Fiche de cours : CALCUL DIFFERENTIEL ET DERIVEE
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Fiche de cours (résumé succinct): CALCUL DIFFERENTIEL ET DERIVEE PARTIELLES - Page 1 sur 3 Fiche de cours : CALCUL DIFFERENTIEL ET DERIVEE PARTIELLES. Ceci nβest pas un cours mais un résumé des notions importantes. Pour alléger les écritures, on considérera toujours f une fonction définie sur U, un ouvert de βp et à valeurs dans βn , a est un vecteur de U, π0 = π β π π‘π π + π β π . f : Uβ βp β βn telle que : π π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π = π1 (π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π ) π2 (π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π ) β¦β¦ ππ (π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π ) 1 β Dérivées partielles. f admet une dérivée partielle première ( dp1) en a β βp par rapport à π₯π , si la limite suivante existe : πππ π β0 π π1 , π2 , β¦ , ππ β π , β¦ , ππ β π(π1 , π2 , β¦ , ππ ) π Si elle existe, on note cette limite ο· Si π₯ β βp π π₯ = (π1 (π₯), β¦ , ππ (π₯) ) alors ο· Remarque importante : βπ βπ₯ j π = βπ1 Ainsi, à la j ο· βf M = βπ₯ j ème βf βπ₯ j π ,β¦, βπ₯ j Si f est une fonction de βp β βn , alors la dérivée partielle βf βπ₯ j βf βπ₯ j (a) . βππ βπ₯ j π est aussi une fonction de βp β βn . π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π correspond à la fonction dérivée partielle première de f, βf βπ₯ j , par rapport variable π₯j , au point π(π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π ) Propriétés. o On dit que : π πππ πͺπ πΌ , π π π πππππ‘ πππ ππ1 ππππ‘πππ’ππ π π’π π . o DL1(a) : Si f est C1 (U) alors il existe une fonction π avec πππ π π = 0 et telle que : π β0 π β π β π0 , π π+π = π π + ππ . π =1 o βπ π + π π(π) βπ₯j ππ π ππ π‘ πΆ 1 (π) πππππ π ππ π‘ ππππ‘πππ’π π π’π π . 2 β Dérivées secondes. Soit f qui admet une dp1 Si cette fonction ο· βf βπ₯ i βf βπ₯ i sur U. admet en a une dp1, Théorème de Schwarz ππ ππ ππ₯ π ππ₯ π 2 (π) , on la note : fβ²β²π₯ j π₯ i (a), ou D ji(a) ou : π2π ππ₯ π ππ₯ π (π) SCHWARZ Hermann Amandus (1843-1921), Allemagne Si sur U, les dp2 , β2 f β2 f et existent et sont continues, alors elles sont égales. βπ₯j βπ₯i βπ₯i βπ₯j ο· On dit que π πππ πͺπ (πΌ) π π π ππ π² , πéπππ£éππ ππππ‘ππππππ π πππππππ (ππ2 ), ππ₯ππ π‘πππ‘ ππ‘ π πππ‘ ππππ‘πππ’ππ . ο· ππ π ππ π‘ πΆ 2 (π) β π ππ π‘ πΆ 1 (π) (et donc f est continue). M. Duffaud Fiche de cours (résumé succinct): CALCUL DIFFERENTIEL ET DERIVEE PARTIELLES - Page 2 sur 3 3 β Différentielles. f est différentiable en a si β 1 appli. linéaire notée ππ π β β(βp , βn ) telle que : β fonction π telle que πππ π π = 0 π β0 β π β π0 , ο· π π + π = π π + ππ π π + π π(π) Propriétés. o ππ π est unique. o Si f de β dans β , ππ π π = π β² π . π. o π ππππéππππ‘πππππ ππ π β π ππ π‘ ππππ‘πππ’π ππ π (πéπππππππ’π πππ’π π π) . o π ππππéππππ‘πππππ ππ π β π πππππ‘ ππ ππ1 ππ π (πéπππππππ’π πππ’π π π) . o f différentiable en a β ππ π π = o π ππ π‘ πΆ 1 π β π ππ π‘ ππππéππππ‘πππππ ππ π ππ π (πéπππππππ’π πππ’π π π) . o f est C1 (U) βΊ lβapplication π β ππ π est continue. (Avant on nommait fonction continûment différentiable une fonction C1 ) βπ π π =1 βπ₯ j π . ππ = ππππ π π π et ππ π ππ = βπ βπ₯ j π Bilan les dp1de f en a β Les dp1 β et sont continues en a f différentiable en a f continue en a 4-Différentielles de fonctions C1. ο· f est π π (π) β π ππ π π = π =1 βπ π . ππ = βπ₯j ππππ π π π ο· π πππéππππ ππ β βπ , βπ β π ππ π‘ πΆ 1 ππ‘ ππ π = π ο· On note pj la projection définie par : pj(h) = hj (application linéaire), alors : da pj = pj = dxj (notation car indépendant de a), π ππ π = π =1 ο· βπ π . ππ₯π βπ₯j Jacobien. π₯π π = βππ π βπ₯j 1 β€i β€n 1 β€j β€p π₯π π β ππ ,π β , est la Matrice jacobienne de f en a. Le jacobien de f en a est le déterminant de cette matrice. M. Duffaud Fiche de cours (résumé succinct): CALCUL DIFFERENTIEL ET DERIVEE PARTIELLES - Page 3 sur 3 ο· Composition dβapplications C1. βq ββ π βp ββ π βn 1 1 Si f, g C , alors gof est C , et ππ πππ = ππ(π) π π ππ π π₯πππ π = π₯π π π . π₯π π β(πππ)π π = βπ₯j 6 β Compléments. ο· Taylor Young ordre 2 π π=1 βππ βππ π(π) . π βπ₯k βπ₯j pour 1β€iβ€n 1β€jβ€q U ouvert de βp , si f est C 2 (U), π π π+π β π π = π=1 βπ 1 π . ππ + βπ₯π 2 π π=1 β²π π . ππ2 + βπ₯i2 π β²π βπ₯i βπ₯j 1β€π<π β€π π . ππ ππ + π π ² M. Duffaud