Première STG Chapitre 4 : taux d`évolution. page n ° 1 2007 2008

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2007 2008
Chapitre 4 : taux d'évolution.
page n ° 1
On peut lire dans un journal : " Le prix de la table basse, qui est passé de 500 € à 502 €, n'a pratiquement pas
bougé. " et plus loin : " Hausse impressionnante du prix du stylo encre, qui est passé de 2 € à 3 €. "
Le but de ce chapitre va être de comprendre voire de critiquer certaines publications.
1 Définitions.
Soient y1 et y2 deux nombres réels strictement positifs.
On appelle variation absolue de y1 à y2 ( ou bien variation absolue entre y1 et y2 ) le nombre y2 − y1.
Exemple : déterminer la variation absolue du prix de la table basse puis celle du stylo encre. Voir annexe.
Soient y1 et y2 deux nombres réels strictement positifs.
On appelle variation relative de y1 à y2 ( ou bien taux d'évolution de y1 à y2 ) le nombre t =
y 2 − y1
y1
Exemple : déterminer la variation relative du prix de la table basse puis celle du stylo encre. Voir annexe.
E1 Savoir déterminer des variations absolues et relatives.
N°1
La capacité d'un stade est passée de 15 000 à 21 000 places.
Calculer la variation absolue et le taux d'évolution de la capacité du stade.
N°2
L'entreprise qui a effectué les travaux employait 800 personnes il y a un an ; elle en emploie aujourd'hui 700.
Calculer la variation absolue et le taux d'évolution de l'effectif de l'entreprise.
N°3
Le montant de la redevance de l'audiovisuel était de 114,49 € en 2001 et de 116,50 € en 2004.
Calculer la variation absolue et le taux d'évolution de cette taxe entre 2001 et 2004.
N°4
" Patricia gagnait 1 200 € par mois et a été augmenté de 30 €. "
Sans calculer le nouveau salaire, calculer la variation relative de l'ancien au nouveau salaire.
N°5
Le garagiste m'a fait une réduction de 7,20 € et j'ai payé 130 €.
Calculer le prix avant la réduction puis le pourcentage de réduction consenti par le garagiste.
2 Propriétés.
Un taux d'évolution peut être écrit sous forme de fraction, sous forme décimale ( exacte ou approchée ) ou sous
forme de pourcentage ( exacte ou approchée ).
Exemples : voir feuille annexe.
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Lorsque y1 < y2 ( c'est à dire lorsque la variation absolue est un nombre positif ) , on parle d'augmentation
( ou de hausse ) ; dans ce cas, le taux d'évolution est positif : c'est un taux d'augmentation ( ou taux de hausse ).
Lorsque y1 > y2 ( c'est à dire lorsque la variation absolue est un nombre négatif ) , on parle de diminution
( ou de baisse ) ; dans ce cas, le taux d'évolution est négatif : c'est un taux de diminution ( ou taux de baisse ).
Exemple : déterminer la variation absolue de 2,5 à 10. Voir feuille annexe.
Déterminer la variation absolue de 10 à 2,5. Voir feuille annexe.
La variation relative permet de comparer la variation absolue y2 − y1 à la valeur initiale y1.
En langage usuel, on utilise souvent le mot " variation " ( " hausse " ou le mot " baisse " ) , sans plus de
précision, avec la convention suivante : une variation exprimée en pourcentage est toujours une variation
relative.
Si les nombres y1 et y2 sont donnés en pourcentages, la variation absolue de y1 à y2 s'exprimera en " point de
pourcentage ".
Exemple : soit y1 = 2 % et y2 = 3 %. Déterminer la variation absolue puis le taux d'évolution. Voir annexe.
E2 Activité pour découvrir le coefficient multiplicateur.
N°6
Le prix d'un produit qui valait 12 € a été multiplié par 1,5.
1)
Quel est le prix actuel de ce produit ?
2)
Calculer le taux d'évolution t entre le prix initial et le prix actuel.
3)
Pour passer du prix initial au prix actuel, que faîtes vous ?
N°7
Un article de 150 € subit une baisse de 10 %.
Avec deux méthodes différentes, trouver son nouveau prix.
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3 Coefficient multiplicateur.
Définition :
Soient y1 et y2 deux nombres réels strictement positifs.
Soit t le taux d'évolution de y1 à y2.
Alors le coefficient multiplicateur de y1 à y2 est le nombre 1 + t.
Remarques :
L'égalité reliant y1 ; y2 et t s'écrit : y2 = ( 1 + t ) y1.
Cette situation peut être visualisée par le schéma suivant :
×(1+t)
y1
y2
Le coefficient multiplicateur est un nombre strictement positif.
Si le coefficient multiplicateur est inférieur à 1 alors l'évolution de y1 à y2 traduit une baisse.
Si le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 alors l'évolution de y1 à y2 traduit une hausse.
Augmenter une quantité de t % revient à multiplier cette quantité par 1 +
Autrement dit : y2 = ( 1 +
t .
100
t )×y
1
100
Exemple : une ville avait 28 000 habitants en 2005. Sa population a augmenté de 5 % en un an.
Combien y a-t-il d’habitants en 2006 ?
Diminuer une quantité de t % revient à multiplier cette quantité par 1 −
Autrement dit : y2 = ( 1 −
t .
100
t )×y
1
100
Dans le langage courant, on s'exprime avec le coefficient multiplicateur plutôt qu'avec le taux d'évolution
lorsque ce taux est supérieur à 1.
On dit plutôt " la production de blé d'un pays a été multipliée par 2,5 en un an "
que " la production de blé d'un pays a augmenté de 150 % en un an. "
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E3 Savoir calculer l'un des trois nombres y1 , y2 , et t.
N°8
Un magasin réduit de 10 % le prix des jeans et augmente de 10 % celui des pulls.
1.
Calculer le prix après réduction d'un jean dont le prix initial était 50 €.
2.
Calculer le prix avant augmentation d'un pull dont le prix actuel est 44 €.
N°9
Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'évolution est une hausse ou une baisse puis déterminer le coefficient
multiplicateur ou le taux d'évolution correspondant à cette évolution.
Hausse ou baisse
Coefficient multiplicateur
Taux d'évolution
0,89
- 13,1 %
1,67
0,8 %
10
225 %
N ° 10
A la suite d'une surproduction, le prix de vente d'un légume a été divisé par 3.
Calculer le taux de diminution du prix du légume.
Donner le résultat sous forme de pourcentage à 0,01 % près.
N ° 11
1.
Tom déclare : " Cette année, mes vacances m'ont coûté deux fois plus que l'an passé. ".
Calculer le taux d'augmentation du coût des vacances de Tom entre l'année dernière et cette année.
2.
Marion répond : " Les miennes m'ont coûté deux fois moins que l'an dernier ".
Calculer le taux de diminution du coût des vacances de Marion entre l'année dernière et cette année.
N ° 12
Dans la pièce " Le Cid " de Corneille, on peut lire les vers suivants :
" Nous partîmes cinq cents, mais par un prompt renfort, nous nous vîmes trois milles en arrivant au port ".
Calculer le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution entre le nombre de personnes au départ et le nombre
de personnes à l'arrivée.
Ecrire la conclusion en langage usuel.
E4 Activité pour découvrir les évolutions successives.
N ° 13
1.
Pour fêter l'ouverture de son garage, un concessionnaire automobile fait une réduction de 10 % sur un
modèle de voiture dont le prix initial est 12 000 €. Après discussion, un client obtient une remise
supplémentaire de 5 %.
A)
Calculer le prix de la voiture après la première réduction, puis le prix final.
B)
La réduction totale est-elle de 15 % ?
C)
Calculer le taux d'évolution du prix initial de la voiture au prix final payé par le client.
2.
Pour la même occasion, le concessionnaire augmente le salaire des employés de 2,5 %.
A)
Quel est le nouveau salaire d'un employé qui gagnait 1 400 € ?
B)
Le taux d'évolution est-il égal à - 2,5 % ?
C)
Calculer le taux d'évolution du nouveau salaire à l'ancien ( c'est à dire 1 400 € ).
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4 Evolutions successives.
Soient y1 , y2 et y3 trois nombres réels strictement positifs.
Soit t1 le taux d'évolution de y1 à y2.
Soit t2 le taux d'évolution de y2 à y3.
Soit t le taux d'évolution de y1 à y3.
Autrement dit y3 = ( 1 + t ) y1
Et on a
y2 = ( 1 + t1 ) y1
y3 = ( 1 + t2 ) y2 = ( 1 + t2 ) ( 1 + t1 ) y1
Donc 1 + t = ( 1 + t2 ) ( 1 + t1 ).
Autrement dit : lorsqu’un nombre subit des variations successives ( hausse ou baisse ) en pourcentage,
on le multiplie par ses coefficients multiplicateurs successifs.
Exemple : on applique une baisse de 10 % sur un article suivie d’une autre baisse de 5 %.
Calculer le taux d'évolution après ces deux baisses. Voir feuille annexe.
E5 Savoir déterminer un taux dévolution global…
N ° 14
Lors d'une journée, le cours d'une action a augmentée de 10 % puis a baissé de 9,5 %.
Calculer le taux d'évolution de cette action lors de cette journée, du cours initial au cours terminal.
Le cours a-t-il augmenté ou baissé lors de cette journée ?
N ° 15
Dans un pays, le prix du bœuf a augmenté de 6 % en 2003 puis de 5 % en 2004.
Calculer la variation relative du prix du bœuf du début 2003 à la fin 2004.
N ° 16
Compléter ce tableau
Première évolution
Deuxième évolution
Augmentation de 55 %
Augmentation de 11 %
Diminution de 14 %
Diminution de 33 %
Augmentation de 11 %
Diminution de 10 %
Diminution de 19 %
Augmentation de 23 %
Augmentation de 41 %
Augmentation de 42 %
Diminution de 10 %
Augmentation de 10 %
Evolution finale
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5 Evolution réciproque.
Soient deux nombres réels strictement positifs y1 et y2.
Soit t le taux d'évolution de y1 à y2.
Soit t ' le taux d'évolution de y2 à y1. Alors y2 = ( 1 + t ) y1 ⇔ y1 =
y2
1+ t
où 1 + t est le coefficient multiplicateur de y1 à y2.
y1 = ( 1 + t ' ) y2 où 1 + t ' est le coefficient multiplicateur de y2 à y1.
Donc y1 = ( 1 + t ' ) y2 =
y2
⇔1+t'= 1 .
1+ t
1+ t
Soient deux nombres réels strictement positifs y1 et y2.
Soit t le taux d'évolution de y1 à y2.
Soit t ' le taux d'évolution de y2 à y1.
On passe de y1 à y2 par une évolution puis on revient à y1 par l'évolution réciproque.
Cette situation peut être visualisée par le schéma suivant :
×(1+t)
y1
×(1+t')
y2
y1
Alors le coefficient multiplicateur réciproque de y2 à y1 est l'inverse du coefficient multiplicateur de y1 à y2.
Autrement dit 1 + t ' = 1 .
1+ t
Le taux d'évolution réciproque de y2 à y1 est donc t ' = 1 − 1.
1+ t
Exemple : le cours d'une action a augmenté de 10 %. Calculer le taux d'évolution qu'il faudrait appliquer pour
que l'action revienne à son cours initial. Voir feuille annexe.
Une baisse de t % n’est pas compensée par une augmentation de t %.
Exemple : Un article dont le prix en janvier est de 20 € subit une baisse de 10 % en février puis subit une
augmentation de 10 % en mars. Quel est le prix de cet article au mois de mars ? Voir annexe.
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Chapitre 4 : taux d'évolution.
page n ° 7
E6 Savoir déterminer un taux d'évolution réciproque.
N ° 17
Le prix d'un produit d'usage courant a baissé de 6 %.
Calculer le taux d'évolution qu'il faudrait appliquer pour que le produit revienne à son prix initial.
Arrondir à 0,01 % près.
N ° 18
Cette année, les ventes des CD d'un chanteur ont baissé de 8 %.
Calculer le taux d'évolution qu'il faudrait appliquer pour que le nombre de CD vendus revienne à la valeur
antérieure.
N ° 19
L'augmentation du nombre d'accidents entre juillet et août a été de 12 %.
Calculer le taux d'évolution du nombre d'accidents entre août et septembre pour que le nombre d'accidents de
septembre soit égal à celui de juillet. Arrondir le résultat à 0,01 %.
N ° 20
Compléter ce tableau sur le modèle de la première ligne. Donner les taux à 0,1 % près.
Evolution
Evolution réciproque
Hausse de 20 %
Baisse de 16,7 %
Baisse de 20 %
Hausse de 50 %
Baisse de 50 %
Hausse de 150 %
Baisse de 75 %
Hausse de 1 %
Baisse de 2 %
E7 Proportion ou taux d'évolution ?
N ° 21
Dans le texte qui suit préciser, pour chaque nombre écrit sous forme de pourcentage, s'il s'agit d'une proportion
ou d'un taux d'évolution.
A)
Le nombre des demandeurs d'emploi a augmenté de 0,8 % depuis le mois dernier ; en particulier dans
notre ville, 23 % des moins de 25 ans sont au chômage.
B)
Succès dans la lutte anti-tabac dans notre lycée ; en un mois, plus de 25 % des élèves fumeurs ont cessé
de fumer.
C)
Dans notre lycée, au moins 52 % des professeurs ont plus de 50 ans.
D)
Le nombre d'élèves au primaire a augmenté ( + 0,9 % )
mais le nombre d'élèves au collège a baissé ( - 1,4 % ).
E)
En France, les femmes représentent près de 85 % des personnes qui travaillent à temps partiel.
Au sein de l'Union Européenne, ce taux varie de 75 % à 90 %.