Le pendule balistique - Olivier Castéra

LE PENDULE BALISTIQUE
OLIVIER CASTÉRA
Résumé. Le pendule balistique permet de mesurer la vitesse d’un
projectile.
Table des matières
1. Premier exemple de pendule balistique
1.1. Introduction
1.2. Relation fondamentale de la dynamique
1.3. Conservation de l’énergie mécanique
1.4. Conservation de l’énergie totale
2. Deuxième exemple de pendule balistique
2.1. Introduction
2.2. Conservation du moment cinétique
2.3. Relation fondamentale de la dynamique
2.4. Conservation de l’énergie mécanique
2.5. Conservation de l’énergie totale
1
1
2
3
3
4
4
4
6
7
8
1. Premier exemple de pendule balistique
1.1. Introduction.
Un solide (S) au repos dans le référentiel terrestre, est suspendu par
l’intermédiaire d’une corde.
y
o
(p)
x
(S)
v
b
g
Figure 1. Pendule balistique avant l’impact
Date: 14 août 2016.
1
2
OLIVIER CASTÉRA
Le centre du référentiel (o, x, y, z) est le point d’accrochage de la
corde. On désigne par M la masse du solide (S), et par g son centre de
gravité. A l’instant t1 , un projectile (p) de masse m et de dimensions négligeables, heurte le solide (S) avec une vitesse v, et s’arrête à l’intérieur
du solide (S). L’ensemble (S)+(p) prend alors la vitesse horizontale V .
1.2. Relation fondamentale de la dynamique.
1.2.1. Avant l’impact.
Le système étudié est le solide (S). De t0 à t1 , le poids du solide (S)
est équilibré par la tension de la corde, T = −P S . La RFD s’écrit :
d
p = T + PS
dt S
=0
Le système étudié est le projectile (p), qui ne subit que son propre
poids P p :
d
(mv) = P p
dt
d
(vx i + vy j) = −g j
dt
qui donne les équations de la trajectoire du projectile avant l’impact,
vx = vx (t0 )
vy (t1 ) = −g(t1 − t0 ) + vy (t0 )
1.2.2. Pendant l’impact.
Le système étudié est l’ensemble formé par le solide (S) et le projectile (p), et noté (S) + (p). La RFD s’écrit :
X
d
pSystème =
F ext
dt
De t1 à t+
1 , le projectile (p) se trouve dans le solide (S), le poids de
l’ensemble est noté P S+p . La RFD s’écrit :
Z t+1 X
F ext dt = ∆t+1 →t1 pS+p
t1
Z
t+
1
t1
t+
(T + P S+p )dt = [p(S) + p(p) ]t11
= [p(S) + p(p) ]t+1 − [p(S) + p(p) ]t1
= (M + m)V − mv
(1)
On projette l’équation (1) sur les axes (ox) et (oy). Nous faisons l’approximation que pendant l’impact, la vitesse du système (S) + (p) est
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purement horizontale, Vy = 0, et que la composante horizontale de la
tension T est négligeable :


 (M + m)Vx − mvx = 0
Z t+1

(T − PS+p )dt
 − mvy =
t1
Sur l’axe (oy), la tension s’oppose au poids et à la variation de quantité
de mouvement verticale du projectile :

m

vx
(2)
 Vx =
M +m

 m dvy = −T + PS+p
dt
1.3. Conservation de l’énergie mécanique.
On choisit la position initiale du centre de gravité du système (S) + (p)
comme origine de l’énergie potentielle. Juste après l’impact, l’énergie
potentielle du système (S) + (p) est nulle et l’énergie cinétique est
maximale, et vaut :
Ec = 21 (M + m)Vx2
On mesure la hauteur maximale h atteinte par le système (S) + (p) à
l’instant t2 . En h, l’énergie cinétique est nulle et l’énergie potentielle
est maximale. En négligeant les frottements de l’air et de la corde sur
l’axe, la conservation de l’énergie mécanique s’écrit 1 :
Eméca (t2 ) = Eméca (t1 )
Ecin (t2 ) + Epot (t2 ) = Ecin (t1 ) + Epot (t1 )
1
(M
2
et avec l’équation (2),
+ m)Vx2 = (M + m)gh
p
Vx = 2gh
vx =
M + mp
2gh
m
(3)
1.4. Conservation de l’énergie totale.
On peut à présent calculer le transfert de chaleur Q du projectile (p) au
solide (S) lors de l’impact. On écrit la conservation de l’énergie totale
lors du transfert d’énergie cinétique au moment de l’impact :
Q = 21 mvx2 − 12 (M + m)V 2
1. Voir Mécanique classique.pdf
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Avec l’équation (2),
m2
Q = 21 mvx2 − 21 (M + m)
v2
(M + m)2 x
m
2
1
= 2 mvx 1 −
M +m
et avec l’équation (3),
M
1 (M + m)2
2gh
Q=
2
m
M +m
M
= (M + m)
gh
m
2. Deuxième exemple de pendule balistique
2.1. Introduction.
Un solide (S) au repos dans le référentiel terrestre, peut tourner sans
frottement autour d’un axe horizontal (oz). On désigne par M sa masse
et par J(oz) son moment d’inertie par rapport à l’axe (oz). A l’instant
t1 , un projectile (p) de masse m et de dimensions négligeables, heurte
le solide (S) avec une vitesse v, et s’arrête à l’intérieur du solide (S).
Le système étudié est l’ensemble solide (S) et projectile (p).
y
o
x
z
(p) v
r
l = og
l′ = oh
α
b
b
g
h
(S)
2.2. Conservation du moment cinétique.
Soit o le point de contact du solide (S) avec l’axe (oz). Le théorème du
moment cinétique par rapport au point o appliqué au système (S) + (p)
s’écrit :
X
d
L/o Système =
M /o (F ext )
dt
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2.2.1. Avant l’impact.
On note R la réaction sur l’axe (oz). De t0 à t1 , le théorème du moment
cinétique s’écrit :
d
L/o Système = M /o (P S ) + M /o (P p ) + M /o (R)
dt
Les moments par rapport au point o du poids du solide (S) et de
la réaction sur l’axe (oz) sont identiquement nuls, car leur direction
commune passent par le point o. Par conséquent,
d
L/o Système = M /o (P p )
dt
En notant ρ le rayon vecteur du projectile (p),
d
(ρ × mv) = ρ × P p
dt
d
ρ × m (vx i + vy j) = ρ × −mg j
dt
d
(vx i + vy j) = −g j
dt
qui donne les équations de la trajectoire du projectile avant l’impact,
vx = vx (t0 )
vy (t1 ) = −g(t1 − t0 ) + vy (t0 )
2.2.2. Pendant l’impact.
De t1 à t+
1 , le projectile (p) se trouve dans le solide (S). Le théorème
du moment cinétique s’écrit :
d
L/o Système = M /o (P S+p ) + M /o (R)
dt
Le centre de gravité g ′ de l’ensemble (S) + (p) se place à la verticale
du point o, si bien que le poids de l’ensemble a un moment nul par
rapport à l’axe (oz). Le moment de la réaction sur l’axe (oz) reste nulle
pour les mêmes raisons que précédemment. Par conséquent, le moment
cinétique du système se conserve. En notant r le rayon vecteur du point
où s’arrête le projectile,
d
L/o Système = 0
dt
L/o Système (t+1 ) = L/o Système (t1 )
J(oz) ω + r × m(ω × r) = r × mv
J(oz) ωk + rer × m(ωk × rer ) = rer × m(vx i + vy j)
J(oz) ωk + mωr 2 er × (k × er ) = mr(vx er × i + vy er × j)
J(oz) ωk+mωr 2[(er ·er )k−(er ·k)er ] = mr[vx sin(er , i) + vy sin(er , j)]k
ωk J(oz) + mr 2 = mr[vx sin( π2 +α)+vy sin(α+π)]k
ω J(oz) + mr 2 = mr(vx cos α − vy sin α)
6
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On pose l′ = r cos α = oh :
ω J(oz) + m
l′2
cos2 α
= ml′ (vx − vy tan α)
ω=
ml′ (vx − vy tan α)
l′2
J(oz) + m
cos2 α
(4)
2.3. Relation fondamentale de la dynamique.
On peut à présent utiliser la RFD pour trouver l’expression de la
réaction sur l’axe (oz)
X
d
pSystème =
F ext
dt
Z t+1
pSystème (t+1 ) − pSystème (t1 ) =
R + P S + P p dt
t1
Mω × og + mω × r − mv =
Z
t+
1
R + P S+p dt
t1
On pose l = og, la distance de l’axe (oz) au centre de gravité g du
solide (S). La réaction sur l’axe (oz) s’oppose aux poids et à la variation de quantité de mouvement verticale du projectile. En utilisant les
coordonnées de r :
r = −r sin αi − r cos αj
et en appelant q la percussion, telle que :
q = R + P S+p
nous obtenons,
′
Mωk×(−l)j +mωk×l (− tan αi−j) − m(vx i+vy j) =
′
′
Mωli − mωl tan αj + mωl i − mvx i − mvy j =

Z

′


 Mωl + mωl − mvx =
t+
1
qx dt
t0
Z



 −mωl′ tan α − mvy =
t+
1
qy dt
t0
Cherchons les conditions pour annuler la percussion :
(
Mωl + mωl′ − mvx = 0
−mωl′ tan α − mvy = 0
Z
Z
t+
1
q dt
t0
t+
1
qx i + qy j dt
t0
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(
7
mvx
Ml + ml′
α = 0 et vy = 0
(5)
ω=
Pour annuler la percussion il faut que le projectile atteigne l’axe (oy), ce
qui correspond à la condition α = 0. Il faut aussi que la vitesse verticale
du projectile soit nulle au moment de l’impact, vy = 0, autrement dit
qu’il percute le solide lorsqu’il est au sommet de sa trajectoire. Enfin,
en posant α = 0 dans l’équation (4), et en utilisant l’équation (5), nous
pouvons trouver la dernière condition :
mvx
ml′ vx
=
′2
J(oz) + ml
Ml + ml′
J(oz) + ml′2
= Ml + ml′
l′
J(oz)
= Ml
l′
J(oz)
l′ =
Ml
Il faut donc que le projectile heurte le solide à la hauteur l′ égale à celle
du pendule simple synchrone.
2.4. Conservation de l’énergie mécanique.
On choisit la position initiale du centre de gravité du système (S) + (p)
comme origine de l’énergie potentielle. Juste après l’impact, l’énergie
potentielle du système est nulle et l’énergie cinétique est maximale. En
utilisant l’équation (4), elle s’écrit :
Ec = 12 J(oz) ω 2 + 21 ml′2 ω 2

=
1
2
2
 ml′ (vx − vy tan α) 
J(oz) + ml′2 

l′2
J(oz) + m
cos2 α
Dans le cas où la percussion est nulle, α = 0, vy = 0, l′ = J(oz) /(Ml),
2
J
(oz)
"
#
m
vx 
J(oz) 2 
1
Ml


J(oz) + m
Ec =

2 
2
Ml

J(oz) 
J(oz) + m
Ml

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2
J
(oz)
m2
vx2
1
Ml
Ec = ×
2
J(oz) 2
J(oz) + m
Ml
2 2
J(oz) m vx
1
= × 22
2 M l + J(oz) m
On mesure la hauteur maximale h atteinte par le centre de gravité de
l’ensemble (S) + (p) à l’instant t2 . En h, l’énergie cinétique est nulle et
l’énergie potentielle est maximale. En négligeant les frottements de l’air
et du solide (S) sur l’axe (oz), la conservation de l’énergie mécanique
s’écrit :
Eméca (t2 ) = Eméca (t1 )
Ecin (t2 ) + Epot (t2 ) = Ecin (t1 ) + Epot (t1 )
J(oz) m2 vx2
1
× 22
= (M + m)gh
2 M l + J(oz) m
s
1 2(M + m)gh(M 2 l2 + J(oz) m)
vx =
m
J(oz)
(6)
2.5. Conservation de l’énergie totale.
On peut à présent calculer le transfert de chaleur Q du projectile (p) au
solide (S) lors de l’impact. On écrit la conservation de l’énergie totale
lors du transfert d’énergie cinétique au moment de l’impact :
J(oz) m2 vx2
1
1
Q = mvx2 − × 2 2
2
2 M l + J(oz) m
J(oz) m
1
1− 2 2
mvx2
=
2
M l + J(oz) m
1
M 2 l2
= × 22
mvx2
2 M l + J(oz) m
et avec l’équation (6),
2(M + m)gh(M 2 l2 + J(oz) m)
1
M 2 l2
× 22
×
2 M l + J(oz) m
J(oz) m
2 2
M l
gh
= (M + m)
J(oz) m
Q=
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