Pourcentage et coefficient multiplicateur

CH VI) Pourcentages et coefficients multiplicateurs :
Activité : Un commerçant fait une remise de 20,00 € sur le prix d’un article coûtant
250,00 €. Quel serait le montant de la remise si l’article coûtait 100,00 € ?
Prix de l’article
250,00 €
100,00 €
Xk
Montant de la remise
20,00 €
Quel est le coefficient multiplicateur k qui permet de passer de la première ligne à la
deuxième ligne.
I)
Définition :
Un pourcentage est défini par un rapport dont le dénominateur est 100. Ce rapport
appelé taux de pourcentage est noté t %.
La valeur décimale de ce pourcentage est le coefficient de proportionnalité entre les
deux valeurs liées au pourcentage.
Exemple : Le bénéfice réalisé par un commerçant représente 15 % du prix de vente de
ses articles.
15
Ici le taux de pourcentage est 15, la valeur décimale obtenue
= 0,15 est le
100
coefficient multiplicateur qu’il faudra utiliser pour obtenir le bénéfice en le multipliant
par le prix de vente.
II)
Calcul autour d’un pourcentage :
1) Déterminer le taux de pourcentage :
Exemple : Quel pourcentage de 500,00 € représentent 120,00 €.
Méthode : On recherche le pourcentage que représentent 120,00 € par rapport à 500,00
€ et non l’inverse. La première valeur nous donne le numérateur et la deuxième le
dénominateur du rapport à calculer. Ce rapport nous donne le coefficient multiplicateur
qui, multiplié par 100, nous donne le taux de pourcentage.
120
k=
= 0,24
t = 0,24 x 100 = 24
le pourcentage est 24 %
500
Il est plus simple d’effectuer un tableau de proportionnalité.
120
500
100
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Attention : Avant de calculer un rapport, il faut s’assurer que l’on dispose de toutes les
valeurs.
Exemple : Un article coûtant 500,00 € est vendu aujourd’hui 620,00 €. Quel est le
pourcentage d’augmentation ?
Le rapport à calculer nous permettant d’obtenir le pourcentage est le suivant :
Montant de l'augmentation
. Nous ne disposons pas du montant de l’augmentation, il faut
Prix initial
le calculer.
620,00 - 500,00
120,00
T=
x 100 =
x 100 = 24
le pourcentage est de 24 %
500,00
500,00
2) Calculer le résultat d’un pourcentage :
Calculer une réduction de 25 % sur un montant de 900,00 €.
Réduction = 900,00 x
25
= 225,00 €
100
Pour calculer t % d’un nombre, on multiplie ce nombre par t et on divise le résultat par
100.
3) Calculer la valeur sur laquelle porte le pourcentage.
Exemple : Une réduction de 25% sur le prix d’un article s’élève à 30,00 €. Quel est le
prix P de l’article.
30,00
25
= 30,00 que l’on peut écrire P x 0,25 = 30,00 ⇔ P =
= 120,00 . L’article
0,25
100
coûtait 120,00 €.
Px
Pour calculer la valeur sur la quelle porte le pourcentage, on divise le résultat du
pourcentage par le coefficient multiplicateur de celui-ci.
4) Exercices :
Exercice
-
1 : Quel pourcentage :
de 640,00 € représentent 153,60 € ?
de 52 m représentent 39 m ?
de 820 m3 représentent 24,6 m3 ?
Exercice 2 : Compléter le tableau suivant :
Valeur initiale
54,00 €
160 m
Taux
d’augmentation
8%
35 %
Valeur de
l’augmentation
20 m
105 g
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III)
Augmentation – Diminution – Coefficient multiplicateur :
1) Augmentation :
Lorsqu’une valeur augmente d’un pourcentage de taux égal à t, on multiplie cette valeur
t
par 1 +
.
100
Exemple : Un salarié gagne 1 270,00 € par mois, il est augmenté de 2 %. Calculer son
nouveau salaire.
2
1 270,00 x (1 +
) = 1 270,00 x 1,02 = 1 295,40 €
100
2) Diminution :
Lorsqu’une valeur diminue d’un pourcentage de taux égal à t, on multiplie cette valeur par
t
1.
100
Exemple : Le prix plein tarif à la SNCF est de 38,00 €. Un couple bénéficie d’une
réduction de 25 %. Quel est le prix du billet au tarif réduit ?
25
38,00 x (1 ) = 38,00 x 0,75 = 28,50 €
100
3) Exercices :
Exercice
-
1 : Calculer le coefficient multiplicateur associé à :
une augmentation de 18 %.
une diminution de 27 %.
une diminution de 51 %.
une augmentation de 0,1 %
Exercice
-
2 : Trouver la variation en pourcentage correspondant au coefficient :
0,85.
1,22.
1,375
0,595
Pour obtenir le taux d’augmentation à partir du coefficient multiplicateur k, on calcule :
t = (k – 1) x 100.
Pour obtenir le taux de réduction à partir du coefficient multiplicateur k, on calcule :
t = (1 – k) x 100.
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IV)
Pourcentages successifs :
Pour calculer des pourcentages successifs, on les calcule les uns à la suite des autres et
en aucun cas sur la même valeur initiale.
x k1
x k2
Valeur finale
Valeur initiale
x k = k1 x k 2
Exemple : Un article de 52,00 € subit une première augmentation de 10 % puis une
deuxième de 5 %.
Calculer le coefficient multiplicateur global associé au 2 augmentations.
10
5
k1 = 1 +
= 1,1
k2 = 1 +
= 1,05
k1.k2 = 1,1 x 1,05 = 1,155
100
100
En déduire le prix final de l ‘article.
52 ,00 x 1,155 = 60,06 €
Calculer le pourcentage d’augmentation unique correspondant aux deux augmentations
successives.
t = (1,155 – 1) x 100 = 0,155 x 100 = 15,5 %
Exercice : Pour calculer son revenu imposable, on effectue deux abattements successifs
de 20 % et 10 % sur le revenu déclaré.
Calculer le montant imposable pour un revenu de 30 230,00 €. L’ordre des abattements
est-il important ?
Quel est le pourcentage unique d’abattement qu’il faut effectuer pour calculer son
revenu imposable ?
V)
Pourcentages additifs :
Les pourcentages sont additifs lorsqu’ils s’appliquent à une même grandeur. Les taux dans
ce cas s’additionnent.
Exemple : Sur un salaire mensuel brut de 1 452,00 €, un salarié cotise 6,05 % à la
sécurité sociale, 7,85 % pour la retraite et 3,73 % pour différentes retenues sociales.
Calculer le pourcentage global des retenues.
Calculer le montant total des retenues.
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VI)
Pourcentages par tranches :
Dans un pourcentage par tranche, le taux est différent suivant les tranches de valeur
auxquelles il s’applique.
Exemple : Une ristourne de fin d’année est calculée sur le montant des achats annuels
suivant le barème :
Montant des achats
Taux de la
ristourne
Jusque 500,00 €
3%
De 500,00 € à 2 000,00 €
5%
De 2 000,00 € à 5 000,00 €
8%
Au delà de 5 000,00 €
10 %
Déterminer la ristourne accordée à un client dont le montant annuel d’achat est 3 750,00
€.
Méthode : - Définir la tranche dans laquelle se trouve la valeur donnée.
De 2 000,00 € à 5 000,00 €
- Calculer le montant de chaque tranche.
3 750,00 € = 500,00 € + 1 500,00 € + 1 750,00 €
- Appliquer à chaque tranche le pourcentage correspondant.
3
500,00 x
= 15,00 €
100
5
1 500,00 x
= 75,00 €
100
8
1 750,00 x
= 140,00 €
100
- Additionner les résultats obtenus pour chacune des tranches.
15,00 € + 75,00 € + 140,00 € = 230,00 €
La ristourne annuelle du client s’élève à 230,00 €.
Exercice : Le prix d’achat brut H.T. d’une console de jeux est de 103,50 €. Une remise
progressive est accordée. Le calcul de la remise s’effectue de la façon suivante :
- jusqu’à la 5ème console : pas de remise.
- de la 6ème à la 15ème console : 5 % de remise.
- de la 16ème à la 30ème console : 10 % de remise.
- au delà de la 30ème console : 15 % de remise.
Le commerçant désire acheter 24 consoles.
Calculer la réduction accordée.
Calculer le montant net de la facture ( montant après réduction).
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