croissance porte sur le supplément de PIB entre l’année 1 et 2, tandis
que le deuxième taux de croissance porte sur le supplément de PIB entre l’année 2 et 3.
2.2 - Coefficient multiplicateur.
Lorsqu’une quantité passe de la valeur A à la valeur A’, on appelle coefficient multiplicateur le nombre
désigné par m
m=
souvent
valeur à étudier (ou valeur d'arrivée)
valeur de référence (ou valeur de départ)
Exemple : Au dernier trimestre 2005, on dénombrait 9,465 millions abonnements à internet haut débit en France. Au
premier trimestre 2009, on en comptait 18,350 millions. (Source : www.arcep.fr)
Il y avait donc :
= 1,94, soit pratiquement 2 fois plus d’abonnés entre les deux dates.
Remarque :
L’utilisation des coefficients multiplicateurs simplifie les calculs pourcentages.
Si A est augmenté de t % alors A’ = A + A ×
= A (1 +
) donc m = 1 +
Si A est diminué de t % alors A’ = . . .
Il est préférable de placer la plus grande valeur au dénominateur. En effet, pour reprendre l’exemple cidessus, on obtiendrait la phrase suivante en inversant les calculs : en 2005, il y avait 0,52 fois plus d’abonnés à
internet qu’en 2009 ; ce qui est mathématiquement exact, mais un peu lourd.
On utilisera les coefficients multiplicateurs plutôt pour les grandes variations ou bien lorsqu’il y a plusieurs
variations simultanées à calculer, dans un souci de simplification. Si
est un taux de croissance, le taux de
variation correspondant devient (1+
(1+
). Par exemple le coefficient multiplicateur d’une diminution de 10 % est :
10
) = 0,9. Il suffit donc de multiplier par 0,9 pour diminuer une grandeur de 10 %.
100
2.3 - Les indices.
Les chiffres absolus sont parfois lourds à manipuler, et ne permettent pas d’effectuer des comparaisons. On
utilise alors les indices : un indice est un rapport entre deux valeurs d'une même grandeur dans deux situations
différentes.
Indice =
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valeur à étudier (ou valeur d'arrivée)
×100
valeur de référence (ou valeur de départ)
Au dénominateur de cet indice élémentaire, on place la grandeur de référence. Un indice n'a pas d'unité. Il
permet de réaliser des comparaisons dans le temps (évolution d'une grandeur d'une époque à une autre) mais aussi
dans l'espace (comparaisons géographiques). Par exemple, on peut mettre sous forme d'indice les populations des
quinze pays européens à une certaine date. La base de référence sera l’un des pays choisi arbitrairement. Sa population
sera alors associée à l'indice 100.
Complétez les phrases suivantes :
Si l'indice de la seconde année est supérieur à 100, le phénomène …………………………………………………….
Si l'indice de la seconde année est égal à 100, le phénomène ………………………………………………………..…
Si l'indice de la seconde année est inférieur à 100, le phénomène ………………………………………………………
Exemple : Répartition du marché mondial des consoles de jeu de salon en janvier 2010.
Consoles
Nombre d’unités vendues en millions d’exemplaires
Wii
Xbox 360
PlaySation 3
72,9
41,5
36,2
Indice
(base 100 pour la PS3)
Source : http://www.afjv.com
Lecture :
On dira (en remplaçant les éléments entre parenthèses par les résultats observés) : l’indice de (telle grandeur)
est de (tant), base 100 pour (tel pays ou telle année). Cette simple lecture ne suffit pas. Il faut interpréter le
résultat.
Pour interpréter un indice, il faut indiquer sir le phénomène observé à augmenté ou diminué. On transformera
l’indice en coefficient multiplicateur (pour les grandes variations) ou en taux de variation en respectant les
règles de conversions du titre suivant.
2.4 - Règles de conversions.
m est le coefficient multiplicateur, I est l'indice et t le taux de variation.
On sait que m =
valeur d'arrivée
valeur d'arrivée
valeur d'arrivée-valeur de départ
;I=
×100 et t =
×100
valeur de départ
valeur de départ
valeur de départ
Pour passer d’un indicateur à l’autre, on peut décomposer la formule de t et remplacer les termes de la façon suivante :
t=(
Va - Vd )
Vd Vd
100. On peut simplifier en écrivant : t = (
de m. On peut donc remplacer
Va - 1)
Vd
Va par m et on obtient : t = (m – 1 )
Vd
100. Dans ce dernier cas, on reconnaît la formule
100.
Tableau de synthèse :
A partir de m
A partir de I
I=
t = (m – 1)
100
t=
m=
m=
I=
X 100
m
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- 100
I
/100
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A partir de t
t
+ 100