TD mesure et intégration

TD mesure et intégration
Points de cours utiles pour le TD :
• théorie de la mesure : définition des espaces mesurables, tribu produit,
tribus boréliennes. Définition d’une mesure; cas particuliers : mesure
de comptage, mesure de Lebesgue (construction admise), mesures de
probabilité. Définition d’une fonction mesurable; opérations élémentaires
sur les fonctions mesurables.
• Définition d’un espace de probabilité. Variable aléatoire.
• Espérance et variance.
Exercice 1 :
Étudier la convergence de
Z
[0,1]d
dX
||X||α
(1)
suivant les valeurs de la dimension d et de α. On pourra utiliser le théorème
de Fubini et la norme 1.
Exercice 2 : Inégalités de Markov et Tchebycheff
1. On considère un espace mesuré (Ω, B, µ).
• Si f ∈ L1 ((Ω, R)), montrer que
1
µ ({ω ∈ Ω , |f (ω)| ≥ a}) ≤
a
Z
|f (ω)|dµ .
(2)
|f (ω)|2 dµ .
(3)
Ω
• Si f ∈ L2 ((Ω, R)), montrer que
1
µ ({ω ∈ Ω , |f (ω)| ≥ a}) ≤ 2
a
Z
Ω
2. En déduire que si X est une variable aléatoire L1 , on a pour tout a > 0
P(|X| > a) ≤
E(|X|)
a
Et que si X est une va L2 , on a pour tout a > 0
P(|X − E(X)| > a) ≤
V(X)
a2
Exercice 3: agrégation externe 2003, analyse.
Soient q et r deux densités sur [0, 1]n . L’écart de variation totale entre elles
est défini par
Z
Z
f (x)q(x)dx −
f (y)r(y)dy ,
dV T (q, r) = sup 0≤f ≤1
[0,1]n
[0,1]n
la borne supérieure étant prise sur toutes les fonctions (boréliennes) f à
valeurs dans [0, 1].
a. Montrer que
Z
Z
1
[q(x) − r(x)]+ dx =
|q(x) − r(x)|dx .
2 [0,1]n
[0,1]n
b. Montrer que dV T (q, r) vérifie
1
dV T (q, r) =
2
Indication : ne pas oublier que
Z
R1
0
|q(x) − r(x)|dx .
[0,1]n
q=
R1
0
r = 1...
Exercice 4: Théorème de Scheffé (Cottrell p110).
Soient (Xn )n∈N et X des va réelles de densités de probabilité par rapport la
mesure de Lebesgue λ respectivement (fn )n∈N et f . On suppose que fn (x) →
f (x) pour λ-presque tout x. Soit ϕ une fonction continue bornée sur R.
Montrer que
lim E(ϕ(Xn )) = E(ϕ(X))
n→∞
Remarque : ceci implique la convergence en loi de Xn vers X. La réciproque
est fausse; contre-exemple ?
Exercice 5 : mesure invariante par rotation sur la sphère.
On considère des variables aléatoires a1 , . . . , an gaussiennes, indépendantes,
de moyenne nulle et de variance 1. Leur loi jointe est définie par :
Z
||x||2
1
− 2
P ((a1 , . . . , an ) ∈ B) =
e
dλn (x) ,
(4)
(2π)n/2 B
a
où λn (x) est la mesure de Lebesgue. Montrer que la loi de ||a||
est invariante
n−1
par rotation, c’est-à-dire, pour tout A borélien de S
et tout r rotation
vectorielle de Rn :
P
a
a
−1
∈A =P
∈ r (A)
||a||
||a||
(5)
Exercice 6 : mesure invariante par rotation sur la sphère, 2.
n est un entier fixé, plus grand que 2. On note respectivement B n et S n−1
la boule et la sphère unité de Rn . Pour toute partie A ⊂ S n−1 , on définit le
cône engendré par A comme l’ensemble
C(A) = {t.x | t ∈ [0, 1], x ∈ A} .
Lorsque C est mesurable (pour la mesure de Lebesgue dans Rn , notée λn ),
on pose
λn (C(A))
λS (A) =
λn (B n )
On admet que λS (A) est bien défini pour tout A borélien de S n−1 .
1. Montrer que λS est une mesure de probabilité sur les boréliens de S n−1 .
2. Montrer que pour tout h > 0, on a
λS (S n−1 ∩ ([−h, h] × [−1, 1]n−1 )) ≤
2n h
λn (B n )
3. Montrer que λS est invariante par rotation (cf exercice précédent).
NB: ne pas hésiter faire des dessins...
Exercice 7:
Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une suite infinie de v.a.i.i.d.
de Bernoulli de paramètre 1/2; cf Ouvrard p.53 et suivantes. On peut aussi
en généralisant cette idée construire une suite de v.a.i.i.d. réelles de loi
arbitraire.
On définit pour x ∈ [0, 1[ les suites Dn (x) et Rn (x) par R0 (x) = x, et
Dn (x) = [2Rn−1 (x)] , Rn (x) = 2Rn−1 (x) − Dn (x) ,
où [.] représente la partie entière.
1. Montrer que Dn (x) ∈ [0, 1[, Rn (x) ∈ [0, 1[, et, pour tout n
x=
n
X
Dj (x)
j=1
2j
+
Rn (x)
2n
Montrer que Dn (x) fournit la suite des chiffres du développement dyadique
de x, en prenant le développement fini lorsqu’il y a deux développements
dyadiques possibles.
2. On considère l’espace probabilisé ([0, 1[, B([0, 1[), P ), où P est la mesure
de Lebesgue. Montrer que sur cet espace, la suite (Dn )n∈N∗ de v.a.i.i.d. de
Bernoulli de paramètre 1/2
Exercice 8:
On note Ω l’ensemble de suites infinies de 0 et de 1. Ω = {ω = (ωn )n≥1 , ωn ∈
{0, 1}}. C’est l’ensemble naturel pour définir par exemple une suite infinie
de variables de Bernoulli indépendantes.
Il n’est pas immédiat de définir une tribu et une mesure de probabilité
appropriée sur Ω; cet exercice n’est pas extrèmement intéressant, il a surtout
pour but de vous inciter à jeter un œil à cette question. Refs: Lesigne, FoataFuchs pp 126-127; Ouvrard 2 pp 53-62.
On note Ωn l’ensemble des suites de 0 et de 1 de n éléments. On note
Sn (ω) = ω1 + ω2 + . . . ωn . On note πn la projection:
πn (ω = (ω1 , ω2 , . . .)) = (ω1 , ω2 , . . . , ωn )
On appelle “n-cylindre” toute partie C de Ω de la forme C = {ω ∈ Ω, πn (ω) ∈
A}, où A est une partie de Ωn . On note An l’ensemble des n-cylindres.
a. Montrer que An est
une tribu.
S∞
b. Montrer que A = n=1 An est une algèbre.
c. On définit sur A la mesure de probabilité suivante. Si C = {πn (ω) ∈ A},
X
P (C) =
pSn (ω) q n−Sn (ω) .
ω (n) ∈A
Vérifier que la définition de P (C) ne dépend pas de n ni de A, que P (Ω) = 1,
et que P est additive.
Il faut ensuite prolonger cette mesure de probabilité sur T , tribu engendrée par A.