PC - TD Révisions de mécanique de sup - e-phyz

PC - T D Révisions de mécanique de sup
Exercice 1
1
Looping
Un skater assimilé à un point matériel M de masse m, se lâche sans vitesse initiale depuis le point A d’une rampe,
situé à une hauteur h au-dessus de O, point le plus bas de la rampe. A partir du point O, la rampe a une forme
cylindrique de rayon a : le skater peut rouler à l’intérieur de ce cylindre en restant dans le plan vertical (Oxy), et
éventuellement faire le tour complet. Le contact est sans frottement sur toute les surfaces.
Figure 1 – Schéma de la rampe
−−→
CM
−
→
→
−
−
→
On note g = −g ey l’accélération de la pesanteur, et on désigne par er =
le vecteur unitaire radial par
CM
rapport au cercle.
1. Déterminer la norme vO de la vitesse du skater lorsqu’il arrive en O.
2. Déterminer la norme vM de la vitesse du skater lorsqu’il arrive en un point M quelconque du cercle repéré par
l’angle θ.
3. Montrer que la réaction exercée par le support cylindrique sur le skater s’exprime :
→
−
2h
→
+ 3 cos θ − 2 −
er
R = −mg
a
→
−
4. Que se passe-t-il si, en un certain point du cylindre, v s’annule alors que R est non nul ? (aucun calcul attendu)
→
−
5. Que se passe-t-il si, en un certain point du cylindre, R s’annule alors que v est non nulle ?
6. Déterminer la valeur minimale que doit avoir la hauteur h pour que le patineur puisse faire un tour complet du
cylindre.
Exercice 2
Mouvement d’une voiture
On considère un véhicule de masse m = 1200 kg, assimilé à un point matériel de masse m, en mouvement rectiligne
horizontal. Sa position est repérée par son abscisse x et on ne considère que les composantes des forces colinéaires au
→
vecteur −
u x directeur de l’axe Ox.
On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
1. L’automobile n’est soumise qu’à l’action de son moteur qui développe une puissance constante P = 75 kW. Elle
part du repos en x = 0. Les frottements sont négligés.
Déterminer, les expressions de la vitesse v(t), de l’accélération a(t) et de l’abscisse x(t) de la voiture au cours du
temps.
2. Déterminer l’expression de x en fonction de la vitesse v.
3. Au bout de quelle distance le véhicule aura-t-il atteint la vitesse de 90 km/h ?
4. La voiture est maintenant soumise, en plus de l’action du moteur, à une force de résistance de l’air de norme
kmv 2 , où k est une constante positive.
(a) En utilisant le théorème de l’énergie cinétique pendant une durée infinitésimale dt, établir l’équation :
dx =
mv 2 dv
P − kmv 3
(b) Intégrer cette équation et exprimer x en fonction de v, sachant que x(0) = 0 et v(0) = 0.
(c) Montrer qu’il existe une vitesse limite v∞ .
(d) Exprimer x en fonction de v et v∞ .
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2
5. On réalise une étude de la situation à l’aide du langage Python (cf. Annexe) L’objectif de cette analyse est
de tracer la vitesse de la voiture en fonction de la distance parcourue depuis le démarrage. Pour cela plusieurs
techniques sont abordées.
(a) Méthode numérique par la fonction odeint
La vitesse de la voiture est tout d’abord approchée par la fonction odeint de la bibliotheque scipy.integrate
qui emploie une méthode de type ≪ méthode d’Euler ≫ (optimisée) pour déterminer une solution numérique
approchée de l’équation différentielle.
dv
= voiture(v, x), puis rédiger la partie de programme
Mettre l’équation précédente sous la forme
dx
définissant la fonction voiture(v,x) utilisée par la suite (ligne 39) comme argument de la fonction odeint.
On prendra soin d’utiliser uniquement les paramètres entrés par l’utilisateur (lignes 31 à 35).
(b) Solution analytique
Déterminer l’expression analytique de v(x) puis rédiger la partie de programme faisant suite à la ligne 25
et définissant la fonction solution utilisée ensuite à la ligne 41.
6. Après l’exécution du programme l’utilisateur a entré les valeurs suivantes :
– Puissance motrice ? (en W) 75000
– Masse de la voiture ? (en kg) 1200
– Vitesse initiale ? (en m/s) 0.01
– Vitesse limite ? (en m/s) 180/3.6
– Distance limite ? (en m) 100
On obtient alors le graphe suivant :
Figure 2 – Graphe obtenu après execution du programme
(a) Justifier pourquoi la vitesse initiale entrée vaut 0,01 m/s
(b) On souhaite comparer les résultats obtenus avec la fonction odeint et avec la fonction euler définie en
ligne 5. Donner la ligne de commande qui permet d’appeler une variable v3 utilisant la fontion euler avec
un pas identique à celui utilisé dans odeint.
(c) Calculer les termes v3[1] et v3[2]. (La condition initiale donne v3[0]=0.01). Commenter.
Exercice 3
Suspension d’une voiture
La suspension d’une voiture est assurée par quatre systèmes supposés identiques et indépendants, montés entre le
châssis et chaque arbre de roue. Ils sont constitués chacun :
– d’un ressort hélicoı̈dal de constante de raideur k = 22 kN et de longueur à vide L0 ;
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3
– d’un amortisseur tubulaire à piston, fixé parallèlement au ressort, exerçant une force de frottement visqueux
→
−
dz →
u z avec µ = 800 SI.
linéaire f = −µ −
dt
Figure 4 – Modélisation de la voiture
Figure 3 – Schéma d’un amortisseur
On suppose que la masse M = 1200 kg de la voiture est toujours également répartie entre les quatre systèmes, de
sorte qu’au niveau d’une roue, le système est équivalent à une caisse de masse m = 300 kg indépendante du reste du
véhicule.
Figure 5 – Modélisation de la suspension au niveau d’une roue
L’origine O du repère est prise au centre de masse G de la caisse lorsque celle-ci est immobile par rapport à l’axe
vertical Oz dans sa position d’équilibre.
−−→
→
On note OG(t) = z(t)−
u z la position du centre de masse de la caisse à l’instant t. dz
La voiture rencontre une bosse à l’instant initial. A cet instant, z(0) = z0 = 5 cm et
= 0.
dt t=0
1. Préciser l’unité de µ.
2. Ecrire l’équation du mouvement vertical de G satisfaite par z(t).
3. Montrer, en utilisant les valeurs numériques, que le mouvement de G est pseudo-périodique.
4. La fonction z(t) étant de la forme z(t) = A exp(−αt) cos(ωt + ϕ), donner l’expression de α en fonction de m et
µ ainsi que l’expression de ω en fonction de µ, m et k.
5. Calculer la valeur numérique de la pseudo-période T du mouvement.
6. Exprimer A et tan ϕ en fonction de z0 , α et ω. Calculer numériquement A et ϕ ;
7. Le réglage des ammortisseurs est modifié. Cela se traduit par une modification de la valeur de µ par rapport à
la situation précédente Avec ce nouveau réglage, le mouvement de la caisse correspond au régime critique.
(a) Quelle est alors la relation entre m, k et µ ? En déduire la nouvelle valeur de µ.
r
k
.
(b) Donner la nouvelle expression de z(t) en fonction de z0 et ω0 =
m
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Exercice 4
4
Portrait de phase
On considère une bille M de masse m, attachée à une extrémité d’un ressort horizontal (de raideur k et de longueur
→
−
→
à vide l0 ) selon l’axe Ox. Elle subit également une force de frottements visqueux f = −h−
v (M ).
A partir de t = 0, on communique à l’autre extrémité A du ressort un mouvement oscillatoire xA (t) = Am cos(ωt).
1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par x(t) = OM (t).
2. Déteminer x(t) en régime permanent.
3. Quelle est la forme de la solution complète de x(t) ?
4. On trace le portrait de phase de cet oscillateur :
Figure 6 – Portrait de phase de l’oscillateur : ẋ (en m/s) en fonction de x(t) (en m)
Quelles informations ce graphe nous apporte-t-il ?
Exercice 5
Satellite circulaire
Dans le référentiel géocentrique (supposé galiléen), un satellite artificiel de masse m se déplace suivant une orbite
circulaire de rayon r = R + h autour du centre de la terre (h étant son altitude par rapport à la surface terrestre). Ce
mouvement peut s’étudier simplement à l’aide du PFD.
1. Montrer que la vitesse v est constante, et donner sa valeur en fonction de G, MT , R et h.
T2
2. En déduire la période T du mouvement, et que la constante 3 est la même pour tous les satellites.
r
3. Exprimer l’énergie cinétique et l’énergie mécanique du satellite ; quelle est la relation simple entre les deux ?
Commenter le signe de l’énergie mécanique.
4. Un satellite est dit géostationnaire s’il est immobile par rapport au référentiel terrestre. Quelle est alors sa
période ? En déduire son altitude h
5. Un satellite est initialement immobile par rapport à la terre, sur une base de lancement située à une latitude λ.
Une fusée lui fournit un travail W pour l’amener sur son orbite avec la vitesse initiale calculée précédemment.
(a) Quelle est l’énergie mécanique du satellite avant son lancement (on n’oubliera pas de tenir compte de la
rotation de la terre) ?
(b) Calculer le travail W que la fusée doit fournir au satellite. Où doit-on placer de préférence la base de
lancement ?
Données : G = 6,67 × 10−11 SI
Exercice 6
MT = 5,97 × 1024 kg
RT = 6400 km
Oscillations d’un cadre
Un solide (S) est constitué de deux tiges homogènes AO et OB, rigidement liées l’une à l’autre, faisant entre elles
un angle constant π2 rad. Chaque tige a pour masse m et pour longueur 2l. (S) peut tourner autour d’un axe horizontal
∆ = (Oz) passant par O.
La liaison en O est une liaison pivot parfaite. Un ressort de masse négligeable, de constante de raideur k, est accroché
à l’une de ses extrémités en A, l’autre extrémité C étant maintenue fixe. Lorsque l’ensemble est en équilibre dans le
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champ de pesanteur supposé vertical et uniforme, AO est horizontal et OB est vertical.
Le moment d’inertie d’une tige de masse m et de longueur 2l, par rapport à un axe perpendiculaire à la tige et qui
passe par une extrémité est donné par : I = 43 ml2
1. Calculer le moment d’inertie de l’ensemble des deux tiges par rapport à l’axe ∆, noté J∆ .
2. Déterminer l’allongement du ressort lorsque le système est à l’équilibre.
3. On se propose d’étudier les oscillations de petit angle θ autour de la position d’équilibre. On pourra de ce fait
considérer que la force exercée par le ressort sur le solide reste verticale pendant tout le mouvement.
(a) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par θ. Montrer que le mouvement est sinusoı̈dal de pulsation
ω0 . Donner l’expression de la période en fonction de m, g, k, l et J∆ .
(b) Calculer la période des petites oscillations sachant que m = 0,1 kg, l = 0,1 m, g = 9,8 ms−2 et k = 12 Nm−1
Exercice 7
Trajectoire d’une comète
La Terre décrit autour du Soleil (de centre S) une orbite pratiquement circulaire de rayon r0 = 1,5 × 108 km à la
vitesse vT = 30 km · s−1 .
Une comète C passe extrêmement près du Soleil : distance au périhélie rp = αr0 avec α = 5 × 10−3 .
1. En considérant que l’orbite de la comète est parabolique, calculer la vitesse maximale de la comète par rapport
à S.
rp
2. Des mesures plus précises ont montré qu’en fait l’orbite de la comète est elliptique de demi grand axe a =
x
avec x = 10−4 (x ≪ 1). Jusqu’à quelle distance ra , la comète s’éloigne t-elle du Soleil ?
3. En déduire sa période de révolution.
Données : Ms = 1,99 × 1030 kg
Exercice 8
Le coup franc
Le 8 décembre 2009 Cristiano Ronaldo marque un coup franc de 33 m face à Marseille. Le ballon passe au-dessus
du mur (situé à 9,15 m du tireur) pour aller se retrouver dans la lucarne (sous la barre transversale du but, à 2,44 m
de hauteur).
Figure 7 – A quelques secondes du but
Evaluer la vitesse du ballon
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ANNEXE : Mouvement d’une voiture
1
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5
6
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54
import numpy a s np
from s c i p y . i n t e g r a t e import o d e i n t
import m a t p l o t l i b . p y p l o t a s p l
def e u l e r ( f , a , b , y0 , pas ) :
””” R e s o l u t i o n d ’ une e q u a t i o n d i f f e r e n t i e l l e par methode d ’ E u l e r \n
I l f a u t d e f i n i r au p r e a l a b l e une f o n c t i o n du t y p e y ’= f ( y , t )\ n
e n t r e e s : f , t i n [ a , b ] , y0=c o n d i t i o n i n i t i a l e , pas ”””
y=y0
t=a
l i s t e y =[ y0 ]
l i s t e t =[a ]
while t+pas<=b :
y=y+pas * f ( y , t )
l i s t e y . append ( y )
t=t+pas
l i s t e t . append ( t )
return l i s t e t , l i s t e y
def v o i t u r e ( v , x ) :
””” Equ at ion du 1 e r o r d r e : dv / dx=v o i t u r e ( v , x ) ”””
def s o l u t i o n ( x ) :
””” S o l u t i o n a n a l y t i q u e de v=f ( x ) ”””
#Les e n t r e e s
P=f l o a t ( input ( ” P u i s s a n c e m o t r i c e ? ( en W) ” ) )
m=f l o a t ( input ( ” Masse de l a v o i t u r e ( en kg ) ” ) )
v0=eval ( input ( ” V i t e s s e i n i t i a l e ? (m/ s ) ” ) )
v i n f t y=eval ( input ( ” V i t e s s e l i m i t e ? (m/ s ) ” ) )
d=f l o a t ( input ( ” D i s t a n c e d ’ o b s e r v a t i o n ( en m) ” ) )
x=np . l i n s p a c e ( 0 , d , 1 0 0 )
#R e s o l u t i o n par o d e i n t
v1=o d e i n t ( v o i t u r e , v0 , x )
#S o l u t i o n a n a l y t i q u e
v2=s o l u t i o n ( x )
#A f f i c h a g e du g r a p h e
pl . fi g u r e (1)
p l . p l o t ( x , 3 . 6 * v1 , ’ bˆ ’ , l a b e l=” o d e i n t ” )
p l . p l o t ( x , 3 . 6 * v2 , ’ r− ’ , l a b e l=” s o l u t i o n ” )
p l . l e g e n d ( l o c= ’ upper l e f t ’ )
pl . grid ()
pl . axhline ()
pl . axvline ()
p l . x l a b e l ( ’ $ x $ en $m$ ’ )
p l . y l a b e l ( ’ $ v $ en $km/h $ ’ )
p l . t i t l e ( ’ $ v=f ( x ) $ ’ )
p l . show ( )
6