Moment cinétique

Moment cinétique
Définition et propriétés essentielles
~ˆ ∧ L
~ˆ = i~L.
~ˆ Pour
Nous avons vu que le moment cinétique orbital satisfaisait à la relation de commutation L
le spin-1/2, on peut également montrer en calculant les commutateurs à l’aide de matrices de Pauli que l’on a
~ˆ ∧ S
~ˆ = i~S.
~ˆ Ces relations de commutation servent de définition au moment cinétique en mécanique quantique,
S
~ˆ un vecteur ayant pour composantes trois observables Jˆx , Jˆy et Jˆz qui
que l’on notera de façon générique par J,
ˆ ˆ
ˆ
satisfont à la relation de commutation J~ ∧ J~ = i~J~ . Rappelons les formes moins condensées de ces relations :
[Jˆx , Jˆy ] = i~Jˆz
[Jˆy , Jˆz ] = i~Jˆx
[Jˆz , Jˆx ] = i~Jˆy
Un opérateur important est celui qui caractérise la norme au carré du moment cinétique. Il est naturellement
ˆ
défini par J~ 2 = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2 . Le notion de moment cinétique en mécanique quantique est intimement reliée
aux propriétés de symétrie par rotation du système et qui motivent la définition ci-dessus qui peut paraı̂tre un
peu abstraite. Cette discussion est cependant hors programme et l’on s’en tiendra au fait que cette définition
~ˆ et S
~ˆ rencontrés jusqu’à présent. Enfin, on utilise
permet d’englober les deux types de moments cinétiques L
habituellement le terme d’état de spin pour désigner l’état de moment cinétique d’une particule.
Propriétés on résume les propriétés essentielles d’un moment cinétique en mécanique quantique qui découlent
de sa définition.
ˆ
• Les observables {J~ 2 , Jˆz } forment un ECOC 1 , c’est-à-dire que la donnée de leurs états propres et leurs
valeurs propres suffisent à caractériser entièrement un état de spin. On notera les états propres associés
|j, mi avec j et m deux nombres quantiques qui caractérisent les valeurs propres de ces opérateurs.
ˆ
• Les valeurs propres de J~ 2 sont de la forme ~2 j(j + 1), avec j demi-entier ou entier . On a donc
3
1
j = 0, , 1, , 2, . . .
2
2
• Les valeurs propres de Jˆx , Jˆy et Jˆz pour j donné sont de la forme ~m, avec m ∈ {−j, −j + 1, . . . , j − 1, j} .
m peut donc prendre (2j + 1) valeurs.
• Pour le moment cinétique orbital j et m sont nécessairement entiers, on les notera ` et m.
En résumé
m
2
3/2
1
1/2
ˆ
J~ 2 |j, mi =
Jˆz |j, mi =
0
~2 j(j + 1)|j, mi
~m|j, mi
-1/2
1/2
1
3/2
2
j
-1
-3/2
-2
Représentation graphique des valeurs possibles des nombres quantiques j et m.
ˆ
ˆ
1. L’axe Oz ne joue aucun rôle physique particulier, on aurait pu tout aussi bien choisir {J~ 2 , Jˆx } ou {J~ 2 , Jˆy }. Il est d’usage
de choisir Oz car ce dernier est habituellement utilisé pour la direction d’un champ magnétique susceptible de se coupler au spin.
1
Moment cinétique orbital
Expression des opérateurs en représentation de position en coordonnées sphériques :
L̂x
∂
cos ϕ ∂
= i~ sin ϕ
+
∂θ
tan θ ∂ϕ
~ˆ 2
L
L̂y
sin ϕ ∂
∂
+
= i~ − cos ϕ
∂θ tan θ ∂ϕ
L̂+
L̂z
= −i~
∂
∂ϕ
L̂−
∂2
1 ∂
1 ∂2
+
+
2
∂θ
tan θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2
∂
∂
= ~eiϕ
+ i cotan θ
∂θ
∂ϕ
= −~2
∂
∂
+ i cotan θ
= ~e−iϕ −
∂θ
∂ϕ
On notera que l’opérateur dérivée prend un signe moins lors de la transposition.
2