Chapitre 5 Les d´eveloppements limit´es

Chapitre 5
Les développements limités
Soit f une fonction numérique réelle définie sur un voisinage de x0 , dérivable en
x0 ; localement, son graphe diffère peu de sa tangente au point (x0 , f (x0 )) et l’on
peut écrire, pour u ”petit” : f (x0 + u) ' f (x0 ) + uf 0(x0 ).
Le second membre est donc un polynôme du 1er degré en u appelé linéarisation
de la fonction f en x0 : par exemple, la linéarisation de sin x en x0 = 0 est L(x) = x ;
1
est L(x) = 1 + x.
toujours en 0 celle de
1−x
Plus généralement, une fonction numérique f définie sur un voisinage de x0 étant
donnée, on se propose de déterminer, avec une précision fixée, le polynôme qui
approche le mieux cette fonction dans ce voisinage ; en effet les polynômes sont
les fonctions les plus simples et on peut calculer leurs valeurs exactes.
Le point de départ de ce développement est le
Théorème des accroissements finis : Soit f une fonction réelle continue sur [a, b]
et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe au moins une valeur ξ ∈]a, b[ telle que
f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (ξ).
Autrement dit au point (ξ, f (ξ)) la tangente au graphe de f est parallèle à la corde.
A. Considérons d’abord le cas où f est elle même une fonction polynôme P de
degré n : P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
On a :
P (0) = a0
P 0(0) = a1
P 00(0) = 2a2
............
P (n) (0) = n! an ,
soit en remplacer a0 , a1 , . . . , an par leur valeur dans P (x) :
(1)
34
P (x) = P (0) + P 0 (0)x + P 00 (0)
x2
xn
+ · · · + P (n) (0)
2!
n!
Cette égalité est appelée formule de Taylor (Brook Taylor 1685-1731), à l’ordre n, en
zéro, pour la fonction polynôme P de degré n.
B. Considérons maintenant le cas où f est une fonction n fois dérivable sur un
intervalle ouvert I contenant 0. Pour x ∈ I soit Pn la fonction polynôme construite
à partir de f :
Pn (x) = f (0) + f 0 (0)x + f 00 (0)
xn
x2
+ · · · + f (n) (0)
2!
n!
Nous observons que :
Pn (0) = f (0),
Pn0 (0) = f 0 (0),
...,
Pn(n) (0) = f (n) (0).
Les fonctions Pn et f , ainsi que leurs dérivées, sont égales jusqu’à l’ordre n en x = 0.
Appliquons alors le théorème des accroissements finis n fois successivement à la
différence f (x) − Pn−1 (x) ; on obtient :
f (x) = f (0) + f 0 (0)x + f 00 (0)
x2
xn−1
xn
+ · · · + f (n−1) (0)
+ f (n) (ξ)
2!
(n − 1)!
n!
Cette formule de Taylor obtenue en xo = 0 est aussi appelée formule de Maclaurin
pour f à l’ordre n − 1. ( Colin Maclaurin 1698-1746 )
En d’autres termes, au voisinage de 0 le “comportement” de f est “très proche”
de celui de la fonction polynôme Pn−1 qui lui est associée. De façon plus précise :
Théorème. Soit f une fonction réelle définie et dérivable n fois sur [0, x] et telle que
|f (n) (ξ)| < M pour tout ξ ∈ [0, x]. Alors,
n−1
xn
(n−1)
≤
f (x) − f (0) − · · · − x
f
(0)
M
(n − 1)!
n!
L’erreur absolue commise en prenant la partie polynomiale pour valeur approchée de f (x)
xn
est inférieure à M.
n!
1
x3
Exemple. f (x) =
= 1 + x + x2 + f (3) (ξ) avec ξ ∈ I = [0, 0.1]
1−x
3!
6
−6
|=
Majorons |f (3) (ξ)| ≤ sup |
4
0.94
x∈I (x − 1)
qui donne
|f (x) − P2 (x)| ≤
0.13 6
< 0.0016
3! 0.94
1
= 1 + 0.1 + 0.01 à 2.10−3 près
1 − 0.1
1
ou encore
= 0.110 ± 2.10−3
0.9
donc
35
C. Si de plus f (n) est continue en 0, il existe une fonction ε telle que
f (x) − Pn (x) = xn ε(x) avec lim ε(x) = 0.
x→0
On obtient le développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de f :
f (x) = f (0)+f 0(0)x+f 00 (0)
x2
xn
+· · ·+f (n) (0) +xn ε(x)
2!
n!
avec lim ε(x) = 0
x→0
On note DLn v(0) ce développement limité de f à l’ordre n au voisinage de 0.
x
x2
xn
+
+···+
+ xn ε(x)
1! 2!
n!
est le DLn v(0) de ex puisque (ex )(n) (0) = 1. On a représenté fig.5.1 le graphe
de ex et de ses différents développements d’ordres 1,2,3 et 4 en 0.
sin x − x
à l’aide du DL3 v(0) de
2o Nous allons étudier en 0 la fonction x 7−→
x3
sin x. Posons f (x) = sin x et dérivons :
Exemples. 1o ex = 1 +
f 0 (x)
=
cos x
f 0 (0)
=
1
f 00 (x)
= − sin x
f 00 (0)
=
0
f (3) (x) = − cos x
f (3) (0) = −1,
d’où
x3
x2
(3)
sin x = f (0) + f (0)x + f (0) + f (0) + x3 ε(x)
2!
3!
x3
= x−
+ x3 ε(x),
avec lim ε(x) = 0.
x→0
6
On obtient finalement
3
x − x6 + x3 ε(x) − x
1
sin x − x
= lim
= − = − 0, 16666666 . . .
lim
3
3
x→0
x→0
x
x
6
0
00
Pour x = 0.001, la valeur trouvée par la calculatrice est −0, 1666666600 . . . .
Plus généralement, une fonction f définie sur un intervalle I contenant 0 admet
un développement limité à l’ordre n en 0 s’il existe une fonction polynôme Pn de
degré n rangée suivant les puissances croissantes de x et une fonction ε telles que
f (x) = Pn (x) + xn ε(x)
avec
lim ε(x) = 0.
x→0
◦ On démontre que s’il existe, ce développement est unique.
Pn (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn s’appelle la partie régulière et
xn ε(x), le reste d’ordre n du DLn v(0) de f . On note aussi o(xn ).
36
y
5
4
3
P1(x)
P2(x)
P4(x)
2
P0(x)
1
y = ex
x
–3
–2
–1
0
P3(x)
1
2
–1
–2
F IG . 5.1: Développements d’ordres 1, 2, 3 et 4 de y = ex en 0
y
3
P1(x)
P5(x) P9(x)
2
1
–6
–4
y = sin(x)
0
–2
2
x
4
–1
–2
P3(x)
P7(x)
F IG . 5.2: Développements d’ordres 1, 2, 3 et 4 y = sin x en 0
37
Parité. Remarquons que si la fonction f est paire la partie régulière Pn de son
DL nv(0) est paire ; de même si f est impaire sa partie régulière Pn est impaire.
5.1 Opérations sur les développements limités
Pour obtenir le DLn v(0) d’une fonction, l ’application de la formule de Maclaurin
nécessite non seulement l’existence mais parfois un long calcul de ses n dérivées
successives ; or les fonctions que l’on étudie ici sont sommes, produits, quotients,
ou composées de fonctions élémentaires dont on connaı̂t le DL n v(0) ; si l’on suppose l’existence du DL, voici comment procéder plus simplement :
Soient f = Pn + o(xn ) et g = Qn + o(xn ) les DLn v(0) de f et g. Alors :
– ∀λ, µ ∈ R λf + µg = λPn + µQn + o(xn ) est le DLn v(0) de λf + µg.
Exemple. Déterminer le DL3 v(0) de
sin 2x + 3 cos x.
Solution. On a
4 3
1 2
3
3
sin 2x + 3 cos x = 2x − x + o(x ) + 3 1 − x + o(x )
3
2
3 2 4 3
3
= 3 + 2x − x − x + o(x ).
2
3
– P RODUIT. La partie régulière du DLn v(0) de f g s’obtient en tronquant à
l’ordre n le produit des parties régulières Pn Qn .
Exemple. Déterminer le DL4 v(0) de
sin 2x cos x.
Solution. Effectuons le produit tronqué des parties régulières à quatre termes,
y compris ceux qui sont nuls :
1 2
7
1 4
4 3 1 − x + x = 2x − x3
2x − x
3
2
24
3
d’où le DL4 v(0) cherché :
7
sin 2x cos x = 2x − x3 + o(x4 )
3
– Q UOTIENT. Si g(0) 6= 0, alors le quotient Hn de la division suivant les puissances
croissantes de Pn par Qn à l’ordre n est la partie régulière du DLn v(0) de f /g.
1
En pratique, effectuera plus simplement le produit f (x).
g(x)
1
Exemple. Calcul du DL4 v(0) de tan x. C’est le produit de sin x et de
:
cos x
3
2
−1
x
x
1
= x−
+ o(x4 ) 1 − ( + o(x3 ))
tan x = sin x
cos x
6
2
2
x
x3
x3
+ o(x4 ) 1 +
+ o(x3 ) = x +
+ o(x4 ).
= x−
6
2
3
38
Remarque utile : Comme pour le produit, il suffit de connaı̂tre les k premiers
termes, y compris ceux qui sont nuls à partir du premier non nul, de chacun
des opérandes pour obtenir le D.L. à k termes du quotient de deux D.L.
– I NT ÉGRATION . On intégre terme à terme la partie régulière du DLn v(0) de f
et on obtient la partie régulière du DL(n + 1) v(0) des primitives de f .
Exemple. A partir du développement à l’ordre 3 au voisinage de 0
1
= 1 − t + t2 − t3 + o(t3 )
1+t
on obtient après intégration le DL4 v(0)
x2 x3 x4
ln(1 + x) = x −
+
−
+ o(x4 ).
2
3
4
– D ÉRIVATION . On dérive terme à terme la partie régulière du DLn v(0) de f et
l’on obtient la partie régulière du DL(n − 1) v(0) de la dérivée de f .
Exemple. Le développement à l’ordre 3 au voisinage de 0
1
= 1 + x + x2 + x3 + o(x3 )
(1 − x)
donne après dérivation :
1
= 1 + 2x + 3x2 + o(x2 )
(1 − x)2
– C OMPOSITION . La composée h = g ◦ f admet un DLn v(0) dont la partie
régulière s’obtient en ne conservant dans Qn ◦ Pn que les monômes de degrés
inférieurs à n.
Exemple. Soit à calculer le DL4 v(0) de la fonction h(x) = ecos x
Remarquons que si x → 0, alors cos x → 1 . On écrit d’abord
1 2
1 4
1 2
1 4
1− x +
x + o(x4 )
− x +
x + o(x4 )
cos x
24
24
e
=e 2
= ee 2
et l’on pose
1
1
1
u = − x2 + x4 + o(x4 ) qui tend vers 0 comme − x2
2
24
2
puis on développe à l’ordre 2 en v(0) :
1
eu = 1 + u + u2 + o(u2) ; l’ordre 2 suffit car u3 est de l’ordre de (x2 )3 = x6
2
supérieur à l’ordre 4 demandé. On remplace u :
1
1 1
1
1
eu = 1 + (− x2 + x4 ) + (− x2 + x4 )2 + o(x4 )
2
24
2 2
24
on réduit et finalement :
e
e
ecos x = e − x2 + x4 + o(x4 )
2
6
5.2 Développements limités des fonctions usuelles au voisinage
de 0
2
n
ex
=
1 + x + x2! + · · · + xn! + o(xn )
1
= 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + o(xn )
1+x
39
(1 + x)α
x2
2
x3
= x−
3!
ln(1 + x) = x −
sin x
cos x
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x +···
2
3!
xn
+α(α − 1) · · · (α − n + 1)
+ o(xn )
n!
x3
xn
+
+ · · · + (−1)n−1
+ o(xn )
3
n
x2n+1
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 )
(2n + 1)!
= 1 + αx +
= 1−
x2n
x2
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 )
2!
(2n)!
x3 2x5
+
+ o(x6 )
3
15
n
X
x2k+1
Arc tan x =
(−1)k
+ o(x2k+1 )
2k
+
1
0
tan x
= x+
5.3 Développement limité à l’ordre n au voisinage d’un réel non
nul x0
Définition. On dit qu’une fonction f , définie et continue au voisinage d’un réel
x0 , admet un développement limité au voisinage de ce point si la fonction
F : u 7→ F (u) = f (x0 + u)
obtenue par le changement de variable u = x − x0 admet un développement
limité au voisinage de 0.
Ce développement s’écrit :
f (x0 + u) = a0 + a1 u + a2 u2 + · · · + an un + o(un )
ou encore :
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n )
Exemple. Calcul du développement à l’ordre 3 de ex au voisinage de 1. On pose
u = x − 1 donc x = 1 + u et ex = eeu avec
eu = 1 + u +
u2 u3
+
+ o(u3 ).
2!
3!
D’où :
u2 u3
3
+
+ o(u )
e
= e 1+u+
2!
3!
ce qui donne, en revenant à x
1+u
ex
40
=
e + e(x − 1) + e
(x − 1)3
(x − 1)2
+ e
+ o((x − 1)3 )
2!
3!
y
Interprétation géométrique.
Les deux premiers termes du développement fournissent l’équation y = e + e(x − 1) ou encore y = ex
de la tangente au graphe de x 7→ ex en x = 1 et le suivant non nul la position du graphe par rapport à cette
tangente ; ici 2!e (x − 1)2 ≥ 0 ∀x ∈ v(1) : la courbe est au
dessus de sa tangente en x = 1.
y = ex
3
e
2
1
y = ex
0
1
x
5.4 Développement asymptotique
I est un intervalle contenant x0 et f une fonction définie sur I − {x0 }.
Supposons que f (x) → ±∞ quand x → x0 . La fonction f n’admet donc pas de
DLv(x0 ).
Supposons aussi qu’il existe r ∈ N∗ et a ∈ R tel que si x → x0 , (x − xo )r f (x) → a
et admette un DLv(x0 ) : on dit alors que f admet un développement limité généralisé
au voisinage de x0 .
Exemple. Lorsque x tend vers 0 :
f (x) =
puis
xf (x) =
et finalement
1
cos x
1 − x2 /2 + x4 /24 + o(x4 )
=
=
tan x
sin x
x − x3 /6 + o(x4 )
x
1 − x2 /2 + +o(x2 )
x2
=
=
1
−
+ o(x2 )
tan x
1 − x2 /6 + o(x2 )
3
1 x
1
= − + o(x).
tan x
x 3
– Calcul des asymptotes.
Etudions maintenant le cas où f (x) → ±∞ lorsque x → ±∞ :
1
La méthode consiste à effectuer le changement de variable X =
puis à poser
x
1
F (X) = f ( ) et l’on est ramené au cas précédent avec x0 = 0 :
X
Supposons que F admette un développement limité généralisé ; on obtient alors
l’équation de l’asymptote ou d’une courbe asymptote au graphe de f suivant le
degré de X dans la factorisation de X r F (X).
Exemple. Recherche de l’asymptote quand x → +∞ pour f définie par l’équation
f (x) = (x3 + 2x2 )1/3 .
On pose X =
1
qui tend vers 0 quand x tend vers +∞ et
x
41
1
F (X) = f ( ) =
X
2
1
+
X3 X2
1/3
=
1
(1 + 2X)1/3
X
D’où
XF (X) = (1 + 2X)1/3 → 0 quand X → 0 et r = 1
On trouve dans le formulaire le DLv(0) à l’ordre 2 :
(1 + u)1/3 = 1 + 31 u − 19 u2 + o(u2 ) qui donne avec u = 2X
puis
4
2
XF (X) = 1 + X − X 2 + o(X 2 )
3
9
1
2 4
F (X) =
+ − X + o(X)
X 3 9
Enfin, lorsque X tend vers 0+ , donc quand x tend vers +∞
2
4
1
1
+ o( ).
f (x) = F ( ) = x + −
x
3 9x
x
Interprétation géométrique.
Les deux premiers termes du développement donnent l’équation
y =x+
2
3
de l’asymptote au graphe de f quand x → +∞ et le
signe du terme suivant la position du graphe par rapport à cette asymptote :
ici −
4
< 0 et la courbe est en dessous de son asymptote.
9x
y
4
1_
2
y = (x3 + 2x2)3
−4
−2
O
2
−2
y = x +2_
3
42
−4
4
x
Exercices
5.1. Utiliser la formule de Maclaurin pour montrer que le DLn v(0) de la fonction
x 7→ (1 + x)α s’écrit :
(1 + x)α = 1 + αx + α(α−1)
x2 + α(α−1)(α−2)
x3 + · · · + α(α−1)···(α−n+1)
xn + o(xn )
2
3!
n!
5.2. Majorer l’erreur commise par la linéarisation de la fonction
x 7→ f (x) = sin x sur [0, 0.4]. Quel intervalle faut-il choisir pour obtenir la
précision 10−4 à l’ordre 4 ?
5.3. Déterminer l’ordre de la partie régulière de la fonction
x 7→ f (x) = ex permettant d’obtenir le nombre e à 10−6 près.
5.4. Déterminer dans chacun des cas suivants le DL3 v(0) de f :
f (x) = (1 + x)1/2
f (x) = Arc sin x
x
1
f (x) =
f (x) =
1/2
(1 − x)
1 + x2
1+x
f (x) = ln(
)
f (x) = ln(1 + cos x)
1−x
π
5.5. A. Calculer le DL4 v( ) de sin x.
4
B. Effectuer le développement asymptotique à l’ordre 2 pour
x → +∞ (on note DA2 v(+∞)) de :
x3 1/2
f1 (x) = (1 + x2 )1/2
f2 (x) = (
)
x−1
f3 (x) = (−x3 + x2 − 1)1/3
5.6. Calculer les limites suivantes :
xex − x − x2
ex − 1
lim
lim
x→0 x − sin x
x→0
x
1
ex − 1
2
lim ln
lim (1 − )x
x→0 x
x→+∞
x
x
π
√
cos( x)
2 sin t − 1
2
lim
lim √
x→1 x − 1
π 2 cos t − 1
t→
4
lim [(x3 + 3x2 )1/3 − (x2 + 2x)1/2 ]
x→+∞
5.7. Déterminer une équation de la tangente au graphe et préciser les positions
relatives au point (0, f (0) des fonctions suivantes :
1
f (x) = e−x cos 3x
f (x) =
+ ln(x + 1)
2(x + 1)
5.8. Etudier le comportement asymptotique de la fonction f :
1
x 7→ f (x) = (x2 − 1)1/2 Arc sin
pour x → +∞
x
43
5.9. (Extrait SVL1)
eX
1
produit de eX par
.
1 − 2X
1 − 2X
x2 e1/x
Soit la fonction réelle de la variable réelle f , définie par l’équation : f (x) =
x−2
a. Quel est le domaine de définition Df de f ?
b. Pour x → +∞ calculer les trois premiers termes du D.A. de f et déterminer
l’équation de l’asymptote ainsi que la position relative du graphe de f par rapport
à son asymptote. Faire un dessin explicatif.
Calculer le DL2 v(0) de la fonction : ϕ(X) =
5.10. ( Extrait SVL1 P2 )
Calculer le D.L.3v(0) de ln (1 − x) et de sin x. En déduire la limite :
x2
ln(1 − x) + x +
2
lim
x→0
sin x − x
5.11. ( Extrait SVL1 P2 2006 )
a. Calculer le D.L.2v(0) de :
b. Calculer le D.L.2v(0) de :
(1 + x)1/3 .
(1 + x)1/3 cos x
(1 + x)1/3 cos x − 1
1 c. En déduire la limite suivante : lim
−
x→0
x2
3x
5.12. ( Extrait SVL1 P2 2007 )
a. Calculer le D.L.3v(0) des fonctions suivantes :
x 7−→ (x + 1)e−x , x 7−→ ln(1 − x) et x 7−→ ln(1 − x) − (x + 1)e−x .
Soit la fonction de la variable réelle f : x 7−→ f (x) = ln(1 − x) − (x + 1)e−x
b1. Quel est son domaine de définition ? Soit C le graphe de f .
b2. Quelle est l’équation de la tangente à C point d’abscisse x = 0 ?
b3. Quelle est la position de C par rapport à la tangente en (0, f (0)) ?
b4. Faire un dessin explicatif ; quelle est la nature du point (0, f (0)) ?
5.13. ( Extrait SVL1 T1 2007 )
a. Calculer pour chacune des fonctions suivantes le D.L.2v(0) de √
:
1/2
1/2
(1 + u)
et (1 + 2x)
puis cos 2x
enfin
(cos 2x) 1 + 2x.
√
b. Soit la fonction réelle f : x 7−→ f (x) = (cos 2x) 1 + 2x .
Déduire du développement précédent l’équation de la tangente au graphe Cf
de f en x = 0, ainsi que la position du graphe par rapport à cette tangente.
Illustrer par un dessin explicatif.
5.14. Limite de visibilité depuis le phare de Ouistreham : soit h = 38m la hauteur du phare au dessus du niveau de la mer, R = 6368km le rayon de
√ la Terre.
Remarquer que h/R << 1 et montrer que la limite de visibilité est l = 2hR.
◦ • ◦ • ◦ • ◦
44