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CORRECTION DU DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES n°4 - Sujet N++
Exercice 1
On considère les expressions :
3 1
5
𝐴=( − )×
5 2
2
𝐵=
16 × 10−1 × 2
(103 )2 × 10−8 × 80
𝐶=
√12
√5
1) Calculer l’expression A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
3 1
5
𝐴=( − )×
5 2
2
𝐴=(
6
5
5
− )×
10 10
2
𝐴=
1 5
×
10 2
𝐴=
1×5
5×2×2
𝐴=
1
4
2) Vérifier que B est un nombre entier. Ecrire les étapes de calcul.
16 × 10−1 × 2
𝐵=
(103 )2 × 10−8 × 80
𝐵=
8×2
10−1
×
8 × 5 × 2 (103 )2 × 10−8
1
10−1
𝐵= × 6
5 10 × 10−8
10−1
𝐵 = 0,2 × −2
10
𝐵 = 0,2 × 101
𝐵=2
3) Vérifier que C est un nombre entier. Ecrire les étapes de calcul.
𝐶=
𝐶=
√12
√5
×
√15
1
√4 × √3 × √5 × √3
√5
𝐶 = √22 × √32
𝐶 = 2×3 = 6
× √15
Exercice 2
Un moule à gâteaux à la forme du tronc du cône représenté ci-contre.
Montrer que le volume de ce moule est d’environ 125 cm3.
Calcul du volume du grand cône :
𝜋 × (7,5 ÷ 2)² × 12 𝜋 × 3,75² × 4 × 3
𝑉𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑐ô𝑛𝑒 =
=
= 56,25𝜋 𝑐𝑚3
3
3

 Calcul du coefficient de réduction :
12 − 4
8
2
=
=
12
12 3
Calcul du volume du petit cône :
2 3
2 3 450
𝑉𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐ô𝑛𝑒 = 𝑉𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑐ô𝑛𝑒 × ( ) = 56,25𝜋 × ( ) =
𝜋
3
3
27


Calcul du volume du tronc du cône :
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐 = 𝑉𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑐ô𝑛𝑒 − 𝑉𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐ô𝑛𝑒 = 56.25𝜋 −
450
𝜋 ≈ 125 𝑐𝑚3
27
Exercice 3
On considère deux nombres quelconques.
Démontrer que la différence entre le carré de leur somme et le carré de leur différence est égal à 4 fois
leur produit
On choisit 𝑎 et 𝑏.
(𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² − (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ) = 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 = 4𝑎𝑏
Exercice 4
Voici le rond central d’un terrain de foot.
Des ballons sont situés en G, O, A et L. O est le centre du cercle.
GA = 18,3 m
Les points G, O et A sont alignés.
̂ = 70°, en déduire la mesure de l’angle 𝐿𝑂𝐴
̂.
1) Sachant que 𝐿𝐺𝑂
̂ est un angle au centre qui intercepte l’arc ̂
𝐿𝑂𝐴
𝐿𝐴
̂ est un angle inscrit qui intercepte l’arc 𝐿𝐴
̂.
𝐿𝐺𝐴
Or l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.
̂ = 2 × 𝐿𝐺𝐴
̂ = 2 × 70° = 140°
Donc 𝐿𝑂𝐴
2) Démontrer que le triangle GLA est rectangle.
Les points L, G et A appartiennent au cercle.
[AG] est un diamètre du cercle.
Or si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle.
Donc GLA est rectangle en L.
3) Pour s’échauffer Sylvain fait le tour du triangle GLO et Pierre celui du triangle LOA.
Quelle distance parcourt chacun des deux joueurs à chaque tour ?
 Echauffement de Sylvain
Dans le triangle GLA rectangle en L
𝐿𝐺
̂) =
cos(𝐿𝐺𝑂
𝐺𝐴
𝐿𝐺
cos(70°) =
18,3
𝐿𝐺 = 18,3 × cos(70°) ≈ 6,3 𝑚
Donc on obtient un parcours de : 𝐿𝐺 + 𝐺𝑂 + 𝑂𝐿 ≈ 6,3 + 2 × 9,15 ≈ 24,6 𝑚
 Echauffement de Pierre
Dans le triangle GLA rectangle en L
𝐿𝐴
̂) =
sin(𝐿𝐺𝑂
𝐺𝐴
𝐿𝐴
sin(70°) =
18,3
𝐿𝐴 = 18,3 × sin(70°) ≈ 17,2 𝑚
Donc on obtient un parcours de : 𝐿𝐴 + 𝐴𝑂 + 𝑂𝐿 ≈ 17,2 + 2 × 9,15 ≈ 35,5 𝑚
Exercice 5
Le dessin ci-contre représente la Terre
qui est assimilée à une sphère de 6370 km de rayon.
Le cercle de centre O passant par M représente l’équateur.
Le point L représente la ville de Londres.
L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre S (voir figure).
̂ est un angle droit.
On admettra que l’angle 𝐿𝑆𝑂
On donne OS = 4880 km.
1) Calculer SL au km près.
Dans le triangle SLO rectangle en S, d’après le théorème de Pythagore :
𝑂𝐿2 = 𝑆𝑂2 + 𝑆𝐿2
63702 = 48802 + 𝑆𝐿2
𝑆𝐿2 = 40 576 900 − 23 814 400
𝑆𝐿2 = 16 762 500
𝑆𝑙 = √16 762 400 ≈ 4 094 𝑘𝑚
̂ et arrondir au degré prés.
2) Calculer la mesure de l’angle 𝑆𝑂𝐿
Dans le triangle SLO rectangle en S
𝑆𝑂 4 880
̂)=
𝑐𝑜𝑠(𝑆𝑂𝑙
=
𝑂𝐿 6 370
̂ = arccos (
𝑆𝑂𝐿
4 880
) ≈ 40°
6 370
3) En déduire au degré près la latitude Nord de Londres par rapport à l’équateur, c’est à dire l’angle
̂
𝐿𝑂𝑀
̂ = 𝑆𝑂𝑀
̂ − 𝑆𝑂𝐿
̂ = 90° − 40° = 50°
𝐿𝑂𝑀