Cours d`introduction aux Travaux Pratiques de Physique Nucléaire 3

Cours d’introduction aux Travaux Pratiques
de Physique Nucléaire 3ème année
1. Structure de la matière
2. Radioactivité
3. Interactions Rayonnement-Matière
4. Application : détecteur à scintillations
5. Statistique
Responsable : Silvia Ansermet
Assistants :
Rey Martin
Bettler Marc-Olivier
Zwahlen Nicolas
Potterat Cedric
Structure de la matière
Echelle Terre-Soleil ≡ Echelle atomique
Atome = Noyau + Electrons =⇒ VIDE !
Noyau = Protons + Neutrons (nucléons)
On caractérise un noyau par :
Z:
le nombre de protons
N:
le nombre de neutrons
A = Z + N : le nombre de nucléons
−→ Notation :
Rayon : Rnoyau ' r0A1/3
A
ZX
où r0 = 1.4 × 10−15m = 1.4 Fermi = 1.4 f m
Volume : Vnoyau ' 34 πr03A =⇒ Volume/nucléons constant
Densité volumique : ρnoyau ∼ 1018 kg/m3 soit 1015 supérieure à ρmatière
On classe les éléments chimiques dans le tableau de Mendeleı̈v :
Si 2 noyaux ont :
le même nombre de protons ( Z )
: ISOTOPES
210
(208
82 Pb et 82 Pb ou
le même nombre de neutrons ( N ) : ISOTONES
16
(14
6 C et 8 O)
le même nombre de nucléons ( A ) : ISOBARES
60
(60
27 Co et 28 Ni)
12
6 C
et
14
6 C)
Masses de quelques particules :
Depuis 1960, unité de masse : 1 u.m. = 1/12 M12C = 1.66×10−27 kg
6
Principe d’équivalence énergie-masse E=mc2 d’une particule au repos :
1 eV = 1.6×10−19 J ⇒ 1 eV/c2 = 1.78×10−36 kg
L’électron-volt (eV) et ses multiples de 1000 (keV, MeV, GeV) sont
également utilisés en physique nucléaire.
Par abus de langage : eV/c2 → eV
kg
u.m.
MeV
électron
e−
9.109×10−31 5.48597×10−4 0.511007
proton
p
1.672×10−27
1.007277
938.258
neutron
n
1.674×10−27
1.008665
939.551
2p + 2n 6.642×10−27
4.001506
3727.323
α
Parallèle ATOME–NOYAU :
Les électrons de l’atome peuvent être placés sur des couches ayant des
niveaux énergétiques différents ⇒ Energie de liaison.
Même image pour le noyau : on peut définir des niveaux d’énergie dans
le noyau et placer les nucléons sur les niveaux d’énergie.
MAIS
Les ordres de grandeur des énergies sont différents :
Atome
eV – keV
Eionisation (H)=13.6 eV
Noyau
10 keV – MeV
Eliaison (nucleon) ∼ 8 MeV
Dans le cas des ATOMES comme dans celui des NOYAUX, l’état le plus
stable, cad de plus faible énergie, est appelé état fondamental
ATOME EXCITE ⇐⇒ NOYAU EXCITE/INSTABLE
Un atome excité va vers un état plus stable en émettant un photon
Un noyau excité ou instable va vers un état plus stable en émettant
une ou plusieurs particules : radioactivité (α, β, γ)
Radioactivité
3 types de radioactivité : α, β et γ
Le noyau (instable) se désintègre (ou se désexcite) → noyau plus stable +
émission de particule(s)
• Radioactivé γ :
A ∗
ZX
−→A
Z X+γ
Schéma de désexcitation (57Fe) :
Les photons émis sont monoénergétiques −→ spectre discret
• Radioativité β :
C’est la désintégration la plus répandue
Due à l’interaction faible
Elle intervient entre isobares
β − : n −→ p + e− + ν̄
A
ZX
−
Y
+
e
+ ν̄
−→A
Z+1
β + : p −→ n + e+ + ν
A
ZX
! Uniquement dans un noyau !
+
−→A
Y
+
e
+ν
Z−1
EC : p + e− −→ n + ν
A
ZX
+ e− −→A
Z−1 Y + ν
EC (capture électronique) : absorption d’un e− par le noyau
Le spectre en énergie des β est continu, car c’est une désintégration
à 3 corps.
Une désintégration β est souvent accompagnée d’une émission de γ, car le
noyau produit peut se trouver dans un état excité
Schéma de désintégration (60Co) :
60
27
E
Co
5.2 a
β
−
99%
Z
0.12%
2.505 MeV
γ
1.33 MeV
0.7 ps
γ
60
28
Le
60
Ni
Co se désintègre dans 99% des cas en émettant un e− de 314 keV
Le noyau fils est un 60Ni excité qui va retourner dans son état fondamental
en émettant 2 photons (de 1.173 MeV et 1.332 MeV)
• Radioativité α :
Elle concerne les noyaux lourds (A>150)
A
ZX
4
−→A−4
Z−2 Y +2 He
Schéma de désintégration :
α
241
95
Am
458 a
12.8%
80 ps
103 keV
E
γ
22%
85.2%
78%
68.3 ns
59.5 keV
γ
6%
33.2 keV
γ
94%
237
93
Np
Z
Activité d’une source radioactive
Pour 1 noyau, la probabilité de se désintégrer dans un intervalle de temps
dt est λdt
λ est le taux de désintégration
Dans un ensemble de N noyaux, le nombre de noyaux qui se sont désintégrés
durant dt est : −dN = λN dt
⇒ dN/N = −dt/λ
Le nombre de noyaux radioactifs (qui ne se sont pas encore désintégrés) au
temps t est
N (t) = N0e−λt
où N0 est le nombre initial de noyaux radioactifs.
On definie l’activité d’une source comme étant le nombre moyen de désintégration par unité de temps :
A = −dN/dt = λN (t) = A0e−λt
Unité de mesure :
1 Becquerel (Bq) =
1 désintégration/s
1 Curie (Ci)
= 3.7×1010 désintégration/s
Ex : sources utilisées en TP : 1 µCi – 1 mCi
Durée de vie
C’est la moyenne des temps de vie d’un grand ensemble de noyaux :
τ = 1/λ
La période t1/2 est le temps au cours duquel la quantité d’un ensemble N0
de noyaux radioactifs diminue de moitié
N (t1/2) = N0/2 = N0e−λt1/2
t1/2 = ln 2/λ = 0.693/λ
t1/2 est aussi appelée période de demi-vie.
Ex :
Noyau
t1/2
238
4.5×109 ans
1600 ans
27 ans
5.26 ans
270 jours
5.1 jours
3×10−7 s
U
226
Ra
137
Cs
60
Co
57
Co
210
Bi
212
Po
Interactions Rayonnement-Matière
Les mesures de physique nucléaire nécessitent de détecter les particules :
– soit pour compter les particules (compteur Geiger)
– soit pour mesurer des quantites physiques
(énergie, impulsion (direction), charge)
Détecter une particule
=
Utiliser ses propriétés d’interaction avec la matière
Toute particule qui traverse un bloc de matière va subir des interactions avec les atomes du milieu
→ conduit à une perte d’énergie (∆E) de la particule incidente
Le type de l’interaction va dépendre du type de la particule incidente
La perte d’énergie va dépendre de la particule incidente et des caractéristiques
de la matière traversée
Interaction ⇒ Perte d’énergie ⇒ Signal
Signal = courant, tension, lumière, chaleur
Si l’on veut mesurer l’énergie d’une particule, alors il faut que
Signal ∝ ∆E
La majorité des détecteurs donnent un signal proportionnel à l’énergie perdue (ex. de cas contraire : le compteur Geiger)
Perte d’énergie par unité de longeur dans une collision (⇒ ionisation ou
excitation de l’atome)entre une particule incidente quelconque (de charge
zin e et de masse Min ) avec les électrons du milieu (de charge e et de masse
me ) :
−
dE
dx
!
coll
"
2m γv 2W 2ζ
e
max
2
2 Z zin
2
= 2πNare mec ρ
ln
−
2β
−
δ
−
Aβ
I2
Z
exprimée MeV/cm et où :
Na : nombre d’Avogadro
re : rayon classique de l’électron (2.817 · 10−15 m)
ρ : densité du matériau
A : poids atomique du matériau
Z : nombre atomique du matériau
β : v/c de la particule incidente
γ : (1 − β 2)−1/2
Wmax : transfert maximal d’énergie lors d’une collision
2me c2 η 2
p
Wmax =
1 + 2s 1 + η 2 + s2
avec s = me /Min et η = βγ
I : potentiel d’excitation moyen
I
7
Z = 12 + Z eV pour Z < 13
I
= 9.76 + 58.8Z −1.19 eV pour Z ≥ 13
Z
δ : correction de densité
ζ : correction de couches (électroniques)
#
Perte d’énergie des e− et e+
• Par collision avec les électrons du milieu
• Par radiation due à la décélération des e− /e+ incidents dans le champ
électrique des noyaux
dE
dx
!
=
tot
dE
dx
!
+
collision
dE
dx
!
radiation
Perte par collision :
)
( dE
varie avec l’énergie de la particule et est proportionnelle
dx collision
à Z
−→ décroissance en 1/β 2 → minimum (minimum d’ionisation)
−→ croissance logarithmique pour atteindre un plateau
=⇒ Perte d’énergie est max pour les particules de faible énergie
Perte par radiation (bremsstrahlung) :
Emission d’un photon via une interaction électromagnétique avec les
noyaux du milieu → la particule est ralentie
Si k est l’énergie du photon émis, alors la section efficace différentielle
de radiation (∼ probabilité pour qu’une particule émette un photon
d’énergie k) pour une particule quelconque est :
dσ
dk
!
2
rad
5e 4 2 mc
'
z Z
~c in
Minv
!2
re2 Minv 2γ 2 ln
k
k
2
La section efficace dépend de 1/Min
⇒ Mµ2/Me2 ∼ 40000
=⇒ Le bremsstrahlung affecte les particules légères comme les
électrons ou les positrons
!
i
h ρ
dE
−1/3
+ 1/18
−
= 4Na Eiσ0 ln 183Z
dx
A
rad
où σ0 = Z 2re 2e2/~c et Ei est l’énergie de l’e−/e+ incident
=⇒ Perte d’énergie est proportionnelle à Z 2 du matériau et à l’énergie
de la particule incidente
=⇒ Plus la matère traversée a un Z élevé, plus la perte d’énergie
sera élevée
=⇒ Plus la particule incidente a une énergie élevée, plus la perte
d’énergie sera élevée
Rapport radiation/collision :
! ,
!
dE
dE
dx
dx
rad
=
coll
ZEi
1600mec2
=⇒ La perte d’énergie par collision/radiation est dominante pour les
e− /e+ de faible/haute énergie
Energie critique :
Energie pour laquelle
dE
dx
rad
=
→ Ecrit
dE
dx
coll
1600mec2
'
Z
Longueur de radiation Lrad :
Distance pour laquelle un e− /e+ voit son énergie diminuée par radiation
d’un facteur e
Matériau Energie critique(MeV) Longueur de radiation(cm)
Air
102
30050
H2 O
92
36.1
Al
51
8.89
Fe
27.4
1.76
Cu
24.8
1.43
Pb
9.51
0.56
Annihilation des positrons :
e+ + e− −→ γ + γ
Probabilité max : pour un e+ au repos → 2 γ de 0.511 MeV
Interaction des photons avec la matière
• Effet photoélectrique
• Diffusion Compton
• Création de paires
• Autres interactions
Effet photoélectrique :
Le photon (Eγ = hν) est absorbé par un électron atomique.
L’atome est ionisé si Eγ > Eliaison
→ électron libre d’énergie Ee = Eγ − Eliaison
Effet proportionnel à Z 4/Eγ3.5
→ décroit quand Eγ croit
→ effet d’autant plus grand que la matière a un Z élevé
Diffusion Compton :
Diffusion d’un photon sur les électrons du milieu
A chaque diffusion le photon perd une partie de son énergie
(transmise à l’e−) T = hν − hν 0
hν 0 =
hν
1+ε(1−cosθ)
où ε = hν/me c2
→ la perte d’énergie est maximale quand θ = π
La section efficace est proportionnelle à Z et inversement proportionnelle
à Eγ
Création de paires :
Si Eγ > 2me ⇒ le photon se “désintègre” en e− et e+
La section efficace de création de paires e− e+ est indépendante de l’énergie
du photon si Eγ > 2me et est proportionnelle Z 2
Autres interactions :
Diffusion de Rayleigh :
diffusion des γ sur des e− atomiques
sans exciter ou ioniser l’atome
Absorption photonucléaire γ absorbé par le noyau.
Fréquemment accompagné par l’émission
d’un neutron
Coefficient d’absorption
Si on a un faisceau de N photons, le nombre de γ absorbées
dans une épaisseur dx de matière est :
dN = −µN dx
où µ est le coefficient d’absorption
Le nombre de γ à la sortie d’un matériau d’épaisseur x sera :
N = N0 e −µx
où N0 est le nombre initial de γ
Le coefficient d’absorption µ est la somme des sections efficaces de
toutes les interactions × la densité d’atomes de la matière
De ce fait, µ est aussi appelé probabilité par unité de longueur pour une
interaction
On définie le libre parcours moyen d’une particule comme 1/µ
Application : détecteur à scintillations
TP : crystal scintillant NaI + Photomultiplicateur + Chaı̂ne d’électronique
→ SIGNAL (tension) ∝ ∆E
Détecteur à
scintillations
C
G
NaI
PM
A
S
AM
source
dt
NaI
PM
A
S
G
dt
AM
Cristal scintillant
Photomultiplicateur
Amplificateur
Selecteur d’amplitude
Générateur d’une fenêtre temporel
Unité de retard
Analyseur multi−canal
Crystal scintillant : absorbe l’énergie en la réemettant sous forme lumineuse
Caractéristiques d’un scintillateur :
Le rendement de scintillation : η
La longeur d’onde des photons : λ (entre 350 et 500 nm)
Temps de réponse rapide
Constante de décroissance lumineuse : τd
(N = N0/τde−t/τd avec τd < 5 ns)
Photomultiplicateur :
convertir la lumière en signal électrique
Caractéristiques :
Rendement quantique de la cathode : ε (∼ 15%)
= Proba qu’un γ produise un e−
Facteur de collection (espace de focalisation) : f (∼ 90%)
Multiplicateur (dynodes) : n (de 10 à 15)
Facteur d’émission secondaire : d dépend de la nature
des dynodes et du potentiel
Gain du multiplicateur : G = dn (∼ 105 − 108)
Résolution du détecteur :
Fluctuations de dE/dx
⊕
Fluctuations de la collection des γ
sur la photocathode
⊕
Fluctuations de l’émission des photoélectrons
⊕
Fluctuations de l’émission des électrons secondaires
des dynodes
=
Fluctuations de la mesure de l’énergie
des particules incidentes
Pour un faisceau de particules monoénergétiques (dans un détecteur ∞)
→ pic centré autour de Vm
et de largeur à mi-hauteur FWHM
La résolution du détecteur est
R = FWHM/Vm = 2.35 σV /Vm
où σV /Vm =
r
d
E
× f ηε
d − 1 hv
Détecteur de taille ∞
Détecteur de petite taille
Dans les conditions du TP
Règles élémentaires à suivre dans le labo
Radioactivité = Danger pour les être vivants
PRUDENCE
Mais pas de panique !
Les sources utilisées sont
– scellées
– de faible activité (=< 1 mCi)
– placées dans des enceintes de plomb
Dose de rayonnement admise : 25 mSievert/an
=⇒ 0.025 mSievert/h de travail
Avec une source de
60
Co de 1 mCi à une distance de 1 m, la dose est de
0.013 mSievert/h
Recommandations :
• Limiter le temps d’exposition
• Réduire les doses (en tenant la source éloignée du corps et
en utilisant les protections de plomb)
• Toujours ranger la source dans son container de plomb après utilisation
• Ne pas fumer, boire ou manger dans la salle de TP
Statistique
La distribution d’une quantité physique mesurée plusieurs fois suit en
général une des lois suivantes :
• Loi binomiale
• Loi de Poisson
• Loi de Gauss
Appelons cette quantité X et donnons lui le nom de variable aléatoire
Cette variable peut être de type
ou
discret
continu
de valeur
xi, i = 1, 2, ...N
x
Densité de probabilité de la variable X :
P (X = xi) = pi
f (x)
(f (x) definie et dérivable sur [−∞, +∞])
Fonction de distribution F (x) :
F (x) =
X
xi <x
pi
F (x) =
Z
x
f (x0)dx0
−∞
∞
X
Z
pi = 1
i=1
+∞
f (x)dx = 1
−∞
Probabilité pour que X ait une valeur entre a et b (a < b) :
P (a ≤ X ≤ b) =
xi ≤b
X
pi
P (a ≤ X ≤ b) =
xi ≥a
Z
b
f (x)dx
a
Moments :
Le nème moment de X par rapport à l’origine est définie comme :
n
E(X ) =
∞
X
xnipi
n
E(X ) =
i=1
Z
+∞
xnf (x)dx
−∞
Valeur moyenne : estimation de la valeur vraie
< x >=
∞
X
xi p i
< x >=
i=1
−→ < x >= E(X)
Z
+∞
xf (x)dx
−∞
Variance ou écart quadratique moyen :
Déviation par rapport à la moyenne
σ 2 = E (X− < x >)2
= E(X 2)− < x >2
= < x2 > − < x >2
σ (σ ≥ 0) est appelée déviation standard de X
Loi binomiale
Processus de type “pile ou face”. Chaque épreuve a une probabilité q et
est indépendante des autres épreuves.
PN (X = x) =
q x(1 − q)N −xN !
x!(N − x)!
où N est le nombre d’événements, x le nombre de succès (donc N − x le
nombre d’échec)
Moyenne : < x >= qN
Variance : σ 2 = N q(1 − q)
Ex : si on lance 7× un dé à 6 faces, quelles est la probabilié d’obtenir un
six : 0×, 1×, 2×, 3× et 5× ?
N =7
x = 0, 1, 2, 3, 5
q = 1/6
P7(0) = 0.279
P7(1) = 0.391
P7(2) = 0.234
P7(3) = 0.078
P7(5) = 0.002
On obtient en moyenne 1.167 six et la variance est de 0.972
→ écarts importants par rapport à la valeur moyenne
Pour N grand et q petit −→ distribution de Poisson
Loi de Poisson
P (X = x) =
e−µµx
x!
Moyenne : < x >= µ
Variance : σ 2 = µ
Les processus de désintégration nucléaire suivent une loi de Poisson.
70
µ=12
60
50
40
30
20
10
0
5
10
15
20
Distibution du nombre de desintegrations par seconde
Distribution (théorique) du nombre d’événements mesurés toutes les secondes pendant 10 mn d’une source ayant en moyenne 12 désintégrations α
par seconde.
Pour µ grand −→ distribution de Gauss (ou normale)
Loi de Gauss
P (X = x) =
1
2
2
√ e−(x−µ) /2σ
σ 2π
Moyenne : < x >= µ
Variance : σ 2
Largeur à mi-hauteur : FWHM = 2.35σ
0.8
µ=0
0.7
σ=0.5
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
-2
-1
0
1
2
Intervalle de confiance :
x ± σ : 68% de prob. qu’il contient la valeur vraie
x ± 2σ : 95.5%
x ± 3σ : 99.7%
3
Théorème central limite
Soit N variables aléatoires indépendantes Xi caractérisées par la même loi
de distribution de moyenne m et de variance σ 2. On peut former la variable
aléatoire suivante :
A=
N
X
Xi
i=1
N
Si N est grand alors la loi de distribution de A tend vers une loi de Gauss
de moyenne m et de variance σ̂ 2 = σ 2/N
Propagation des erreurs
Il arrive que l’on soit amener à mesurer une quantité (par ex. u) en
mesurants d’autres quantités (u = f (x, y)). Sur chaque quantité, il
y a une erreur de mesure (x ± σx, y ± σy ).
La question est : quelle est la valeur de σu ?
2
2
σu = E (u− < u >) , < u >= f (< x >, < y >)
Au 1er ordre :
u− < u >' (x− < x >)∂f /∂x + (y− < y >)∂f /∂y
2
' E (x− < x >)2(∂f /∂x)2
E (u− < u >)
+(y− < y >)2(∂f /∂y)2
+2(x− < x >)(y− < y >)(∂f /∂x)(∂f /∂y)
2
= (∂f /∂x) E (x− < x >)
2
+(∂f /∂y)2 E (y− < y >)2
+2(∂f /∂x)(∂f /∂y)E (x− < x >)(y− < y >)
On définie la covariance cov(x, y) comme E (x− < x >)(y− < y >)
cov(x, y) = E (x− < x >)(y− < y >)
= E xy − < x >< y >
σu2 = (∂f /∂x)2σx2 + (∂f /∂y)2 σy2 + 2(∂f /∂x)(∂f /∂y)cov(x, y)
Si x et y sont deux variables indépendantes alors
E xy = E(x)E(y)
⇒ cov(x, y) = 0
De façon générale, si u = f (x1, x2, ..., xn) alors
σu2
=
n
X
(∂f /∂xi )2σi2
i=1
X ∂f ∂f
+2
cov(xi, xj )
∂x
∂x
i
j
i<j
Quelques exemples :
u = x + y ⇒ σu2
= σx2 + σy2 + 2cov(x, y)
u = x − y ⇒ σu2
= σx2 + σy2 − 2cov(x, y)
u = x × y ⇒ σu2 /u2 = σx2 /x2 + σy2/y 2 + 2cov(x, y)/xy
u = x/y
⇒ σu2 /u2 = σx2 /x2 + σy2/y 2 − 2cov(x, y)/xy
Ajustement de paramètres
Rechercher les paramètres d’une courbe théorique qui suit les
points mesurés
Méthodes des moindres carrés
Supposons que l’on ait mesuré n points xi
On détermine yi à partir des xi. Les erreurs sur yi sont σi
On veut déterminer les paramètres a1, a2, ...an de la fonction théorique
f (x; a1, ..., an)
−→ on cherche les paramètres qui minimisent la quantité S :
S=
n
X
(yi − f (xi; ak ))2
σi2
i=1
y
Courbe théorique
σi
Points mesurés
Yi
f(Xi ,ak )
Xi
Il faut résoudre :
∂S/∂ak = 0
x
L’erreur sur les ak est donnée par la matrice covariante
(ou matrice d’erreur) V :
1
(V −1)ik = ∂ 2S/∂ai∂ak =
2

σ12
cov(1, 2) cov(1, 3) ...





 cov(2, 1) σ 2
cov(2, 3) ... 


2






 cov(3, 1) cov(3, 2) σ32
... 




...
...
...
...
Si les xi,i(i=1,...,n) sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes et si les ak sont k paramètres indépendants alors S suit
une loi de distribution de χ2 à ν = n − k degrés de liberté
χ2 ≡ S
Si les xi ne sont pas indépendantes (reliées par c relations
algébriques) alors ν = n − c − k
La densité de probabilité de χ2 est :
z nu/2−1 e−z/2
f (z, ν) = ν/2
2 Γ(ν/2)
La probabilité pour que χ2 > z est donnée par :
Z ∞
SL(χ2) =
f (z, ν)dz = 1 − F (z, ν) = α
χ2
Moyenne : < χ2 >= ν
Variance : σ 2 = 2ν
Souvent utilisé : χ2/ν −→ ∼ 1
On calcule rarement α. On utilise une tabulation
Si ν = 10 alors une valeur de χ2 > 18 est attendu dans 5% des cas
Exemple d’ajustemenent : droite de régression
y = f (x) = ax + b
n mesures (x1, y1), ..., (xn, yn ) avec les erreurs σi sur les yi
Minimisation de S :
S=
n
X
(yi − axi − b)2
i=1
⇒
σi2
P
∂S/∂a = −2 (yi − axi − b)xi/σi2 = 0
P
∂S/∂b = −2 (yi − axi − b)/σi2 = 0
En posant :
P
A = (xi/σi2)
P 2 2
D = (xi /σi )
P
B = (1/σi2)
P
E = (xiyi /σi2)
⇒
P
C = (yi /σi2)
P 2 2
F = (yi /σi )
−E + aD + bA = 0
−C + aA + bB = 0
Soit
a = (EB − CA)/(DB − A2)
b = (DC − EA)/(DB − A2)
Calcul des erreurs sur a et b :
Construite la matrice covariante V :

V −1 = 
A11 A12
A21 A22


A11 = 12 ∂ 2S/∂ 2a
A22 = 12 ∂ 2S/∂ 2b
A12 = 12 ∂ 2S/∂a∂b = A21
Donc :
σ 2 (a)
= A22/(A11A22 − A221)
= B/(BD − A2)
σ 2 (b)
= A11/(A11A22 − A221)
= D/(BD − A2)
cov(a, b) = −A12/(A11A22 − A221) = −A/(BD − A2)
Pondération des résultats
Supposons 2 lots de mesures d’une même quantité z :
z1 =
z2 =
n
X
i=1
m
X
xi/n
xi/m
j=i
La quantité z est :
<z> =
n+m
X
i=1
xi
n+m
=
nz1 + mz2
n+m
6=
z1 + z 2
2
En généralisant, si on a N mesures de z, chaque zi ayant un poids wi ,
on a :
< z >=
N
X
wi z i
i=1
N
X
wi
i=1
Ajoutons maintenant une erreur sur chaque zi : ∆zi
Que doit valoir wi pour avoir la meilleure estimation de z ?
On suppose que chaque zi est la valeur moyenne de ni mesures
décrivant une loi de distribution d’ erreur standard σ :
√
∆zi = σ/ ni
Les poids valent alors :
wi = ni = σ 2/∆zi2
L’erreur sur < z > est
σ
pP
Ainsi :
ni
1
(1/∆zi)2zi
pP
±
< z > ±∆z = P
(1/∆zi)2
(1/∆zi)2
P
Exemple de mesure
Comptage de rayons cosmiques toutes les 10 secondes
On effectue 400 mesures (= N ).
On répartit les mesures dans un histogramme (ou tableau) → donne le
nombre de fois (k) où on a mesuré 0, 1, 2, ..., n rayons cosmiques durant
la durée de 10 s.
On s’attend à ce que l’histogramme suive une loi de Poisson.
Vérification :
La distribution attendue est :
e−µµk
P (k) = N
k!
Paramètres : N et µ
N est le nombre total de mesures : 400
µ est le nombre moyen de rayons cosmiques/10s : 6.38
80
Données
Théorie
σ théorique
70
N=400
µ=6.38
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Nb de Rayons Cosmiques / 10s
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Total
Expérience (Nexp )
0
2
16
30
44
62
71
61
42
28
24
13
2
3
2
0
0
400
Théorie (Nth )
0.7
4.3
13.8
29.3
46.8
59.7
63.5
57.9
46.2
32.7
20.9
12.1
6.4
3.2
1.4
0.6
0.2
399.9
2
(Nmes − Nth )2/σth
0.7
1.2
0.35
0.02
0.17
0.09
0.89
0.17
0.38
0.68
0.46
0.07
3.03
0.01
0.26
0.6
0.2
9.28
Nombre de degrés de liberté : ν = Nk − 2 = 15
Pour χ2 = 9.28 et ν = 15, P ∼ 0.86 → si on rejette l’hypothèse, on sait
qu’on rejette une hypothese juste dans 86% des cas.
Ou, si on prend la limite des 5% : Pour ν = 15, P ≤ 5% si χ2 ≥ 25.
En d’autre terme, on peut considérer le test comme satisfaisant