Blatt 9

Prof. K. Tent
Dr. I. Halupczok
Dr. F. Jahnke
Universität Münster
Sommersemester 2013
Gruppentheorie
Übungsblatt 9
Aufgabe 1. Seien G = hX | Ri und H = hY | Si Gruppen mit X ∩ Y = ∅.
Zeigen Sie, dass
G ∗ H = hX ∪ Y | R ∪ Si
gilt.
0 1
0 −1
Aufgabe 2. Betrachten Sie S =
und T =
. Zeigen Sie,
−1 0
1 1
dass SL(2, ) von S und T erzeugt wird.
Hinweis: Sei G = hS, T i. Zeigen Sie zunächst, dass jedes A ∈ SL(2, ) mit
einem Koeffizienten 0 in G liegt. Sei |a| minimal, so dass es eine Matrix
A ∈ SL(2, ) \ G gibt, in der a als Koeffizient vorkommt. Betrachten Sie eine
Matrix A ∈ SL(2, ) \ G, in welcher a als Koeffizient auftaucht. Verwenden
Sie nun den euklidischen Algorithmus.
Z
Z
Z
Z
1 2
1 0
Aufgabe 3. Sei A =
und B =
. Zeigen Sie, dass die von A
0 1
2 1
und B in SL(2, ) erzeugte Untergruppe frei von Rang 2 ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Wirkung auf 2 und wenden Sie das PingpongLemma auf X1 = {( xy ) ∈ 2 | |x| > |y|} und X2 = {( xy ) ∈ 2 | |x| < |y|}
an.
Z
R
R
R
Aufgabe 4. Sei G = H1 ∗ · · · ∗ Hn .
a) Zeigen Sie: Ist A ≤ G eine abelsche Untergruppe, so ist A zyklisch oder
es gibt i ≤ n, g ∈ G mit A ≤ gHi g −1 .
*b) Benutzen Sie a), um die auflösbaren Untergruppen von G zu beschreiben, falls H1 , . . . , Hn zyklisch sind.
Hinweis: Wie sieht der Normalisator einer abelschen Untergruppe aus?
Abgabe bis Dienstag, den 17.6., 08:00 Uhr
Die Übungsblätter sollen zu zweit bearbeitet und abgegeben werden.
Web-Seite: http: // wwwmath. uni-muenster. de/ u/ franziska. jahnke/ gt/