PROBABILITE

PROBABILITE
1. Définitions
• Une expérience aléatoire est une expérience qui génère des résultats imprévisibles.
• L’univers noté Ω est l’ensemble des résultats possibles.
• Un événement est une partie de l’univers
• Un événement élémentaire est un événement réduit à un seul élément
• Le cardinal d’un événement est le nombre de ses éléments.
• L’événement A union B noté A ∪ B est obtenu en regroupant les événements élémentaires contenus dans A puis
dans B.
• L’événement A inter B noté A ∩ B est composé des événements élémentaires communs à A et B.
• Deux événements sont incompatibles ou disjoints lorsque A ∩ B = ∅ .
• Deux événements sont contraires ou complémentaires lorsque A ∩ B = ∅ et A ∪ B = Ω On les note A et A.
Exercice 1
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro de la face supérieure.
(a) Définir l’univers Ω ensemble des événtualités.
(b) Ecrire en extension (chaque événtualité) chacun des événements suivants :
A=”Obtenir un numéro au plus égal à 2”
B=”Obtenir un numéro impair”
C=”Obtenir un numéro au moins égal à 5”
(c) Ecrire en compréhension (avec une phrase) puis en extension les événements :
A ∪ B; A ∩ C; A ∪ C; B ∪ C; B ∩ C; A; A ∪ C; A ∩ C.
(d) Parmi les événements utilisés précédemment, citer deux événement incompatibles qui ne sont pas contraires l’un
de l’autre.
Exercice 2
On considère un échantillon de 500 personnes composé de 200 hommes et 300 femmes. Parmi les hommes 150 ont plus
de 30 ans et parmi les femmes 200 ont plus de 30 ans. On note: F l’évenement ” Etre une femme” et P l’événement
”Avoir plus de 30 ans” .
P
P
Total
F
(a) Compléter le tableau suivant
F
Total
(b) Déterminer en compréhension chaque événement ci-dessous puis préciser son cardinal:
F ∩ P; F ∪ P; F ∩ P; F ∪ P; F ∪ P; F ∩ P.
1
2. Probabilité
Définition
On définit une propbabilité P d’un univers Ω d’une expérience aléatoire lorsqu’à chaque élément A de Ω on peut associer
un réel compris entre 0 et 1. Ce réel noté P (A) est appelé probabilité de l’événement A. P doit vérifier :
• P (Ω) = 1.
• P (∅) = 0.
• Si A = {a1 ; a2 ; .............; an } alors P (A) = P (a1 ) + P (a2 ) + .............P (an ).
Propriétés
Soit A et B deux événements d’un univers Ω on a
• P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
• P (A) = 1 − P (A)
• Sous l’hypothèse d’équiprobabilité : P (A) =
card(A)
. (Nombre de cas favorables à A sur nombre de cas possibles.)
card(Ω)
Exercice 3
Reprendre l’exercice précédent et déterminer la probabilité de chaque événement cité.
Exercice 4
On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité des événements suivants :
A=”La carte tirée est le roi de coeur”
B=”La carte tirée est un as”
C=”La carte tirée est rouge”
D=”La carte tirée est un as ou une carte rouge”
E=”La carte tirée n’est pas une dame”
Exercice 5
Un urne contient 20 boules indiscernables de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 vertes et 2 bleues. On considère
l’épreuve qui consiste à tirer au hasard une boule de l’urne. Quelle est la probabilité des événements suivants :
A=”La boule tirée est jaune”
B=”La boule tirée est rouge ou verte”
C=”La boule tirée n’est pas rouge”
Exercice 6
On considère une cible qui comporte trois disques concentriques, nommés zone 1, zone 2 et zone 3 de rayons respectifs
10, 20 et 30 cm. On admet que la probabilité d’atteindre une des trois zones est proportionnelle à l’aire de cette zone.
Sachant q’un tireur est sûr d’atteindre une des trois zones, calculer la propabilité d’atteindre chacune des trois zones.
3. Variable aléatoire
Définition
On considère Ω l’univers d’une expérience aléatoire contenant un nombre fini d’éventualités.
Un variable aléatoire, notée X, associe à chaque éventualité de Ω un nombre réel.
Si la variable aléatoire prend les valeurs x1 ; x2 ; ........xn alors l’événement ”X prend la valeur x1 se note (X = x1 ).
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1 ; x2 ; ........xn .
Définir la loi de probabilité de X signifie qu’à chaque valeur de xi on associe la propbabilité de l’événement (X = xi ) notée
pi . On la présente sous forme de tableau.
• L’espérance mathématique E(X) = x1 p1 + x2 p2 + .......xn pn
2
• La variance V (X) = x1 2 p1 + x2 2 p2 + .......xn 2 pn − (E(X))
p
• Ecart type σ(X) = V (X)
2
Exercice 6
On tire au hasard une carte d’un jeu de 52 cartes. On suppose que les éventualités sont équiprobables.
A chaque tirage on associe un gain ou une perte défini de la façon suivante :
• Si on tire un as on gagne 5 euros.
• Si on tire un un roi, une dame ou un valet on gagne 1 euro.
• Dans tous les autres cas on perd 1 euro.
On note X la variable aléatoire qui exprime le gain algébrique associé à chaque tirage.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Calculer E(X)
et
V (X) .Que peut-on déduire de l’espérance E(X) ?
Exercice 7
On jette une pièce de monnaie. On appelle X la variable aléatoire qui associe le nombre 3 si l’on obtient pile et 5 si
on obtient face.
1. On suppose que la pièce est parfaitement équilibrée.
Déterminer la loi de probabilité de X puis son espérance mathématique E(X) et son écart type σ(X).
2. On suppose maintenat que la pièce n’est pas équilibrée. On note p la probabilité d’obtenir face.
(a) Déterminer la loi de probabilité de X.
(b) Déterminer son espérance mathématique E(X) puis son écart type σ(X).
(c) Montrer que 3 ≤ E(X) ≤ 5.
(d) Déterminer les valeurs de p pour lesquelles l’écart type est maximum ou minimum. A quelles situations cela
correspond-il ?
Probabilités conditionneles
Définition
Soit B un événement de probabilité non nulle .
On appelle probabilité de A sachant B, notée P (A/B) ou PB (A) le nombre PB (A) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
Conséquence : P (A ∩ B) = PB (A) × P (B).
Indépendance
Deux événements A et B sont indépendants signifie que PB (A) = P (A) ou PA (B) = P (B) .
Ce qui se traduit par P (A ∩ B) = P (A) × P (B).
Exercice 8
Uns sac contient six jetons rouges numérotés 1,1,1,2,2,4 et quatre jetons verts numérotés 2,2,4,4.
1. On tire au hasard un jeton du sac.
Rouge
(a) Compléter le tableau suivant :
Numéro 1
Numéro 2
Numéro 4
Total
(b) Compléter l’arbre suivant :
... U
...
...
R ... D
Q
...
... U
...
V ... D
Q
3
Vert
Total
(c) Détreminer les probabilités des événements suivants :
• R = ”On tire un jeton rouge”.
• V = ”On tire un jeton vert”.
• U = ”On tire un jeton portant le numéro 1”.
• D = ”On tire un jeton portant le numéro 2”.
• Q = ”On tire un jeton portant le numéro 4”.
(d) Déterminer P (R ∪ U ), P (R ∩ U ), P (V ∪ D), P (V ∩ D)
2. On tire au hasard un jeton et on voit qu’il est vert. On note PV (U ) la probabilité que le jeton précédemment tiré
porte le n◦ 1.
(a) Déterminer PV (U ),
(b) Déterminer PD (R).
PR (U ),
PR (Q),
PV (2),
PV (Q),
Exercice 8
On fait tourner une roue comportant 12 secteurs de même taille
numérotés de 1 à 12. Les secteurs portant un n◦ pair sont de couleur
jaune, ceux portant un n◦ multiple de trois et impairs sont de couleur
verte et les autres secteurs sont rouges.
Si la roue s’arrête sur un secteur de couleur verte on tire un billet de
loterie dans une urne A. Dans les autres cas, on tire un billet de loterie
dans une urne B.
Dans l’urne A,un billet sur 4 est gagnant et dans B seulement un sur
20. On s’intéresse à la probabilité d’obtenir un billet gagnant. On note
les événements :
1
2
12
3
11
4
b
10
• A = ” Le billet est tiré dans l’urne A”
5
• B = ” Le billet est tiré dans l’urne B”
9
• G = ”Le billet est ganant”
• P = ”Le billet est perdant”
6
8
7
(a) Déterminer un arbre pondéré de probabilité
(b) Calculer P (A ∩ G) puis P (B ∩ G) et en déduire P (G).
(c) Calculer P (A ∩ P ) puis P (B ∩ P ) et en déduire P (P ).
(d) Vérifier avec P (G)
Exercice 9
On jette une 1ère fois une pièce de monnaie. Si on obtient face, on gagne 4 euros et le jeu s’arrête, si on obtient pile
on gagne 1 euro et le jeu se poursuit. On jette alors une 2ième fois la pièce. Si on obtient face on gagne 2 euros et le
jeu s’arrête sinon on gagne 1 euro et le jeu se poursuit. On jette alors une 3ième et dernière fois la pièce. Si on obtient
face on gagne 2 euros sinon on gagne 1 euro.
(a) Représenter le jeu par un arbre pondéré.
(b) Quelle est la probabilité d’avoir obtenu 4 euros à la fin du jeu ?
Exercice 10
On soumet une population à un test pour dépister la présence d’un caractère génétique A.
La probabilité qu’une personne ayant le caractère A ait un test positif est 0,99. La probabilité qu’une personne n’ayant
pas le caractère A ait un test négatif est 0,98.
1. On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu’une personne sur 1000
était porteur du caractère A.
(a) Représenter la situation par un arbre pondéré.
(b) Déterminer la probabilité pour qu’une personne prise au hasard dans la population étudiée ait un test positif.
4
(c) Déterminer la probabilité pour qu’une personne ayant un test positif soit porteur du carctère A.
2. On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu’une personne sur 100 était
porteur du caractère A.
Déterminer la probabilité pour qu’une personne ayant un test positif soit porteur du caractère A.
3. On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu’une personne avait une
probabilité p d’être porteur du caractère A.
(a) Déterminer, en fonction de p , la probabilité A(p) q’une personne ayant un test positif soit porteur du
caractère A.
(b) Représenter A(p) en fonction de p et commenter
Exercice 10
Dans un aquarium nagent 12 poissons mâles dont 8 verts et un orange, et 9 poissons femelles dont 6 vertes et 2 oranges.
On suppose que chanque poisson a la même chance d’être pêché.
On nomme les événements :
• F = ”Le poisson pêché est une femelle”.
• V = ”Le poisson pêché est vert”.
• O = ”Le poisson pêché est orange”.
(a) Les événements F et V sont-ils indépendants ?
(b) Les événements F et O sont-ils indépendants ?
Formule des probabilité totales
Définitions
Les événements B1 , B2 , .......Bn consttituent une partition d’un univers Ω lorsque :
• Bi 6= ∅ pour tout 1 ≤ i ≤ n.
• Pour tout 1 ≤ i ≤ n et tout 1 ≤ j ≤ n on a Bi ∩ Bj 6= ∅.
• B1 ∪ B2 ∪ ....... ∪ Bn = Ω
Théorème
Pour tout événement A de Ω on a :
P (A) = P (A∩B1 )+P (A∩B2 )+.........P (A∩Bn ) ou P (A) = P (B1 )×PB1 (A)+P (B2 )×PB2 (A)+.........P (Bn )×PBn (A)
Exercice 11
Lors d’une campagne de vaccination, le quart d’une population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours
d’une épidémie de cette maladie, une équipe de médecins constate qu’il y a parmi les malades, 9 vaccinés pour 92 non
vaccinés. De plus, on sait que sur 100 personne vaccinés, 18 sont malades. On rencontre au hasard un individu de cette
population. Quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
Exercice 12
On s’intéresse à une population de 135000 personnes abonnées à un fournisseur d’accès à Internet. Il existe deux
fournisseurs A et B. Toute personne est abonnée à un seul de ces fournisseurs. On sait qu’un tiers des personnes de
cette population est abonné au fournisseur A. Par ailleurs, 60 % des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à
Internet par le haut débit, et 51 % des personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit.
On choisit une personne au hasard dans cette population, et on admet que la probabilité d’un évènement est assimilée
à la fréquence correspondante.
On note :
A, l’évènement : la personne choisie est abonnée au fournisseur A
B, l’évènement : la personne choisie est abonnée au fournisseur B
H, l’évènement : la personne choisie accède à Internet par le haut débit
(a) Décrire cette situation aléatoire par un arbre pondéré.
(b) Montrer que la probabilité de l’évènement la personne est abonnée au fournisseur A et accède à Internet par le
haut débit est égale à 0, 20.
5
(c) Montrer que la probabilité de l’évènement H : la personne accède à Internet par le haut débit est égale à 0, 54.
(d) Calculer pH (A), probabilité de A sachant H, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.
Exercice 13
Dans cet exercice, A et B étant des évènements, A désigne l’évènement contraire de l’évènement A, P (A) la probabilité
de A et PB (A) la probabilité de A sachant que B est réalisé.
Une entreprise fabrique des appareils en grand nombre. Une étude statistique a permis de constater que 10 % des
appareils fabriqués sont défectueux.
L’entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces appareils avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte
et élimine 80 % des appareils défectueux, mais il élimine également à tort 10 % des appareils non défectueux. Les
appareils non éliminés sont alors mis en vente.
On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l’évènement l’appareil est défectueux et V l’évènement l’appareil
est mis en vente .
(a) Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.
(b) i. Calculer P (V ∩ D) et P V ∩ D .
En déduire que la probabilité qu’un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,83.
ii. Calculer la probabilité qu’un appareil mis en vente après contrôle soit défectueux.
iii. Vérifier que PV (D) ≈ 0.24 × P (D).
Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d’acquérir un appareil défectueux suivant
que l’entreprise applique ou non le test de contrôle.
(c) Une entreprise décide d’appliquer le contrôle, tout en continuant à fabriquer le même nombre d’appareils. Elle
fabriquait et vendait une quantité q0 d’appareils au prix p0 .
Les pourcentages demandés seront arrondis à l’unité.
i. Quelle est, en fonction de q0 la nouvelle quantité q1 d’appareils mis en vente après contrôle ?
ii. De quel pourcentage la quantité vendue a-t-elle diminué ?
iii. Quel doit être le nouveau prix p1 (en fonction de p0 pour que l’entreprise maintienne son chiffre d’affaires ?
Quel est alors le pourcentage d’augmentation du prix de vente ?
Exercice 14
Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.
(a) On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante: après chaque tirage si la
boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne par
X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages. On pourra s’aider
d’un arbre pondéré.
i. Quelles sont les valeurs prises par X ?
ii. Calculer P (X = 0).
iii. On se propose de déterminer maintenant P (X = 1).
8
.
45
• En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième
tirage, calculer P (X = 1).
• Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au second tirage est égale à
(b) On reprend l’urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On effectue maintenant n tirages successifs au hasard d’une boule dans l’urne selon la même procédure : après
chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans
l’urne.
Soit k un entier compris entre 1 et n.
Soit N l’évènement : la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches.
Soit A l’évènement : on obtient une boule blanche dans chacun des k − 1 premiers tirages et une boule noire au
k-ième.
Soit B l’évènement : on obtient une boule blanche dans chacun des (n − k) derniers tirages.
Calculer P (A), PA (B) et P (N).
6
Exercice 15
En 2005, un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d’une maladie responsable de la disparition
de souris et fournit les renseignements suivants : La population testée comporte 50 % d’animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99 % des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas .
On note M l’évènement l’animal est malade , M l’évènement contraire et T l’évènement le test est positif .
(a) Determiner P (M ), PM (T ), PM (T ).
(b) En déduire P (T ).
(c) Le laboratoire estime qu’un test est fiable, si sa valeur prédictive, c’est-à-dire la probabilité qu’un animal soit
malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?
Exercice 16
Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits.
On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que
s’il décroche, la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire est 0,3.
On pourra construire un arbre pondéré.
(a) On note :
• D1 l’évènement : la personne décroche au premier appel ;
• R1 l’évènement la personne répond au questionnaire lors du premier appel.
Calculer la probabilité de l’évènement R1 .
(b) Lorsqu’une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le
correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire sachant
qu’il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.
On note :
• D2 l’évènement : la personne décroche au second appel .
• R2 l’évènement :la personne répond au questionnaire lors du second appel.
• R l’évènement : la personne répond au questionnaire .
Montrer que la probabilité de l’évènement R est 0,236.
(c) Sachant qu’une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée
lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième)
Indépendance de deux variables aléatoires discrètes
Définitions
Soit X une varaible aléatoire prenant n valeurs réelles x1 , x2 .......xn et Y une varaible aléatoire prenant p valeurs
y1 , y2 .......yp . On dit que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tout pour tout
1 ≤ i ≤ n et tout 1 ≤ j ≤ p les événement (X = xi ) et (Y = yj sont indépendants.
Exercice 17
On tire au hasardune carte d’un jeu de 32 cartes. On appelle X la varialble aléatoire qui prend la valeur 1 si la carte
tirée est rouge et la valeur 0 sinon, et Y la varialble aléatoire qui prend la valeur 1 si la carte tirée est une figure et la
valeur 0 sinon.
(a) Déterminer la loi de probabilité de X puis de Y.
(b) Démontrer que les variables aléatoires X et Y. sont indépendantes.
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