Triangle rectangle et cercle circonscrit C B A O C B A O C B A I Le

Le cours de M. Haguet
collège des flandres : http://www5.ac-lille.fr/~clgflandres/maths/mathsCOURS.html
Triangle rectangle et cercle circonscrit
I) Les théorèmes
a) propriété 1 :
B
Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit est le
cercle qui a pour diamètre l'hypoténuse du triangle
(et pour centre le milieu de l'hypoténuse).
O
A
C
b) théorème 1 :
Si un triangle est rectangle alors la médiane issue
de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
B
On sait que : ABC triangle rectangle en C
[CI] médiane issue de C car I milieu de [AB]
Or: théorème
AB
Donc : CI =
2
I
A
C
c) théorème 2 :
Si un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre et un 3ème point
d'un cercle alors ce triangle est rectangle en ce 3ème point.
B
O
On sait que : [AB] diamètre de (C )
C ∈ (C )
Or: théorème
Donc : ABC triangle rectangle en C
A
C
II) Distance d'un point à une droite
a) Définition :
A
Soit A un point et (d) une droite.
On appelle distance du point A à la droite (d) la longueur du plus petit segment
que l'on peut trouver en rejoignant A à un point de la droite.
M
N
O
Ex : AN est la distance de A à la droite (d)
car quelque soit M ∈ (d), AN < AM
b) Propriété
A
Soit A un point et (d) une droite.
Soit H le point de (d) tel que (AH) ⊥ (d)
Alors AH est la distance du point A à la droite (d)
(d)
M
H
c) Propriété
Soit n un nombre supérieur à 0 et (d) une droite
L'ensemble des points situés à n cm de (d) est constitué
de 2 droites parallèles à (d)
n cm
n cm
(d)
(d)
III) Cercle et droite
Un cercle et une droite peuvent avoir 0, 1 ou 2 points d'intersections
2 points d'intersections
1 point d'intersection
a) Définition :
Lorsqu'un cercle et une droite ont un seul point
d'intersection, la droite est appelée tangente au cercle.
Ex : (d) est la tangente au cercle (C ) au point M.
b) Propriété :
La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire
au rayon qui passe par ce point
0 point d'intersection
(d)
(C )
M
(d)
M
(C )
O
(d) est la tangente au cercle (C ) au point M.
y
z
IV) Bissectrices
a) Définition :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui coupe l'angle en 2 parties égales
x
O
b) Propriété
Si un point appartient à la bissectrice d'un angle, alors il est
équidistant des 2 côtés de cet angle.
c) Propriété réciproque
Si un point est équidistant des côtés d'un angle alors il appartient à
la bissectrice de cet angle.
y
y
I
I
M
O
J
Si M ∈ [Oz) alors MI = MJ
z
M
z
O
x
x
J
Si MI = MJ alors M ∈ [Oz) (bissectrice de 
xOy )
d) Propriété (Cercle inscrit)
Dans un triangle, les 3 bissectrices sont concourantes en un point qui est le
centre du cercle inscrit au triangle.
(cercle situé à l'intérieur du triangle et tangent aux 3 côtés de l'angle.
I