Programme de colle N°12

Programme de colle MPSI no 12 :
Semaine du 03/01/2017 au 06/01/2017
Les étudiants peuvent être interrogés sur tous les points de cours mais seules les démonstrations des
questions de cours avec démonstration sont exigibles de la part des colleurs.
Les développements limités usuels sont à connaître par
♥
pour ce programme de colle.
Chapitre 14 : Analyse asymptotique pour les fonctions à valeurs réelles ou complexes
F Brève extension des notations de Landau ◦, O et ∼, vues pour les suites, aux fonctions. Opérations
légitimes et interdites.
F Définition d’un DLn(x0). Si une fonction admet un DLn+1(x0) alors elle admet un DLn(x0). Unicité des coefficients du DLn (x0 ), s’il existe. Coefficients d’un DLn (0) d’une fonction paire et impaire.
F Intégration d’un ◦. La formule de Taylor-Young et étude d’un contre exemple pour établir que la
réciproque est fausse. Applications aux DLn (0) de x 7→ ex , x 7→ (1 + x)α avec α ∈ R, x 7→ cos(x) et
x 7→ sin(x).
F Opérations sur les développements limités :
1
- Somme, produit et composition. Applications aux DLn (0) de x 7→ ch(x), x 7→ sh(x), x 7→ 1+x
2
1
√
et x 7→ 1+x2 .
- Intégration termes à termes d’un DLn (x0 ). Applications aux DLn (0) de x 7→ ln(1 + x),
x 7→ arctan(x) et x 7→ arcsin(x).
- Dérivation termes à termes d’un DLn (x0 ) avec précaution ! Il existe des fonctions dérivables
admettant un DLn (x0 ) alors que f 0 n’admet de développement limité en x0 à aucun ordre.
F Tableau récapitulatif des développements limités usuels.
F Brève extension à la notion de développement asymptotique pour les suites et les fonctions.
F Étude de nombreux exemples : positionnement du problème en 0, DL obtenu par produit, DL
obtenu par quotient, DL obtenu par composition, DL d’une application réciproque lorsque celle-ci
existe.
F Applications des développements limités au calcul de limite, au calcul de l’équation de la tangente
d’une courbe ainsi que de l’étude de sa position relative locale, à l’étude des extremums locaux d’une
fonction, à la détermination de l’asymptote d’une courbe ainsi que de l’étude de sa position relative
locale. Études d’exemples.
Questions de cours avec démonstration :
— Intégration d’un ◦ :
Soient n ∈ N, x0 ∈ I, f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I.
Si f (x) = ◦ (x − x0 )n alors F (x) = F (x0 ) + ◦ (x − x0 )n+1 .
x→x0
x→x0
— La formule de Taylor-Young :
Soient n ∈ N, x0 ∈ I et f : I → R une fonction.
Si f est de classe C n au voisinage de x0 alors f admet un DLn (x0 ).
Plus précisément, si f est de classe C n au voisinage de x0 alors
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
× (x − x0 )k + ◦ (x − x0 )n .
x→x0
— Montrer que la fonction f : R → R, définie par f (x) = x ch(x), est bijective et déterminer le
DL5 (0) de f −1 .
— Soit n ∈ N. Montrer que l’équation tan(x) = x d’inconnue x ∈ nπ − π2 , nπ + π2 admet une
unique solution xn .
Puis, former le développement asymptotique à quatre termes de (xn ).
Bonnes vacances pour les colleurs et bon travail pour les élèves.