Constructions géométriques

Constructions géométriques
Introduction :
➢ Les programmes officiels
Le thème construction géométrique est récurrent tout au long de la scolarité des élèves.
En 6e , on s'attache à la maîtrise des techniques de constructions (utilisation des instruments de
géométrie) :
✔ Construction de parallèle et perpendiculaire
✔ Construction de quadrilatères usuels avec les propriétés de la symétrie
✔ Construction de triangle à la règle et au compas
✔ Construction de symétriques
En 5e, l'étude de la symétrie centrale permet de compléter les connaissances sur les figures et
d'entretenir la pratique des constructions géométriques.
En 4e, On enrichit la pratique des constructions géométriques :
✔ Cercle circonscrit à un triangle rectangle
✔ Construction de droites remarquables
✔ Construction de la tangente à un cercle
En 3e, on a recourt à des logiciels de construction géométrique dans l'approche d'une résolution de
problème qui utilisent des propriétés géométriques vues antérieurement.
Au lycée l'introduction de nouveaux outils géométriques : les transformations, va permettre la
construction de configurations plus complexes :
En 2nde : Translation
En 1ère , Tle : Rotations, homothétie (similitude en spécialité)
➢ L'exercice proposé
Le dossier proposé a pour but la construction d'une corde vérifiant une égalité particulière.
Pour cela, au fil des questions on voit émerger un raisonnement par analyse synthèse mettant en
évidence des transformations (réflexion, homothétie).
Je situe donc ce dossier en classe de Terminale scientifique.
Le travail à exposer devant le jury :
1) Les compétences développées par l'exercice:
Identifier des triangles isométriques et utiliser leurs propriétés (Question 1b, méthode 1)
Identifier une transformation (Question 1b, méthode 2)
Raisonnement par implication (Question 2a)
Méthode des deux lieux (Question 2a) : Pour montrer l'existence d'un point on le définit
comme étant l'intersection de deux ensembles.
✔ Utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique pour conjecturer un résultat
✔ Raisonnement par disjonction de cas (Question 2b)
✔ Raisonnement par analyse synthèse (Question 2b)
Analyse du problème : On suppose que le problème admet une solution et on réalise la figure que
l'on doit obtenir. On effectue un raisonnement par condition nécessaire.
Synthèse : On vérifie si les propriétés émises précédemment sont suffisantes pour que la figure soit
solution du problème.
✔
✔
✔
✔
2) Résolution de la question 1.b
• Méthode 1 : (triangles isométriques)
On sait que OA=OB, d'où 
OAB=
OBA .


De plus OA'=OB', d'où OA ' B '=OB ' A' et donc 
AA' O=
OB ' B .
Par suite on a donc 
A' OA=
BOB ' .
Conclusion : Les triangles OAA' et OBB' sont isométriques ( ils ont en commun la longueur d'un
côté et les mesures des deux angles qui lui sont adjacents).
D'où AA'=BB'
• Méthode 2 : (transformation)
Par hypothèse, OA=OB et OA'=OB' d'où O appartient à la médiatrice du segment [A'B'] qui est
aussi la médiatrice du segment [AB]. Notons D cette droite et considérons la réflexion s d'axe D.
On a : s(A')=A
s(A)=B
D'où AA'=BB'
3) Correction de la question 2
a) Notons h l'homothétie de centre A et de rapport
•
1
. Par hypothèse h  Г =Г 1
3
Analyse du problème :
Supposons qu'une corde solution du problème existe et montrons que
que les points A, A', B et B' sont alignés.
A' ∈ Г ' 
A' ∈ Г '  ⇒
A ' ∈ Г ' 
⇒
BB' ⇒
On a :
AA' =
h  B=A '
AA '=A ' B' =B ' B
3
h  Г =Г 1 .
{
{
{
b) On sait que h  Г = Г 1
Notons O' le centre de
Г 1 . On a h O=O ' d'où O ' A=
A ' ∈Г 1 ∩ Г '  . On sait
{
A ' ∈ Г ' 
A '∈ Г 1  car
B∈ Г et
OA
r
. Soit O ' A= (A, O' et O
3
3
sont alignés).
Une condition nécessaire et suffisante pour que les cercles Г 1 et Г ' soient sécants est :
r
2r
|r-r'|OO'r+r' . Or OO'=OA-O'A d'où OO'= r , soit OO'=
.
3
3
2r
r' 1 2 r' 1
On obtient alors |r-r'| r+r' . En divisant par r on obtient : | − |  
3
r r 3 r 3
r' 1
D'où 1 
r 3
r' 1

Alors Г ' et
r 3
problème a deux cordes solutions.
Cas 1 : 1
Г 1 se coupent en deux points
A ' 1 et
A ' 2 et le
Cas 2 :
r' 1
=
r 3
. Alors
Г ' et
Г 1 sont tangents en un point A et le problème a une corde
r' 1

r 3
. Alors
Г ' et
Г 1 ne se coupent pas et le problème n'a pas de solution.
solution.
Cas 3 :
4) Exercices sur le thème « constructions géométriques »
J'ai choisi d'illustrer mon dossier par trois exercices de niveaux différents pour voir l'évolution des
constructions géométriques dans le cursus scolaire.
Exercice 1 : Construction d'un triangle rectangle (3e)
Construire un triangle rectangle connaissant la médiane m=4cm et la hauteur h=3cm
relative à l'hypoténuse.
Outils utilisés dans l'exercice :
✔ Propriété cercle circonscrit dans un triangle rectangle
✔ Propriétés et définition d'une médiane et d'une hauteur
Figure obtenue :
Résolution : On sait que la médiane relative à l'hypoténuse [AB] est égale à la moitié de
l'hypoténuse.
Placer le point O et de part et d'autre les points A et B tels que OA=OB=m.
Le point C est sur le cercle de diamètre [AB] à une distance h de (AB)
Le problème admet des solutions si h ≤ m .
Exercice 2 : Construction de tangentes à un cercle (2nde)
Étant donné un cercle C de centre O et un point A extérieur à C. Construire à la règle non graduée et
au compas les tangentes au cercle C issue de A.
Outils utilisés dans l'exercice :
✔ Raisonnement par analyse synthèse
✔ Définition de la tangente à un cercle
✔ Théorème de l'angle droit : Considérons un cercle de diamètre [AB] et un point M du cercle
différent de A et B, alors le triangle AMB est rectangle en M. Réciproquement si le triangle
AMB est rectangle en M alors le triangle est inscrit dans le cercle de diamètre [AB].
Résolution :
• Analyse du problème :
Supposons le problème résolu et analysons la figure alors obtenue :
Les triangles OT 1 A et OT 2 A sont rectangles en T 1 et T 2 .
D'après le théorème de l'angle droit les points T 1 et T 2 appartiennent au cercle C' de diamètre
[AO]. De plus, T 1 et T 2 sont sur le cercle C.
• Synthèse du problème :
Construisons à la règle et au compas le milieu I de [AO] en traçant la médiatrice de [AO].
Traçons au compas le cercle C' de centre I passant par A. C ' ∩C={T 1 , T 2 } .
De plus OT 1 A et OT 2 A sont rectangles en T 1 et T 2 d'après le théorème de l'angle droit.
Conclusion : OT 1 ⊥ AT 1  et OT 2⊥ AT 2  . On a bien :  AT 1  et  AT 2  sont les
tangentes à C issues de A.
Exercice 3 : Construction d'un triangle rectangle isocèle (1èreS)
Soit deux droites parallèles D et D' et A un point n'appartenant ni à D ni à D'.
Construire M sur D et M' sur D' de façon que le triangle AMM' soit rectangle isocèle en A de sens
direct.
Outils utilisés dans l'exercice :
✔ Raisonnement par analyse synthèse
✔ Méthode des deux lieux
✔ Rotations
Résolution :
• Analyse du problème :
Supposons le problème résolu et analysons la figure alors obtenue :
Il suffit que l'on trouve l'un des deux points M ou M ' pour résoudre l'exercice.
On sait que le triangle AMM ' est rectangle isocèle en A .
−‫ח‬
Considérons donc la rotation notée r de centre A et d'angle
. On a r M =M '
2
M ' ∈ r (D) car M ∈ D
Ainsi on a :
M ' ∈D '
{
• Synthèse du problème :
On construit ∆=r  D . On a : ∆⊥ D or D∥D ' d'où ∆⊥ D ' . Ainsi il existe bien un
unique point M' tel que D '∩∆={M'} . On a donc M ' ∈D ' , r −1 M ' ∈D , AM '= AM
−‫ח‬
AM ,
AM '=
[2 ‫ ]ח‬. Le triangle AMM ' est bien rectangle isocèle en A.
et 
2