N°5 - Marcq Institution

3èmes 1 à 9
Lundi 26 mai 2014
DS de mathématiques n°5
Durée : 1h50 – Calculatrice autorisée
Consignes : - Coller l’énoncé, plié en 4, sur la 1ère page de la copie.
(1 point)
- Souligner les résultats à la règle ; séparer les exercices d’un grand trait.
- Soigner l’orthographe, la rédaction, les notations.
Exercice 1 (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Sur la copie, noter le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à l’unique bonne
réponse. Aucune justification n’est demandée.
Question
Réponse a Réponse b
Réponse c
2
2
2
1) La forme factorisée de 9 – 64x est
– 55 x
(3 – 8x)
(3 – 8x)(3 + 8x)
2) Combien faut-il de temps pour
1 min 12 s
1 min 20 s
1 min 2 s
parcourir 800 m à la vitesse de 40 km/h ?
3) Laquelle de ces fonctions est une
h(x) = 3x2 + 4
f (x) = 3x – 7
g(x)
=
fonction affine ?
4) COMPAS est un hexagone régulier de
60°
120°
150°
centre I. L’angle PASmesure :
5) Pour la figure suivante, Mario affirme
que (AB)//(CD)
C’est vrai
C’est faux
On ne peut
pas savoir
Exercice 2 (7 points)
PARTIE A
 x + y = 14
Résoudre le système suivant : 
0,8 x + 1,2 y = 14,4
PARTIE B
1) a. Donner l’expression de la fonction f qui traduit une réduction de 20 %.
b. Donner l’expression de la fonction g qui traduit une augmentation de 20 %.
2) A la piscine, il y a deux types de tarifs d’entrées : le prix enfant et le prix adulte.
Le 10 avril : un papa va à la piscine avec sa fille, il paye 14 €.
Le 20 avril : il se rend compte que le tarif enfant a diminué de 20 % et que le prix
adulte a augmenté de 20 %. Il paye alors 14,40 €.
Quel est le prix enfant et le prix adulte au 10 avril pour l’entrée à la piscine ?
Exercice 3 (8 points)
La répartition des groupes sanguins dans la population française est présentée dans le tableau
ci-après. On choisit au hasard une personne.
Dans le tableau, les probabilités sont données en pourcentages.
Rhésus
Rh +
Rh –
O
36 %
6%
Groupe sanguin
A
B
38 %
8%
7%
1%
AB
3%
1%
Les réponses seront données en écriture décimale.
1) Quelle est la probabilité de A– « La personne est du groupe A rhésus négatif » ?
2) Quelle est la probabilité de l’événement B « La personne est du groupe B » ?
3) a. Quelle est la probabilité de R– « La personne est du rhésus négatif » ?
b. En déduire la probabilité de R+ « La personne est du rhésus positif ». Expliquer.
4) a. On note A « La personne est du groupe A » et O « La personne est du groupe O ».
Les événements A et O sont-ils incompatibles ? Pourquoi ?
b. En déduire p(A et O) ainsi que p(A ou O).
5) a. Les événements B et R+ sont-ils incompatibles ? Pourquoi ?
b. Déterminer p(B et R+) et p(B ou R+)
Exercice 4 (6 points)
Jérémy prépare un tour de magie : il prend un foulard au hasard dans
le sac A puis un autre dans le sac B. Le sac A contient 3 foulards
rouges (R) et 4 verts (V). Le sac B contient un foulard rouge (R) et
3 verts (V). Tous ces foulards sont indiscernables au toucher.
1) Représenter cette expérience par un arbre de probabilités.
2) Calculer la probabilité que Jérémy tire au hasard : a. un foulard rouge puis un vert ;
b. un foulard vert puis un rouge ;
c. deux foulards de la même couleur.
Exercice 5 (7 points)
Sur la figure ci-contre,
- ABC est un triangle équilatéral ;
- O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
- D est le point diamétralement opposé à B sur ce cercle.
1) Démontrer la nature du triangle ABD.
2) Déterminer la mesure de l’angle ADB.
3) En déduire la mesure de l’angle AOB.
Exercice 6 (6 points)
Un moule à muffins est constitué de 9 cavités identiques.
Chaque cavité a la forme d’un tronc de cône (cône coupé par un
plan parallèle à sa base) représenté ci-contre.
1) Démontrer que le volume d’une cavité est environ 125 cm3.
Toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie,
est à faire apparaître sur la copie.
2) Léa a préparé 1 litre de pâte. Elle veut remplir chaque cavité
du moule au de son volume.
A-t-elle suffisamment pour les 9 cavités du moule ? Justifier.
Correction du DS de Mathématiques n°5
Exercice 1 (5 points)
1) C : 9 – 64 x² = 3² – (8x)² = (3 – 8x)(3 + 8x)
2) A : v = 40 km/h et d = 800 m = 0,8 km or
donc
3) A : une fonction affine est de la forme ! " #! $ %
4) B : un angle au centre d’un hexagone régulier mesure
donc PIS
4 + 60
01
/
34&
donc PAS
5) B :
/,
02
&
120°.
05
/
06
,
/
donc
01
02
7
Exercice 2 (7 points)
PARTIE A
 x + y = 14
 x = 14 − y


0,8 x + 1,2 y = 14,4 0,8 (14 − y ) + 1,2 y = 14,4
81 9
/
3
1
12
60°
&
05
d’où (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
06
 x = 14 − y

0,4 y = 14,4 − 11,2
 x + y = 14
0,8 x + 0,8 y = 11,2
0,4 y = 3,2



0,8 x + 1,2 y = 14,4 0,8 x + 1,2 y = 14,4
 x + y = 14
donc le couple (6 ; 8) est solution du système.
PARTIE B
1) a. ! "
0,02
240° et PAS est un angle inscrit associé à l’angle au centre PIS
,-.
et
,
:!
b. < ! "
0,8!
81 $
 x = 14 − y

0,4 y = 3,2
y = 8

 x + 8 = 14
/
3
:!
y = 8

x = 6
y = 8

 x + 8 = 14
1,2!
2) Soit x le tarif enfant et y le tarif adulte au 10 avril.
Le 10 avril : un papa va à la piscine avec sa fille, il paye 14 € ; on a alors x + y = 14.
Le 20 avril : le tarif enfant a diminué de 20 % et le prix adulte a augmenté de 20 %.
Il paye alors 14,40 €. On a alors ! " $ < =" 14,4ou encore 0,8! $ 1,2= 14,4.
 x + y = 14
On doit résoudre le système 
et d’après la partie A, on obtient
0,8 x + 1,2 y = 14,4
Au 10 avril, le tarif enfant s’élève à 6 € et le tarif adulte s’élève à 8 €.
y = 8

.
x = 6
Exercice 3 (8 points)
1) p(A–)=
2) p(B) =
>
?, ?@
3
3
4
3) a. p(R–) =
= 0,09
3
?, AB
3
b. p(R+) = CDR 9F
1 9 C R 9"
1 9 0,15
?, HB
4) a. A et O sont incompatibles car on n’a qu’un seul groupe sanguin.
b. On en déduit que p(A et O) = 0 et p (A ou O) = p(A) + p(O) =
$
3
3
/
3
>
= 0,87
5) a. B et R+ ne sont pas incompatibles car on a un groupe sanguin et un rhésus (on peut être B+).
b. p(B et R+) =
3
?, ?H
et
p(B ou R+) =
&I
I I I3
3
3
&
0,86
Exercice 4 (6 points)
J
2)a. p(R ; V) = +
>
b. p(V ; R) = +
>
3
KH
A
@
c. Soit p la probabilité que Jérémy choisisse deux foulards
de la même couleur : p = p( (R ; R) ou (V ; V) )
or, les événements (R ; R) et (V ; V) sont incompatibles
3
donc p = p(R ; R) + p(V ; V) = + $ +
>
>
/
$
3/
/
AB
KH
Exercice 5 (7 points)
1) A est un point du cercle de diamètre [BD]
Or, si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un de ses diamètres alors le triangle
obtenu est rectangle en ce point.
Donc ABD est un triangle rectangle en A.
2) ABC est un triangle équilatéral donc LMN = 60°.
P
ADB et ACB sont deux angles inscrits dans le cercle et ils interceptent l’arc AB
QR STU!# <VT WR TRWTC T VT ê T#RW#VQR V Q ST ê T T URT
donc LYN = LMN = 60°.
P
3) Dans le cercle, AOB est l’angle au centre qui intercepte l’arc AB
P
et ADB est un angle inscrit qui intercepte l’arc AB
QR dans un cercle, la mesure d’un angle au centre vaut le double de la mesure de tout
angle inscrit qui intercepte le même arc.
Donc LZN = 2 ADB = 2 + 60 = 120°
Exercice 6 (6 points)
On a un cône de rayon 3,75 cm car son diamètre est 7,5 cm et de hauteur 12 cm
Or [\ô^_
Donc [\ô^_
`+abcd^²+fbg _ga
`+ ,> ²+3/
Bi, KBjklm
4 + 14,0625 + h
On a coupé ce cône par un plan parallèle à sa base
On obtient alors un petit cône, réduction du grand cône de rapport
3/n
3/
3
3/
K
m
Or, dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k
Donc [o_
p \ô^_
/
8 : [\ô^_
+ &,/ `
/>
`
/>
On a alors [\b p é [\ô^_ 9 [o_ p \ô^_ 56,25h 9
Le volume d’une cavité est environ 125 cm3.
2)
+ 125
B?j
m
`
klm r AKBklm (par excès)
93,75 donc chaque cavité doit contenir un peu moins de 93,75 cm3 de pâte.
9 × 93,75 = 843,75 donc Léa a besoin d’un peu moins de 843,75 cm3 de pâte.
et 843,75 cm3 = 0,84375 dm3 = 0,84375 L < 1 L
Léa a suffisamment de pâte si elle en prépare 1 litre.