Dérivées partielles de fonctions composées

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Enoncés
Dérivées partielles de fonctions composées
1
Exercice 6 [ 00043 ] [Correction]
Soit f : R2 → R différentiable vérifiant
Exercice 1 [ 01749 ] [Correction]
Soit f : R2 → R différentiable.
On pose g : R → R définie par g(t) = f (2t, 1 + t2 ).
Exprimer g0 (t) en fonction des dérivées partielles de f .
∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = f (y, x)
Quelle relation existe entre les dérivées partielles de f ?
Exercice 7 [ 01752 ] [Correction]
Soit f : R2 → R différentiable.
Exercice 2 [ 02903 ] [Correction]
Soient (x1 , . . . , xn , h1 , . . . , hn ) ∈ R2n , f ∈ C1 (Rn , R) et, si t ∈ R,
(a) On suppose
g(t) = f (x1 + th1 , . . . , xn + thn )
∀t ∈ R, ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + t, y + t) = f (x, y)
Calculer g0 (t).
Montrer
∀(x, y) ∈ R2 ,
Exercice 3 [ 01755 ] [Correction]
Soit f : R2 → R une fonction différentiable et g : R2 → R définie par
∂f
∂f
(x, y) +
(x, y) = 0
∂x
∂y
(b) Étudier la réciproque.
g(u, v) = f (u2 + v2 , uv)
(a) Justifier que g est différentiable.
(b) Exprimer
∂g
∂u
et
∂g
∂v
en fonction des dérivées partielles de la fonction f notées
∂f
∂x
et
Exercice 4 [ 00048 ] [Correction]
Soient f : (x, y) 7→ f (x, y) différentiable et g : (r, θ) 7→ f (r cos θ, r sin θ).
Justifier que g est différentiable et exprimer les dérivées partielles de f en fonction de
celles de g.
Exercice 5 [ 01750 ] [Correction]
Soit f : R2 → R une fonction différentiable et g : R2 → R définie par
g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)
∂f
∂y .
Exercice 8 [ 01753 ] [Correction]
Soit f : R2 → R différentiable telle que
∀t ∈ R, ∀(x, y) ∈ R2 , f (tx, ty) = f (x, y)
Montrer que
x
∂f
∂f
(x, y) + y (x, y) = 0
∂x
∂y
Exercice 9 [ 00045 ] [Correction]
Soit f : R2 → R une fonction différentiable homogène de degré n ∈ N c’est-à-dire
vérifiant
∀t ∈ R, ∀(x, y) ∈ R2 , f (tx, ty) = tn f (x, y)
(a) Montrer que
(a) Justifier que g est différentiable.
Soit (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} et (r, θ) ∈ R∗+ × R tels que x = r cos θ et y = r sin θ.
(b) Exprimer les dérivées partielles de g en (r, θ) en fonction de celles de f en (x, y).
(c) Exprimer les dérivées partielles de f en (x, y)fonction de celles de g en (r, θ).
x
∂f
∂f
+y
= nf
∂x
∂y
(b) On suppose n ≥ 1. Montrer que les dérivées partielles de f sont elles aussi
homogènes, préciser leur degré.
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Enoncés
2
Exercice 10 [ 00046 ] [Correction]
Soit f : R2 → R une fonction différentiable.
On dit que f est homogène de degré α ∈ R si, et seulement si,
∀t > 0, ∀(x, y) ∈ R2 , f (tx, ty) = tα f (x, y)
(a) On suppose f homogène de degré α. Montrer
∀(x, y) ∈ R2 , x
∂f
∂f
(x, y) + y (x, y) = α f (x, y)
∂x
∂y
(b) Établir la réciproque.
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Corrections
Corrections
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Exercice 5 : [énoncé]
Exercice 1 : [énoncé]
Par composition la fonction g est dérivable et
(a) (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ) est différentiable donc g l’est aussi par composition.
(b) Par dérivation de la composition g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)
∂g
∂f
∂f
(r, θ) = cos θ (x, y) + sin θ (x, y)
∂r
∂x
∂y
∂f
∂f
∂g
(r, θ) = −r sin θ (x, y) + r cos θ (x, y)
∂θ
∂x
∂y
g0 (t) = 2∂1 f (2t, 1 + t2 ) + 2t∂2 f (2t, 1 + t2 )
Exercice 2 : [énoncé]
Par dérivation de fonctions composées
g0 (t) =
n
X
i=1
hi
∂f
(x1 + th1 , . . . , xn + thn )
∂xi
(c) En résolvant le système formé par les deux équations précédentes.
∂f
∂g
1
∂g
(x, y) = cos θ (r, θ) − sin θ (r, θ)
∂x
∂r
r
∂θ
∂g
1
∂g
∂f
(x, y) = sin θ (r, θ) + cos θ (r, θ)
∂y
∂r
r
∂θ
Exercice 3 : [énoncé]
(a) (u, v) 7→ (u2 + v2 , uv) est différentiable de R2 vers R2 car à composantes
polynomiales.
Par composition g est différentiable.
(b)
∂g
∂f
∂f
(u, v) = 2u (u2 + v2 , uv) + v (u2 + v2 , uv)
∂u
∂x
∂y
et
∂g
∂f
∂f
(u, v) = 2v (u2 + v2 , uv) + u (u2 + v2 , uv)
∂v
∂x
∂y
Exercice 4 : [énoncé]
Par composition de fonctions différentiables, g est différentiable
∂g
∂f
∂f
(r, θ) = cos θ (r cos θ, r sin θ) + sin θ (r cos θ, r sin θ)
∂r
∂x
∂y
et
∂g
∂f
∂f
(r, θ) = −r sin θ (r cos θ, r sin θ) + r cos θ (r cos θ, r sin θ)
∂θ
∂x
∂y
avec (x, y) = (r cos θ, r sin θ).
Exercice 6 : [énoncé]
Par dérivation de fonctions composées
d
d
∂f
∂f
(x, y) =
( f (x, y)) =
( f (y, x)) =
(y, x)
∂x
dx
dx
∂y
Exercice 7 : [énoncé]
(a) On dérive la relation par rapport à t avant d’évaluer en t = 0.
(b) Soit (x, y) ∈ R2 . On introduit la fonction ϕ : R → R définie par ϕ(t) = f (x + t, y + t).
La fonction ϕ est dérivable et ϕ0 (t) = 0 en vertu de l’hypothèse de travail. On en
déduit que la fonction ϕ est constante. L’identité ϕ(t) = ϕ(0) produit celle voulue.
En combinant ces deux relations, on obtient
∂f
∂g
sin θ ∂g
(x, y) = cos θ (r, θ) −
(r, θ) et
∂x
∂r
r ∂θ
∂f
∂g
cos θ ∂g
(x, y) = sin θ (r, θ) +
(r, θ)
∂y
∂r
r ∂θ
Exercice 8 : [énoncé]
On dérive la relation par rapport à t avant d’évaluer en t = 1.
Exercice 9 : [énoncé]
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Corrections
4
(a) En dérivant la relation f (tx, ty) = tn f (x, y) en la variable t
x
∂f
∂f
(tx, ty) + y (tx, ty) = ntn−1 f (x, y)
∂x
∂y
En évaluant en t = 1, on obtient
x
∂f
∂f
(x, y) + y (x, y) = n f (x, y)
∂x
∂y
(b) En dérivant la relation f (tx, ty) = tn f (x, y) en la variable x
t
donc, pour t , 0,
∂f
∂f
(tx, ty) = tn (x, y)
∂x
∂x
∂f
∂f
(tx, ty) = tn−1 (x, y)
∂x
∂x
Cette identité se prolonge aussi en t = 0 grâce à la continuité de
On peut conclure que ∂∂xf est de homogène de degré n − 1.
Idem pour ∂∂yf .
∂f
∂x .
Exercice 10 : [énoncé]
(a) En dérivant la relation f (tx, ty) = tα f (x, y) en la variable t :
x
∂f
∂f
(tx, ty) + y (tx, ty) = αtα−1 f (x, y)
∂x
∂y
En évaluant en t = 1, on obtient
x
∂f
∂f
(x, y) + y (x, y) = α f (x, y)
∂x
∂y
(b) Supposons que f vérifie l’équation proposée.
Pour (x, y) ∈ R2 , considérons ϕ : t 7→ f (tx, ty) − tα f (x, y) définie sur R∗+ .
ϕ est dérivable et tϕ0 (t) = αϕ(t). Après résolution et puisque ϕ(1) = 0, on obtient
ϕ(t) = 0 et donc f est homogène de degré α.
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