Chute d`un verre de la table1

Chute d’un verre de2 la table1
Loı̈c Le Marrec
Université de Rennes 1, L2
Pré-requis : Frottement de Coulomb, conservation de l’énergie mécanique
Énoncé
~y
T~
~
N
G
~u
~q
ϕ
~x
O
On étudie la chute d’un verre au bord d’une table et posé le long de son flan initialement en équilibre.
Pour modéliser ça sans trop de problème on utilise une approche bidimentionelle. On modélise le verre par un
cercle de centre G de rayon R et de masse m. Le coefficient de frottement de glissement de l’arrête sur le verre
est f .
~ de la table sur le verre est normale à la table. Il n’y a donc pas
Quand le verre est sur la table, la réaction R
de glissement. Le glissement du verre sur l’arrête de la table ne peut être amorcé qu’à partir d’un certain angle
~ ~u) de rotation autour de l’arrête Oz. Le repère R = (O; ~u, ~q, ~z ) est un repère local lié au verre. Le
ϕ = (Ox,
référentiel R0 = (O; ~x, ~y , ~z)) est galiléen.
Géométrie du problème
1. Quelle est la dimension de m ?
2. Quelle est la matrice d’inertie du cercle dans sa base principale IG (S) ? Est-elle la même que celle du
verre ? Si non, est-ce grave pour la suite ? Justifiez. Dorénavant, le verre sera assimilé au cylindre.
3. Exprimez le moment d’inertie du verre autour de l’axe (G~z ) : IGz (S) puis autour de l’axe de rotation
(O~z ) : IOz (S).
~
4. Exprimez la vitesse de rotation du verre par rapport à R0 : Ω(S/R
0)
Approche énergétique On considère que le verre est toujours en contact sans glissement avec la table
(rotation pure autour de (O~z ))
1. Calculez l’énergie cinétique Ec du verre.
2. Calculez son énergie potentielle Ep .
3. Exprimez l’énergie mécanique pour deux positions :
1) quand le cylindre est stable sur la table
2) quand le cylindre est en train de pivoter d’un angle ϕ sur l’arête de la table.
4. Appliquez le théorème de conservation de l’énergie mécanique.
5. Dérivez par rapport au temps la relation obtenue.
1 April
8, 2009
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2 IRMAR,
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Approche dynamique
~ à partir de ses deux composantes : R
~ = N~u+T ~q.
On exprime la réaction de la table R
1. Exprimez l’accélération du centre de masse en fonction de ϕ.
2. Appliquez le Théorème du centre de masse en projection sur ~u et ~q.
3. A partir des relations précédentes exprimez les termes relatifs à la réaction.
Étude
Il n’y’a pas de glissement tant que T ≤ f N . Le cylindre quite l’arête quand N = 0.
1. Étudiez le comportement du cylindre sur le bord de la table : commence-t-il par glisser ou quite-il
directement la table sans glisser ?
2. A quel angle le premier des deux phénomènes apparaı̂t ? Cela est-il toujours vrai ?
3. Les relations utilisées jusqu’à maintenant sont-elles toujours valables ?
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