TD 5 Quantité de mouvement

PH1ME2-C
Université Paris 7 - Denis Diderot
2012-2013
TD 5
Quantité de mouvement
1. Recul d’une arme à feu *
On suppose que la force musculaire horizontale F~ de résistance au recul de l’arme est
constante, que l’épaule se déplace de 1.5 cm et que la balle est éjectée de façon instantanée. La
masse de l’arme est de 5 kg, celle de la balle est de 10 g et la vitesse d’éjection v = 500 m/s.
Calculer F~ .
2. Pendule balistique *
M+m
v
M
Un projectile de masse m et de vitesse horizontale V est envoyé dans un sac plein de sable M formant la partie inférieure
d’un système mobile autour d’un axe horizontal O.
Le projectile s’immobilise dans le sable, l’ensemble démarrant
avec la vitesse v.
V
m
1. Déterminer v par conservation de la quantité de mouvement.
2. Déterminer la hauteur h à laquelle s’élève ce pendule. Quelle est la variation d’énergie
potentielle correspondante ?
3. Pourquoi est-elle différente de l’énergie cinétique initiale du projectile ?
3. Rebond sur un mur *
Une balle, assimilée à une masse ponctuelle m, rebondit sur un mur vertical rigide de masse
M >> m. Le choc est supposé élastique et instantané. Juste avant le choc, la balle a une vitesse
~v dont la direction fait un angle α avec la normale au mur.
1. Représenter la force de réaction exercée par le mur sur la balle. Quel angle fait-elle avec
le mur ?
2. En écrivant la conservation de l’énergie cinétique et la conservation de la quantité de mouvement (préciser pour quel système), déterminer la vitesse v~0 de la balle immédiatement
après le choc.
4. Coefficient de restitution *
Une bille lâchée sans vitesse initiale depuis une hauteur h rebondit sur le sol.
1. On définit le coefficient de restitution k comme le rapport entre les célérités juste après et
juste avant le choc. Entre quelles valeurs limites k est-il compris, et quels types de choc
définissent-elles ?
2. La bille subit un grand nombre de rebonds successifs jusqu’à ce qu’elle s’immobilise.
Déterminer la distance totale verticale parcourue D et le temps T écoulé jusqu’à l’immobilisation. On évaluera ces deux termes dans le cas d’une bille d’acier tombant de 1 m sur
de l’acier (k = 0.9) en négligeant le frottement de l’air.
5. Constat sans témoin *
Deux véhicules identiques, animés des vitesses respectives ~v1
et ~v2 (~v1 .~v2 = 0) entrent en collision au centre O d’une inV1
φ
O
tersection. Les deux véhicules n’en forment alors plus qu’un
m
partant dans la direction φ et constituent un amas compact
m V2
fumant de deux épaves en M. Le constat d’assurance est
dressé comme l’indique la figure ci-contre. Si on suppose que
le véhicule ayant la vitesse la plus élevée est l’unique responsable vis-à-vis de l’assurance, à qui
sera attribué le malus dans le cas où φ = 30◦ ?
M
6. Réception sur un sol pas assez mou **
Un homme se laisse tomber, sans vitesse initiale, d’une hauteur h sur un tapis qui exerce
sur lui une force de réaction F~ normale au sol et supposée constante. La vitesse de l’homme
s’annule sur une distance δh.
1. Calculer kF~ k et la durée δt du choc. On prendra pour les applications numériques : m =
80 kg , h = 2 m et δh = 1 cm
2. La pression de rupture en compression d’un os est d’environ 1.7. 108 N/m2 . La section
droite minimale d’un tibia est d’environ 3 cm2 . Avec les données numériques de la question
précédente, court-il un risque de se casser une jambe ? Si oui, comment peut-il tenter de
l’éviter ?
7. Collision élastique entre 2 particules **

v1
x'

v'1
O

v'2
θ1
θ2
x
On étudie le choc élastique de deux particules de masse m1 et m2 . Avant le choc, m1
a une vitesse ~v1 dirigée suivant l’axe x0 x. Elle
vient de percuter une masse m2 au repos en
O.
Soient θ1 et θ2 les angles que font les vitesses ~v10 et ~v20 après le choc avec ~v1 avant le
choc.
2
1. Écrire les équations qui permettent de calculer ~v10 , ~v20 et θ1 en fonction de m1 , m2 , ~v1 et θ2 .
On rappelle la relation :
0
= [4 m1 m2 /(m1 + m2 )2 ] Ec1 cos2 θ2
Ec2
(1)
où E0c2 est l’énergie cinétique de la particule-cible après le choc et Ec1 l’énergie cinétique
de la particule incidente avant le choc.
2. Étudier et tracer le graphe de E0c2 en fonction du rapport µ = m1 /m2 .
3. Application aux réacteurs nucléaires : Les neutrons issus de la fission ont des énergies de
l’ordre de 1 MeV, trop élevées pour produire de nouvelles fissions : la réaction en chaı̂ne
ne peut s’amorcer que s’ils sont ralentis. Il est donc nécessaire d’utiliser un modérateur
qui transforme les neutrons rapides en neutrons lents (ou ”thermiques”).
a) Expliquer pourquoi la relation (1) suggère d’introduire des éléments légers comme
modérateurs dans le cœur des réacteurs.
b) Calculer la valeur en eV de l’énergie cinétique d’un neutron lent de vitesse v =
2.103 m/s.
4. Que devient la relation (1) pour m2 >> m1 ? En passant à la limite m2 infinie, montrer
qu’une balle abandonnée sans vitesse initiale depuis une hauteur h rebondirait jusqu’à
cette même hauteur. Pourquoi ceci n’est-il pas vérifié dans la pratique ? (cf. Exercice 4)
5. Cas d’un choc frontal : On suppose que θ2 = 0
a) Déterminer θ1 .
b) Déterminer ~v10 et ~v20 en fonction m1 , m2 et ~v1 .
c) Application : détermination de la masse du neutron (Chadwick 1932).
Avec des neutrons de masse m et de vitesse v1 (toutes deux inconnues) on bombarde
une première cible contenant des noyaux d’hydrogène de masse mH puis une seconde
cible contenant des noyaux d’azote de masse mN (mN =14 mH ). On mesure les vitesses
des atomes d’hydrogène et d’azote après le choc et on trouve vH0 /vN0 = 7.5 dans la
direction θ2 = 0. En déduire la valeur m/mH .
8. Chargement d’un wagon **
On déverse du sable à vitesse nulle dans un wagon de masse
initiale totale m0 et de vitesse initiale v0 . La quantité de
sable qui tombe verticalement dans le wagon par unité de
temps est constante et donnée par µ = dm/dt.
Expliquer pourquoi cela a tendance à ralentir le wagon et
calculer la force qu’il faut appliquer par conséquent sur le
wagon pour maintenir sa vitesse constante.
9. Frottement sur un satellite ***
Un satellite artificiel, sphérique de rayon R, est animé d’une vitesse v par rapport à l’atmosphère de masse volumique ρ. En supposant que seules les molécules d’air heurtant le satellite
sont perturbées et qu’en outre elles se collent à la surface du satellite, montrer que ce processus équivaut à l’application d’une force de frottement dont on donnera l’expression. (Cette
interprétation n’est pas satisfaisante d’un point de vue aérodynamique).
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10. Transfert de quantité de mouvement ***
train 2
m
m
train 1
v+u
v
Deux trains de même masse M circulent dans le même sens
sur des voies parallèles. L’un a initialement une vitesse ~v0 ,
l’autre une vitesse ~v0 + ~u0 . Leurs passagers, tous de même
masse m (m<<M) sautent alternativement d’un train à
l’autre à un rythme ν=dN/dt, constant et identique dans
les deux sens. Autrement dit, il arrive autant de passagers
qu’il en sort pendant un intervalle de temps donné.
1. Montrer, en raisonnant sur la différence de vitesse entre les deux trains, que ces allers et
venues incessants des passagers tendent à égaliser les vitesses des deux trains.
2. On définit t1/2 ,le temps nécessaire pour que la différence des vitesses des deux trains soit
divisée par 2. Montrer que t1/2 = M2νlnm2
Calculer t1/2 pour M = 200 tonnes, ν = 10 s−1 et m = 75 kg.
3. Calculer la vitesse de chacun des deux trains en fonction du temps. Montrer que leur
vitesse finale commune ~vF = ~v0 + ~u20 .
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