Chapitre 9: Conversion d`énergie électromécanique

Chapitre
9
Conversion d’énergie électromécanique
9.1
Introduction
La conversion d’énergie électromécanique est une partie intégrale de la vie de tous les
jours. Que ce soit les grandes centrales hydoélectriques qui transforment l’énergie de l’eau en
énergie électrique, ou bien le moteur qui fait tourner un séchoir, la conversion d’énergie est
très répandue. On verra ici un exemple simple, la machine à réluctance.
9.2
Système à simple excitation
Soit le circuit suivant :
¾x-
i→
+
v N
−
Fig. 9.1 – Système simple à réluctance variable
1
CHAPITRE 9. CONVERSION D’ÉNERGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
La force magnétomotrice est :
F = N i = Rϕ
La tension est :
v = Ri +
où
dΨ
dt
0
ψ=Li
0
et L est l’inductance de magnétisation.
Il faut noter qu’on néglige habituellement les pertes Fer et les flux de fuite, sauf sous
indication contraire.
Si les pièces ferromagnétiques sont immobiles, la puissance est
vi = ei + Ri2
où
e=
dΨ
0 di
=L
dt
dt
0
L est indépendante du courant, à cause des entrefers. Donc,
vi = ei + Ri2
dΨ
0 di
= Ri2 + i
= Ri2 + L i
dtµ
dt
¶
1
d
0
vi = Ri2 +
L i2
dt 2
R
On peut intégrer pour trouver l’énergie. L’énergie
R 2 vi fournie par la source pendant un interval
R dt est égale à l’énergie dissipée en chaleur Ri plus la variation de l’énergie magnétique
idψ.
L’énergie magnétique totale emmagasinée durant l’interval de temps dt est :
Z Ψ
Wmag =
idΨ
0
Ψ = Nϕ
6
- i
Fig. 9.2 – Flux en fonction de l’énergie
Gabriel Cormier
2
GEN1153
CHAPITRE 9. CONVERSION D’ÉNERGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
L’aire sous la courbe est la co-énergie :
Z
i
0
Ψdi
Wmag =
0
On obtient :
0
Wmag + Wmag = Ψi
= (N ϕ)
µ
Rϕ
N
0
¶
= Rϕ2
0
= (L i)(i) = L i2
On voit que la somme de l’énergie et de la co-énergie à un instant donné est égale au produit
du flux totalisé Ψ à cet instant par la valeur du courant i à cet instant.
Dans le cas où
dΨ
dt
est constant (relation linéaire),
1
1 0
1
0
Wmag = Wmag = Ψi = L i2 = Rϕ2
2
2
2
Si une des pièces ferromécaniques est mobile, une tension de vitesse et une puissance
mécanique seront créés.
Si une pièce s’éloigne ou s’avance l’une par rapport à l’autre, l’entrefer change, et donc
l’inductance :
dΨ
v = Ri +
dt
d ³ 0 ´
= Ri +
Li
dt
0
dL
0 di
= Ri + L
+i
dt
dt
où
0
dL
i
dt
est la tension de vitesse, puisque :
0
0
dL dx
dL
=
dt
dx dt
Alors,
0
di
dL
vi = Ri + L i + i2
dt
dt
0
0
2
di
1
dL 1 2 L
1
0
+ i2
= Ri2 + L
+ i
|2 dt {z 2 dt} 2 dt
µ
¶
0
d 1 0 2
1 2 dL
2
Li + i
= Ri +
dt 2
2 dt
2
Gabriel Cormier
0
3
GEN1153
CHAPITRE 9. CONVERSION D’ÉNERGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
Le premier terme représente les pertes Joule, tandis que le second terme représente
l’énergie mécanique, et le troisième terme la puissance mécanique. On peut réarranger l’équation
pour obtenir,
µ
¶
0
1 2 dL
d 1 0 2
2
vi − Ri =
Li + i
= ei
dt 2
2 dt
µ
¶
0
1 0 2
1 2 dL
eidt = d
Li + i
= F dx
2
2 dt
Le premier terme à droite représente la variation de l’énergie magnétique, et le second la
variation de l’énergie mécanique.
La variation de l’énergie mécanique correspond au travail effectué par l’armature mobile
durant l’interval dt.
1
0
F dx = i2 dL
2
d’où
0
1 2 dL
F = i
2 dx
Puisque
0
L =
on obtient
N2
R
1 R
F = − ϕ2
2 dx
Pour un système en rotation,
θ
Fig. 9.3 – Système rotationel
le travail effectué par l’armature mobile est :
Ttrav = τem dθ
On peut écrire
Gabriel Cormier
1
0
Ttrav = τem dθ = i2 dL
2
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CHAPITRE 9. CONVERSION D’ÉNERGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
Et donc,
0
τem
1 dL
1 dR
= i2
= − ϕ2
2 dθ
2 dθ
Exemple 1
lg ?
x
6r
N
Fig. 9.4 – Machine tournante
Il faut calculer la réluctance. La réluctance de l’entrefer est
Re =
La réluctance du guide
Rg =
La réluctance totale est :
x
µ0 (πr2 )
g
¡
¢ ¤
µ0 2π r + g2 l
£
¸
·
1
gr2
R(x) =
x+
µ0 πr2
(2r + g)l
On néglige RF er , puisque µF er est très grand. Donc l’inductance est :
0
L =
N2
N 2 µ0 πr2
=
gr2
R(x)
x + (2r+g)l
Donc,
0
1 dR
1 dL
Fem = − ϕ2
= i2
2 dx
2 dx
⇒ Si la bobine est excitée en tension ou que le flux est constant, on utilise la première
relation :
1 ϕ2
Fem = −
2 µ0 πr2
Gabriel Cormier
5
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CHAPITRE 9. CONVERSION D’ÉNERGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
⇒ Si la bobine est excitée à partir d’une source de courant ou que le relais fonctionne à
courant constant, on utilise la deuxième expression,
1
N 2 µ0 πr2
Fem = − i2 h
i2
2
gr2
x + (2r+g)l
On voit que
F ∝ i2 , ∝
9.3
1
x2
Moteur à réluctance
Soit la machine suivante :
θ
i→
N
Fig. 9.5 – Moteur à réluctance
• Si le courant i est constant (courant DC), le rotor va se positioner pour que R soit
minimale, donc θ = 0.
• Si le courant est sinusoı̈dal (courant AC), et que le rotor tourne déjà, il va continuer à
tourner à la vitesse synchrone égale à la fréquence du courant.
⇒ Moteur à réluctance
• Lorsque le rotor est vertical, le courant est nul, et lorsque le rotor est en position
horizontale, le courant est maximal.
• Lorsque le rotor est en position vertical, il continue de tourner à cause de son inertie
mécanique.
• Lorsque le rotor passe par la position horizontale un couple électromagnétique non nul
est exercé sur celle-ci.
• Ainsi, si on veut calculer le couple électromagnétique τem , il faut d’abord calculer la
réluctance du circuit en fonction de la position angulaire du rotor.
Gabriel Cormier
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CHAPITRE 9. CONVERSION D’ÉNERGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
On peut approximer la réluctance du circuit par :
R(θ) =
Rmin + Rmax Rmin − Rmax
+
cos 2θ
2
2
Le couple qui produira la rotation est
1 dR(θ)
ϕ2
τem = − ϕ2
=
(Rmin − Rmax ) sin 2θ
2
dθ
2
Si la tension aux bornes est
v = Vmax cos ωt = Ri +
dΨ
dt
et qu’on néglige la résistance R (qui est habituellement faible) :
v≈
Donc le flux est
1
ϕ=
N
d’où
τem =
Z
vdt =
dΨ
dϕ
=N
dt
dt
Vmax
sin ωt = ϕmax sin ωt
Nω
ϕ2max
(Rmin − Rmax ) sin2 ωt sin 2θ
2
Si le rotor tourne à vitesse constante, l’angle de rotation est :
θ = ωm t + δ
Donc
dθ
= ωm
dt
On peut substituer, avec des relations trigonométriques, et obtenir
τem =
ϕ2max
(Rmin − Rmax ) {sin[2(ωm t + δ)] − sin[2(ωm t + δ)] cos 2ωt}
4
Puisque
1
sin[2(ωm t + δ)] cos 2ω = {sin 2[(ωm + ω)t + δ] + sin 2[(ωm − ω)t + δ]}
2
le couple est
τem =
ϕ2max
(Rmin − Rmax ){2 sin(ωm t + δ) − sin 2[(ωm + ω)t + δ] − sin 2[(ωm − ω)t + δ]}
8
Gabriel Cormier
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CHAPITRE 9. CONVERSION D’ÉNERGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
En regardant la dernière équation,
• Si ωm 6= ω, le couple moyen = 0.
• Si ωm = ω, le couple moyen est
τemmoy = −
ϕ2max
(Rmin − Rmax ) sin 2δ
8
Pour que la machine à réluctance fonctionne,
ωm = ±ω
ou si la machine a P pôles,
ωm = ±
ω
P
Remarque : si δ ≥ 45◦ , ou 45◦ /P (pour une machine avec P pôles), le moteur décroche
⇒ perd son synchronisme, et le couple moyen devient nul.
Gabriel Cormier
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