developpement limit

Université de Strasbourg
Licence Maths/Info-Maths/Éco
Année 2013/2014
Analyse S1
§ A. Quelques recettes pour le calcul de développements limités
Soient f une fonction usuelle, I ⊂ Df un intervalle ouvert et a ∈ I. On notera DLn (a) pour un développement
limité d’ordre n au point a. Comme nous l’avons vu en cours, on peut calculer le développement limité d’une
fonction usuelle en utilisant la formule de Taylor :
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k + o ((x − a)n ) .
Pour utiliser cette formule il faut calculer les dérivées successives de f puis il faut les évaluer au point a. En
utilisant cette formule on a obtenu une liste de DLn (0) usuels. Il est impératif de connaitre cette liste
1
par coeur. Nous rappelons que cette liste est constituée des DLn (0) de exp(x), ln(1 + x), (1 + x)α , 1−x
, sin(x),
cos(x), sh(x) et ch(x).
En général l’utilisation de la formule de Taylor pour des fonctions plus complexes est laborieuse. On utilisera
plutôt les règles suivantes qui permettent de déterminer les DLn (a) d’une fonction à partir des DLn (0) des
fonctions usuelles précédentes.
A.1
Troncation d’un Développement limité.
Proposition A.1. Soient f une fonction usuelle, I ⊂ Df un intervalle ouvert et a ∈ I. Si f admet un DLn (a)
de la forme :
f (x) = a0 + a1 (x − a) + . . . + an (x − a)n + o ((x − a)n )
alors, pour tout m ≤ n, f admet un DLm (a) s’obtenant par troncatures :
f (x) = a0 + a1 (x − a) + . . . + am (x − a)m + o ((x − a)m ) .
Exemple A.2. Soit P (x) = a0 + a1 x + . . . + ap xp une fonction polynomiale.
– Pour n ≤ p, on a P (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn + o(xn ).
– Pour n > p, on a P (x) = a0 + a1 x + . . . + ap xp + o(xn ).
A.2
Positionnement du problème en 0
Pour déterminer un développement limité en a d’une fonction x 7→ f (x), on relocalise le problème en 0 via le
changement de variable x = a + h. On détermine alors un développement limité en 0 de la fonction h 7→ f (a + h)
puis on transpose ce développement limité en a en remplaçant h par x − a.
Exemple A.3. Déterminons le DL2 (1) de exp(x). On fait le changement de variable x = 1 + h. On a alors
ex = e1+h = e · eh . On en déduit que :
1+h
e
h2
+ o h2
=e 1+h+
2
!
eh2
+ o h2 .
2
On obtient ainsi le développement limité suivant au point 1 :
= e + eh +
ex = e + e(x − 1) +
e(x − 1)2
+ o (x − 1)2 .
2
1
A.3
Développements limités d’un produit
Proposition A.4. Supposons qu’au voisinage de 0 :
f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn + o (xn ) ,
g(x) = b0 + b1 x + . . . + bn xn + o (xn ) .
Alors le DLn (0) de la fonction usuelle f g est donné par :
f (x)g(x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) x + . . . + (a0 bn + . . . + an b0 ) xn + o(xn ).
Remarque A.5. Il n’est pas nécessaire de connaitre par coeur cette formule. Pour obtenir le DLn (0) d’un
produit il suffit de faire le produit des DLn (0) et de ne pas tenir compte des monômes d’ordre > n.
x
e
.
Exemple A.6. Détermier le DL3 (0) de 1−x
x
Il suffit pour cela d’écrire les DL3 (0) de e et de
1
1−x .
ex = 1 + x +
On obtient alors :
x2 x3
+
+ o(x3 ),
2!
3!
1
= 1 + x + x2 + x3 + o(x3 ).
1−x
On en déduit que :
ex
1 1
= 1 + (1 + 1) x + (1 + 1 + 12) x2 + 1 + 1 + +
x3 + o(x3 )
1−x
2 6
8
5
= 1 + 2x + x2 + x3 + o(x3 ).
2
3
Exemple A.7. Déterminer les DL3 (0) de ln(1 + x)ex et de ln(1 + x) cos(x).
A.4
Développements limités d’une composée
Soient f et g des fonctions usuelles. Supposons f (x) −→ 0 et supposons que g admet le DLn (0) suivant :
x→0
g (u) = a0 + a1 u + . . . + an un + o (un )
Ceci permet alors d’écrire :
g (f (x)) = a0 + a1 f (x) + . . . + an f (x)n + o (f (x)n )
Ainsi on a pu substituer f (x) à u dans le DLn (0) de g et cela a été possible car f (x) −→ 0. Si l’on connaı̂t
x→0
alors un développement limité de f , on peut en déduire un développement limité de g(f (x)).
2
Exemple A.8. Déterminons le DL3 (0) de f (x) = ex+x . Le DL3 (0) de eu est donné par :
eu = 1 + u +
u2 u3
+
+ o(u3 )
2!
3!
En posant u = x + x2 on a bien u = x + x2 −→ 0.
x→0
Commençons car calculer les développement limités de puissances de u à la précision o(x3 ) :
u = x + x2 = x + x2 + o(x3 ),
u2 = (x + x2 )2 = x2 + 2x3 + o(x3 ),
u3 = x3 + o(x3 ),
2
et o(u3 ) = o(x3 ). En effet, si g est une fonction usuelle telle que g(x) = o x3 alors
g(x)
g(x)
g(x)
=
−→ 0.
3 = 3
2
u3
x (1 + x)3 x→0
(x + x )
Réciproquement si g(x) = o u3 alors :
g(x) u3
g(x)
=
−→ 0 · 1 = 0.
x3
u3 x3 x→0
Un développement limité à l’ordre 3 de eu peut alors être transformé en un développement limité à l’ordre 3 en
x comme suit :
e
x+x2
2
x + x2
x + x2
=1+ x+x +
+
2!
3!
3 2 7 3
= 1 + x + x + x + o x3 .
2
6
2
3
+o
x+x
2
3 Exemple A.9. Déterminons le DL6 (0) de ln(1 + x2 + x3 ). On remarque que ln(1 + x2 + x3 ) est de la forme
ln(1 + u) où u = x2 + x3 . Calculons les puissances successives de u :
u = x2 + x3 + o x6 ,
u2 = x4 + 2x5 + x6 + o x6 ,
u3 = x6 + o x6
o u3 = o x6 .
On fait alors un DL3 (0) de ln(1 + u) :
1
1
ln(1 + u) = u − u2 + u3 + o u3 .
2
3
En remplacant u par son expression on obtient :
1
1
ln(1 + x2 + x3 ) = x2 + x3 − x4 − x5 − x6 + o x6 .
2
6
Exemple A.10. Déterminer le DL3 (0) de ln(1 + sin(x)), le DL2 (0) de
p
(1)
1
cos(x) et le DL3 (0) de e 1+x .
Exercice A.11. Déterminer le DL4 (π/2) de
ln(cos(x)).
A.5
Développements limités d’un inverse
Supposons que le DLn (0) de f est donné par f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn + o(xn ) avec a0 6= 0. En écrivant :
f (x) =
1
·
a0 1 +
a1
a0 x
1
+ ... +
an n
a0 x
+ o (xn )
=
1
1
·
,
a0 1 + u
on peut déterminer un DLn (0) de f en utilisant la technique présenté dans la section précédente.
3
(2)
Exemple A.12. Déterminons le DL3 (0) de
1
1+ex .
1
= 1 + ex
2 1+x+
où u = x +
x2
2!
+
x3
3!
On a :
1
x2
2!
+
x3
3!
+
o (x3 )
=
1 1
,
21+u
+ o x3 −→ 0. Puis
x→0
1
1
u2 = x2 + x3 + o x3 ,
4
4
1
u3 = x3 + o x3 ,
8
o u3 = o x3 .
Ainsi
1
= 1 − u + u2 − u3 + o u3
1+u
donne
1
1 1
1 3
=
−
x
+
x
+
o
x3 .
1 + ex
2 4
48
Exemple A.13. Déterminer le DL4 (0) de
A.6
1
cos(x)
et le DL5 (0) de
1
tan(x) .
Développements limités délicats
Lors des calculs, des divisions peuvent réduire l’ordre d’un développement limité. En anticipant celles-ci, on
peut éviter de devoir reprendre un calcul initié avec des développements trop courts.
1
Exemple A.14. Déterminons le DL3 (0) de (cos(x)) x .
Premièrement,
1
(cos(x)) = exp
ln(cos(x))
x
1
x
Pour former le développement limité voulu, on développe à l’ordre 3 l’expression x1 ln(cos(x)). Puisque la division
par x, réduit l’ordre d’un développement limité, nous allons former un développement limité à l’ordre 4 de
ln(cos(x)). Premièrement :
1
1
ln (cos (x)) = ln 1 − x2 + x4 + o x4
2
24
= ln (1 + u) ,
avec u = − 12 x2 +
1 4
24 x
(3)
(4)
4
+ o x . Par composition des développements limités on obtient :
1
1
ln (cos (x)) = − x2 − x4 + o x4 .
2
12
On en déduit que
1
1
1
ln (cos (x)) = − x − x3 + o x3 .
x
2
12
1
Finalement (cos (x)) x = eu avec
1
1
u = x − x3 + o x3 .
2
12
Par composition de développements limités, on obtient :
1
1
1
5
(cos (x)) x = 1 − x + x2 − x3 + o x3 .
2
8
48
4
(5)
Exemple A.15. Déterminons le développement limité à l’ordre 1 en 0 de :
1
1
− .
sin(x) x
Premièrement,
sin(x) = x + o x2 .
(6)
On en déduit par passage à l’inverse que :
1
=
sin (x)
x−
2
1
x3
3!
+
o (x4 )
=
1
x 1−
x2
3!
+
=
o (x3 )
1
,
x (1 + u)
avec u = − x3! + o x3 . On remarque alors que :
x2
x2
+ o x3 = − + o x2 (par troncation),
3! 3!
o (u) = o x2
u=−
Puis,
1
= 1 − u + o (u) .
1+u
On obtient alors
1
1
x2
=
+ o x2
1+
sin (x)
x
3!
!
=
1
x
+ + o (x) .
x 3!
Ainsi
1
1
x
− = + o (x) .
sin (x) x
3!
A.7
Exercices.
Exercice A.16. Déterminer les développements limités suivants :
1. DL3 (π/4) de sin(x).
.
2. DL4 (1) de ln(x)
x2
3. DL5 (0) de sh(x)ch(2x) − ch(x).
Exercice A.17. Déterminer les développements limités suivants :
1. DL3 (0) de ln(1 + ex ).
2. DL3 (1) de ln(2 + sin(x)).
p
3. DL3 (0) de 3 + cos(x).
Exercice A.18. Déterminer la limite en 0 de :
ln(1 + x) − x
.
x2
Exercice A.19. Déterminer la limite en 0 de :
sin(x) − x
.
x3
Exercice A.20. Déterminer la limite en 0 de :
1
(1 + x) x − e
.
x
5
Références.
Ces notes sont basées sur les notes de cours de David Delaunay disponible sur (l’excellent) site web :
http ://mp.cpgedupuydelome.fr/
6