Faktorgruppen, Nebenklassen und Normalteiler - mathematik

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Faktorgruppen, Nebenklassen
und Normalteiler
Um Folgendes zu verstehen sind grundlegende Kenntnisse über Gruppen notwendig. Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen sind von großer Bedeutung für die gesamte Algebra und darüber hinaus.
Spezielle Faktorgruppen sind die so genannaten Faktorräume, an die zusätzliche Forderungen gestellt
werden. Faktorgruppen werden aus Gruppen und deren Normalteiler gebildet, entsprechend werden Faktorringe aus Ringen und Idealen gebildet. In diesem Dokument beschränken wir uns jedoch auf das Studium der Faktorgruppen.
Faktorgruppen bestehen aus so genannten Nebenklassen. Nebenklassen werden aus einer Untergruppe H
einer Gruppe G und einem Element a aus der Gruppe G konstruiert. Wir starten unsere Untersuchungen
deshalb mit den Links- bzw. Rechtsnebenklassen.
Definition:
Es sei G eine Gruppe, H<G eine Untergruppe (=:UG). Eine Linksnebenklasse von H in G ist eine Teilmenge von G der Gestalt
aH := {ah |h ∈ H, a ∈ G }
a+H := {a+h |h ∈ H, a ∈ G }
(in multiplikativer Gestalt)
(in additiver Gestalt).
Analog dazu werden die Rechtsnebenklassen von H in G definiert.
Ha := {ha |h ∈ H, a ∈ G }
H+a := {h+a |h ∈ H, a ∈ G }
(in multiplikativer Gestalt)
(in additiver Gestalt).
,
Durch die Definition in multiplikativer Gestalt wird gleichzeitig eine Äquivalenzrelation AH ⊆ (G × G) auf G
festgelegt durch
(a, b) ∈ AH
⇔
b=ah, für ein h ∈ H.
Wir überzeugen uns zunächst davon, dass AH wirklich eine Äquivalenzrelation auf G definiert.
Für alle a aus G liegt (a, a) in AH , da a=a ⋅ 1 gilt und das Einselement in jeder Gruppe liegt und damit auch
in H. Somit gilt die Reflexivität.
Sei (a, b) ∈ AH, also b=ah für ein h aus H. Dann gilt auch a=bh-1, und h-1 ∈ H, da H ja eine UG ist. Somit gilt
die Symmetrie.
Seien (a, b) ∈ AH und (b, c) ∈ AH. Dann gibt es h, h’ aus H mit b=ah und a=ch’.
Es folgt b = ah = (ch’)h = c(h’h), und hh’ liegt in H. Somit gilt (a, c) ∈ AH, die Transitivität.
,
Analog könnte man einen Beweis für die additive Notation führen. Wir wissen, dass eine Äquivalenzrelation die zu Grunde gelegte Menge in Äquivalenzklassen zerlegt. Und die Äquivalenzklassen entsprechen
dann gerade für fixiertes a ∈ G den Mengen
aH := {ah |h ∈ H}
a+H := {a+h |h ∈ H}
(in multiplikativer Gestalt)
(in additiver Gestalt),
je nach Notation. Analog könnte man alle Sachverhalte für die Rechtsnebenklassen formulieren. Die Nebenklassen entsprechen also den Äquivalenzklassen der o.g. Äquivalenzrelation.
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Definition:
Die Äquivalenzklassen bezüglich AH werden Linksnebenklassen modulo H (bzw. Rechtsnebenklassen
modulo H) genannt. Ist aH eine Linksnebenklasse (bzw. Ha eine Rechtsnebenklasse), so wird a ein Vertreter oder Repräsentant genannt.
,
Beispiel:
Sei G=( /6 , +). Es ist H={0, 3} eine UG von G, da z.B. 3 zu sich selbst in
bestimmen die Linksnebenklassen modulo H.
/6
invers ist. Wir
H=
in
0+H = 3+H
1+H = 4+H
2+H = 5+H
. Es sind also
0+H = {0,3}
1+H = {1,4}
2+H = {2,5}
/6
die verschiedenen Linksnebenklassen modulo H.
,
Satz 1:
Sei G eine Gruppe und H<G eine UG von G. Seien a und b aus G, dann gilt:
(a) |aH| = |bH|,
d.h. je zwei Nebenklassen sind gleichmächtig
(b) Sei aH ≠ a’H, dann ist aH ∩ a’H= ∅
(c) G =
aH
∑
a∈G
(disjunkte Vereinigung)
BEWEIS:
(a): Für a aus G ist die Linkstranslation H → aH, h ah, bijektiv. Folglich sind alle Linksnebenklassen
gleichmächtig, da alle Linksnebenklassen bijektiv H zugeordnet werden können. Da die Linkstranslation
(oft auch Linksmultiplikation genannt) bijektiv ist, muss eine Umkehrfunktion existieren - diese ist gegea-1(ah) = h.
ben durch aH → H mit ah
Die restlichen Beweise ergeben sich unmittelbar aus folgendem Lemma bzw. aus dem eben bewiesenem
Fakt, dass AH ⊆ (G × G) eine Äquivalenzrelation ist.
,
Lemma 2:
Seien aH und bH Linksnebenklassen von der UG H in der Gruppe G. Dann sind äquivalent:
(a)
(b)
(c)
(d)
aH = bH
aH ∩ bH ≠ ∅
a ∈ bH
b-1a ∈ H.
BEWEIS:
Zwei Äquivalenzklassen aH und bH sind entweder gleich oder disjunkt. Wegen H ≠ ∅ (da H eine Untergruppe ist und damit zumind. 1 in G liegt) folgt trivialerweise (b).
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Ist (b) gegeben, so existiert ein c ∈ aH ∩ bH, etwa c=ah1=bh2, mit h1, h2 ∈ H. Es folgt also a=bh2(h1)-1 ∈ H
und somit (c) bzw. die hierzu äquivalente Bedingung (d).
Gilt (d) so erhält man a ∈ bH und folglich aH ⊂ bH. Da mit b-1a aber auch das hierzu inverse Element a-1b
zu H gehört, folgt entsprechend bH ⊂ aH und somit aH=bH.
,
Beispiel:
Sei G= , und sei H=n für ein n ∈ . Wir bestimmen die verschiedenen Linksnebenklassen modulo H.
Die verschiedenen Linksnebenklassen von n sind
0+n
, …, (n-1) + n
.
Sei a ∈ . Wir dividieren a durch n mit Rest r und erhalten a=qn+r mit 0 ≤ r<n. Dann gilt a+n
Aufgrund der Eingrenzung von r folgt, dass 0+n , …, (n-1)+n alle Linksnebenklassen von
=r+n
sind.
.
Es bleibt zu zeigen, dass diese Linksnebenklassen verschieden sind. Dazu sei x ∈ (m+n ) ∩ (m’+n ) für
0 ≤ m, m’<n. Dann gibt es z, z’ ∈
mit x=m+nz=m’+nz’. Es folgt 0=(m-m’)+n(z-z’) ∈ n . Somit gilt
m-m’=0, denn –(n-1)<m-m’<n-1, also m=m’.
,
Mit Hilfe von Links- bzw. Rechtsnebenklassen werden wir im weiteren einen der wohl wichtigsten Sätze
der gesammten Algebra beweisen. Obwohl der so genannte Satz von Lagrange von entscheidender Bedeutung ist, ist dessen Beweis denkbar einfach zu erbringen. Dazu benötigen wir noch die
Definition:
Sei H<G. Wenn es nur endlich viele Linksnebenklassen modulo H gibt, dann wird die Anzahl dieser Linksnebenklassen der Index von H in G genannt und mit [G:H] bezeichnet.
,
Der Index sagt uns also, wieviele Linksnebenklassen aus einer Untergruppe H einer Gruppe G gebildet
werden können.
Beispiel:
Sei G=
, und sei H=5
, es ist also H<G. Mit dem Beweis aus letztem Beispiel wissen wir, dass
0 + 5 , …, 4 + 5
= 5 , …, 9
alle Linksnebenklassen von H in G sind. Offensichtlich ist der Index [
ma bestätigen wird.
:5
]=5, was auch folgendes Lem-
,
Dass jede Nebenklasse einer Untergruppe H<G dieselbe Anzahl an Elementen enthält, haben wir bereits in
Satz 1 bewiesen. Wir zeigen dieselbe Tatsache noch einmal, nur diesmal mit der Umkehrfunktion.
Lemma 3:
Sei G eine Gruppe, und sei H eine endliche Untergruppe von G. Dann haben alle Linksnebenklassen modulo H die Mächtigkeit |H|.
Die Anzahl der verschiedenen Linksnebenklassen aH von H ist gleich der Anzahl der verschiedenen
Rechtsnebenklassen Ha.
BEWEIS:
Sei a ∈ G. Wir definieren eine Abbildung
f: aH → H
durch f(ah) = a-1ah=h
für alle ah ∈ H.
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Offenbar ist f surjektiv, denn zu jedem h ∈ H gibt es ah ∈ aH mit f(ah)=h.
Seien ah, ah’ ∈ aH mit f(ah)=f(ah’). Dann gilt f(ah)=h=h’=f(ah’), also ah=ah’. Somit ist f auch injektiv,
also bijektiv. Da aH und H endliche Mengen sind, folgt |aH|=|H| für alle a aus G.
Auch die zweite Behauptung wird durch eine spezielle Abbildung: Für alle a aus G überführt aH 6 Ha-1 die
Menge der Linksnebenklassen in die Menge der Rechtnebenklassen, da für jedes a aus G auch das Inverse
a-1 in G liegen muss. Für a, b aus G gilt
aH = bH ⇔ ∃ h ∈ H, so dass a = bh ⇔ b-1a ∈ H ⇔ b-1H = Ha-1.
Nun zeigt „ ⇒ “, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und „ ⇐ “ liefert die Injektivität der Abbildung. Wegen Ha=H(a-1)-1 ist die Abbildung auch surjektiv und damit bijektiv.
,
Es sei hier nochmals ausdrücklich erwähnt, dass alle Erkenntnisse auch für Rechtsnebenklassen analog
erbracht werden können. Genauso kann man bspw. Lemma 3 auch für additiv notierte Gruppen beweisen.
Entsprechende müsste man für Lemma 3 eine Abbildung f(h+a)=h+a-a=h definieren.
Nun der bereits erwähnte Satz von Lagrange, einer der wichtigsten Sätze der Algebra. Dieser findet Anwendung in den unterschiedlichsten Bereichen der Mathematik, insbesondere der Kryptogrphie.
Satz 3: (Lagrange, 1736-1813)
Sei G eine endliche Gruppe, und sei H eine Untergruppe von G. Dann gilt
|G| = [G:H] ⋅ |H|.
BEWEIS:
Im Beweis spielen, wie sollte es anders sein, die verschiedenen Linksnebenklassen eine Rolle. Sei
[G:H]=k, und seien g1H, …, gkH die verschiedenen Linksnebenklassen modulo H. Da AH eine Äquivalenzrelation auf G ist, folgt
k
.
G= ∪ gH
i
i=1
Da giH ∩ gjH = ∅ für alle i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ k, denn Äquivalenzrelationen sind disjunkt oder gleich -nach Satz 1, folgt
|G| =
k
∑ gH .
i=1
i
Da |giH|=|H| mit dem Lemma 2, erhalten wir
|G| =
k
∑ H =k|H|=[G:H] ⋅ |H|.
i=1
,
Der Satz von Lagrange ist ein sehr gewinnbringender. Viele bedeutende Folgerungen können aus ihm gezogen werden.
Korollar 4:
(a) Sei G eine endliche Gruppe, und sei H eine Untergruppe von G. Dann ist die Ordnung von H ein
Teiler der Ordnung von G.
(b) Sei G eine endliche Gruppe, und sei |G|=p prim. Dann hat G nur die trivialen Untergruppen {e}
und G.
(c) Sei G eine endliche Gruppe, und sei |G|=p prim. Sei a ∈ G, a ≠ e. Dann gilt <a>=G.
(d) Sei G eine endliche Gruppe, und sei a ∈ G. Dann ist ord(a) ein Teiler der Ordnung von G.
(e) Sei G eine endliche Gruppe, und sei a ∈ G. Dann gilt a|G|=e.
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BEWEIS:
Der Beweis zu (a) ergibt sich unmittelbar aus dem Satz von Lagrange.
(b): Da die Untergruppenordnung |H| die Gruppenordnung |G|=p teilt und p eine Primzahl (die nur durch
sich selbst und durch 1 teilbar ist), müssen alle Untergruppen entweder die Ordnung 1 oder p besitzen.
Eine Untergruppe H ist niemals die leere Menge, da stets das neutrale Element in H liegt, es gilt also zumind H={e}, also |{e}|=1. Ist H ≠ {e}, also |H|>1, dann muss ein Element a ≠ e in H existieren. Ferner
muss |H| ein Teiler von |G|=p sein, dies ist jedoch nur noch für |H|=p nach dem Satz von Lagrange möglich, also muss H=G sein.
(c): Aus dem eben geführten Beweis folgern wir weiter, dass jede Gruppe deren Ordnung eine Primzahl ist
zyklisch ist (, d.h. es gelten die Bedingungen von oben). Dazu muss man nunmehr beachten, dass für a
aus G das Erzeugnis <a> eine Gruppe ist. Da aber ord(a) nur noch p sein kann, da a ≠ e in H, muss
<a>=G sein. Auf zyklische Gruppen wird in diesem Dokument nicht näher eingegangen.
(d): Da für a aus G die Ordnung dieses Elements ord(a):=|<a>| und <a> stets eine Untergruppe von G
ist, folgt die Behauptung nun unmittelbar mit dem Satz von Lagrange.
(e): Es ist ord(a) ein Teiler von |G|, also |G|=ord(a) ⋅ n für ein n ∈
. Weiter gilt aord(a)=e. Es folgt also
a|G|=aord(a)n=en=e,
die Behauptung.
,
Beachten Sie, dass wir auf dem Weg zur Faktorgruppe einen sehr bedeutenden Satz bewiesen haben. Bereits an dieser Stelle kann man die Wichtigkeit dieser Konstrukte erkennen. Ohne das Konzept der Rechtsbzw. Linksnebenklassen kommt man bei Faktorgruppen nicht aus, deshalb folgendes
Beispiel:
Sei G=S3, also
⎪⎧⎛1
⎪⎩⎝1
G= ⎪⎨⎪⎜⎜⎜
⎧⎛1
⎪
⎩⎪⎝1
Sei S= ⎪⎨⎪⎜⎜⎜
2
2
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
3⎠⎟ ⎝⎜2
2
2
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
3⎠⎟ ⎝⎜2
2
1
2
1
3⎞⎟⎪⎫⎪
⎟⎟⎬
3⎠⎟⎪⎪⎭
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
3⎠⎟ ⎝⎜3
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
1⎠⎟ ⎝⎜1
2
2
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
2⎠⎟ ⎝⎜3
2
3
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
2⎠⎟ ⎝⎜2
2
1
2
3
3⎞⎟⎪⎪⎫
⎟⎟⎪⎬
1⎠⎟⎭
⎪
.
. Es ist S eine Untergruppe von G. Die Rechtsnebenklassen modulo S sind
⎪⎧⎛1
⎪⎩⎝1
3⎞⎟⎪⎫⎪
⎟⎟⎬
3⎠⎟⎪⎪⎭
S°
⎛⎜1
⎜⎜
⎜⎝1
2
2
3⎞⎟⎟
⎟
3⎠⎟
=S°
⎛1
⎜⎜⎜
⎜⎝2
2
1
3⎞⎟⎟
⎟=
3⎠⎟
S= ⎪⎨⎪⎜⎜⎜
S°
⎛⎜1
⎜⎜⎝3
2
2
3⎞⎟
⎟⎟
1⎠⎟
=S°
⎛⎜1
⎜⎜⎝3
2
1
3⎞⎟
⎟⎟ =
2⎠⎟
2
2
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
1⎠⎟ ⎝⎜3
2
1
3⎞⎟⎫⎪⎪
⎟⎟⎬ ,
2⎠⎟⎪⎪⎭
S°
⎛⎜1
⎜
⎜⎝1
2
3
3⎞⎟
⎟⎟
2⎠⎟
=S°
⎛⎜1
⎜
⎜⎝2
2
3
3⎞⎟
⎟⎟ =
1⎠⎟
⎧⎪⎛1
⎪⎜
⎨⎜⎜
⎪⎪⎝3
⎩
⎧⎪⎛1
⎪⎨⎜
⎪⎜⎜⎝1
⎩⎪
2
3
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
2⎠⎟ ⎝⎜2
2
3
3⎞⎟⎪⎫⎪
⎟⎟⎬ .
1⎠⎟⎪⎭⎪
⎪⎧⎛1
⎩⎪⎝1
2
2
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
3⎠⎟ ⎝⎜2
2
1
3⎞⎟⎪⎫⎪
⎟⎟⎬
3⎠⎟⎪⎭⎪
2
2
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
3⎠⎟ ⎝⎜2
2
1
,
Die Linksnebenklassen modulo S sind
⎛⎜1
⎜⎜
⎜⎝1
2
2
3⎞⎟⎟
⎟
3⎠⎟
°S=
⎜⎜⎛1
⎜⎜⎝2
2
1
3⎞⎟⎟
⎟
3⎠⎟
° S = ⎪⎨⎪⎜⎜⎜
⎛⎜1
⎜
⎜⎝3
2
2
3⎞⎟
⎟⎟
1⎠⎟
°S=
⎛⎜1
⎜
⎜⎝2
2
3
3⎞⎟
⎟⎟
1⎠⎟
°S=
⎪⎧⎪⎛1
⎨⎜⎜
⎪⎜
⎩⎪⎝3
2
2
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
1⎠⎟ ⎝⎜2
2
3
3⎞⎟⎪⎫⎪
⎟⎟⎬ ,
1⎠⎟⎭⎪⎪
⎛⎜1
⎜⎜⎝1
2
3
3⎞⎟
⎟⎟
2⎠⎟
°S=
⎛⎜1
⎜⎜⎝3
2
1
3⎞⎟
⎟⎟
2⎠⎟
°S=
⎧⎛1
⎪
⎪
⎨⎜⎜⎜
⎪
⎪
⎩⎝1
2
3
3⎞⎟ ⎛⎜1
⎟⎟,⎜
2⎠⎟ ⎝⎜3
2
1
3⎞⎟⎪⎫⎪
⎟⎟⎬ .
2⎠⎟⎪⎪⎭
,
Wie wir bereits erwähnt haben sind die Vertreter von Links- bzw. Rechtsnebenklassen nicht eindeutig.
Ferner haben alle Links- bzw. Rechtsnebenklassen –nach Lemma 3- die Mächtigkeit 2, da die Untergruppe
S die Mächtigkeit 2 besitzt.
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Vereinigt man bspw. die Menge aller Rechtsnebenklassen so erhält man gerade S3. Ferner sind alle unterschiedlichen Rechtsnebenklassen paarweise disjunkt zueinander.
,
Inzwischen wissen wir bereits einiges über die Elemente der Faktorgruppen, den Nebenklassen.
Wir können an obigem Beispiel weiterhin sehr schön erkennen, dass Linksnebenklassen im Allgemeinen
keine Rechtsnebenklassen sind und das i.d.R. für ein a aus G gilt: aS ≠ Sa. Es ist also eine ausgezeichnete
Situation in welcher die Rechts- und Linksnebenklassen einer Untergruppe S einer Gruppe G übereinstimmen.
Wann also entsprechen sich Rechts- und Linksnebenklassen?
Diese Frage werden wir im nun klären:
Proposition 5: (Kriterium für die Gleichheit von Nebenklassen)
Sei S eine UG von G, es gilt also S<G. Seien a, b ∈ G. Dann gilt
(a) Für Rechtsnebenklassen:
Sa = Sb ⇔
ab-1 ∈ S
(b) Für Linksnebenklassen:
aS = bS ⇔
ab-1 ∈ S
BEWEIS:
(a)
⇒ Sei Sa=Sb. Da a ∈ Sa (es ist das neutrale Element in S enthalten), folgt a ∈ Sb. Es existiert also –
aufgrund der Gruppeneigenschaften- ein s ∈ S mit a=sb. Es folgt durch Äquivalenzumformung ab-1 ∈ S.
⇐ Sei ab-1=s für ein s ∈ S. Dann folgt a=sb, und damit Sa=S(sb)=Sb.
(b) analog.
,
Beispiel:
Sei G=( ,+) und H=4 eine Linksnebenklasse von G. Mit der Proposition 5 gilt (64+4
da 64-8=56 ≡ 4 (mod 4).
) = (8+4
),
,
Wir haben bereits erwähnt, dass für ein a aus einer Gruppe G, und S Untergruppe von G, im Allgemeinen
aS ≠ Sa gilt. Gilt jedoch die Gleichheit aS = Sa für alle a aus der Gruppe G, so erhalten diese speziellen
Nebenklassen auch einen eigenen Namen.
Definition:
Sei S eine Untergruppe von G. Wenn Sa=aS für alle a ∈ G gilt, so wird S ein Normalteiler von G genannt,
und wir schreiben S G.
,
Ausschlaggebend für die Definition der Normalteiler war die Entwicklung bzw. Ausarbeitung der GaloisTheorie. Diese ist das Kernstück der klassischen Algebra und der Hauptsatz der Galois-Theorie beschreibt,
wann eine algebraische Gleichung n-ten Grades im Allgemeinen bzw. Speziellen lösbar ist durch Radikale.
Folgende Charakterisierung von Normalteilern wird sich in vielen Situationen als nützlich erweisen.
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Proposition 6: (Charakterisierung von Normalteilern)
Sei S eine UG von G. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(i)
(ii)
(iii)
S G
Für alle a ∈ G gilt aSa-1 ⊆ S
Für alle a ∈ G gilt aSa-1=S
BEWEIS:
Da G eine Gruppe ist existiert zu jedem a aus S auch das Inverse a-1. Ferner gilt, wegen aS=Sa,
S=Saa-1= (Sa)a-1=(aS)a-1=aSa-1.
(i) ⇒ (ii)
Sei Sa=aS für alle a ∈ G. Sei asa-1 ∈ aSa-1. Da as ∈ aS=Sa, gibt es ein s’ ∈ S mit as=s’a.
Es folgt asa-1=s’(aa-1)=s’ ∈ S, also aSa-1 ⊆ S.
(ii) ⇒ (iii)
Für alle a ∈ G gelte aSa-1 ⊆ S. Dann gilt a-1Sa ⊆ S, denn a-1 ∈ G. Es folgt S=a(a-1Sa)a-1 ⊆ aSa-1, also S=aSa-1.
(iii) ⇒ (i)
Für alle a ∈ G gelte aSa-1=S. Es folgt Sa=(aSa-1)a=aS, die Behauptung.
,
Nun noch einige Beispiele zu Normalteilern.
Beispiele:
(a) Für jede Gruppe G ist {eG} eine Untergruppe von G, und {eG} ist auch ein Normalteiler von G.
(b) Sei S ein Normalteiler einer Gruppe G, und sei H eine UG von G, die S enthält. Dann ist S auch eine Untergruppe von H, und wegen aSa-1=S für alle a ∈ H, ist S auch ein Normalteiler von H.
(c) Sei G eine abelsche Gruppe. Dann gilt aSa-1=S für alle UG von G, das heißt, alle UG von G sind
Normalteiler von G.
(d) Es ist G={(a,b) ∈
2
| a ≠ 0} eine Gruppe mit neutralem Element (1,0) und den Inversen ( 1a , − b a ).
zu (a,b). Für alle (a,b), (c,d) aus G definieren wir eine multiplikative Verknüpfung durch
sind.
(a,b)(c,d)=(ac, ad+b), wobei die Verknüpfung in den Klammern die aus
Es ist K={(1, b)| b ∈ } ein Normalteiler von G. Wir zeigen zunächst, dass K eine UG von G ist.
Dazu benutzen wir das UG-Kriterium.
Die Menge K ist nicht leer, denn (1,0) ∈ K. Seien (1,b), (1,c) ∈ K. Dann gilt (1, c)-1=(1, -c), und
(1,b)(1, -c)=(1, b-c) ∈ K.
Mit dem UG-Kriterium folgt, dass K eine UG von G ist.
Zum Nachweis, dass K ein Normalteiler von G ist, reicht es (mit der Charakterisierung von Normalteilern) zu zeigen, dass (a,b)K(a,b)-1 ⊆ K ist. Sei also (1,c) ∈ K, dann gilt
[ (a,b)(1,d) ]( 1a , − b a ) = (a, ac+b)( 1a , − b a )=(1, -b+ac+b) = (1, ac) ∈ K.
,
Damit ist K ein Normalteiler von G.
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Bemerkung:
Seien G und H Gruppen, und sei φ :G → H ein Gruppenhomomorphismus. Ein sehr bedeutender Normalteiler von G ist der Kern( φ ). Sei a ∈ G und x ∈ Kern( φ ). Dann gilt
φ (axa-1)
φ = φ (a) φ (x) φ (a-1)
φ = φ (a)eH( φ (a))
|da homomorph
|da x aus Kern
-1
=eH.
|da das Inverse von a gleich dem Inversen des Bildes von a
|da φ (a)eH= φ (a)
Mit dieser Gleichung folgt, dass für alle a aus G der Ausdruck a(Kern( φ ))a-1 selbst im Kern als Teilmenge
liegt. Es gilt also
∀ a ∈ G:
a(Kern( φ ))a-1 ⊆ Kern( φ ).
Somit ist Kern( φ ) ein Normalteiler von G.
,
Nun schließlich definieren wir den zentralen Begriff auf welchen wir hingearbeitet haben.
Definition:
Sei G eine Gruppe und S ein Normalteiler von G, es ist also S
G. Wir bezeichnen mit
G/S = {aS = Sa | a ∈ G}
die Menge aller Links- bzw. Rechtsnebenklassen von G modulo S. Auf dieser Menge definieren wir folgende Verknüpfungen
⋅ : G/S × G/S → G/S
def. durch
(aS, bS)
(ab)S.
Es wird G/S die Faktorgruppe oder Quotientengruppe von G nach S genannt.
,
Man kann zeigen, dass die genannte Zuordnung wohldefiniert, also unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. Der Begriff der „Wohldefiniertheit“ bereitet vielen Interessiereten und Studierenden der
Mathematik Probleme, da dieser Begriff i.d.R. nicht eindeutig definierbar ist.
Die folgende Rechnung zeigt, dass es sich bei der oben festgelegten Verknüpfung in der Tat um eine
Funktion handelt, d.h. jedem Urbildpunkt wird nur ein eindeutiger Bildpunkt zugeordnet. Zu zeigen ist:
Ist aS = a’S und bS = b’S, so ist auch (ab)S = (a’b’)S.
Um den Beweis zu führen nutzen wir lediglich aus, dass gilt:
Da aS=a’S existiert ein x aus S, so dass a=xa’. Entsprechend existiert ein y aus S, so dass b=yb’. Wenden
(ab)S und (a’S, b’S)
wir nun die Definition der Verknüpfung an, so erhalten wir aus (aS, bS)
(a’b’)S. Also folgt mit den Gleichungen von oben (xa’yb’)S. Da S ein Normalteiler ist folgt (Sx)a’yb’ =
Sa’yb’ = a’(Sy)b’ = a’Sb’ = a’b’S. Damit ist alles gezeigt.
,
Der Name Faktorgruppe kommt auch nicht von ungefähr, denn die Faktorgruppe G/S zusammen mit der
wohldefinierten Zuordnung bildet eine Gruppe. Beachten Sie, dass S notwendigerweise ein Normalteiler
sein muss, so dass die Faktorgruppe definierbar ist.
Es sei G/S die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers S in G. Es ist gleichgültig, ob wir die Linksoder Rechtsnebenklassen ansprechen, da beide Mengen identisch sind. Zunächst ist also G/S eine Menge
von Teilmengen von G.
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Definition:
Es sei G/S eine Faktorgruppe von G, wie oben in der Definition festgelegt. Die Abbildung
π:G
→ G/S mit
π (g):= gS
ist ein Homomorphismus von Gruppen und wir nennen
,
π
die kanonische Projektion.
Die Abbildung π ordnet also jedem Gruppenelement die Nebenklasse zu, in der dieses Element liegt. Offensichtlich ist π surjektiv, da alle g in gS liegen und damit zumindest ganz G getroffen wird bzw. alle
möglichen Nebenklassen gebildet werden.
Wir haben bereits weiter oben in der Bemerkung festgehalten, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.
Der folgende Satz untersucht die mit dem Kern erzeugte Faktorgruppe.
Satz 7: (Homomorphie-Satz für Gruppen)
Sei
φ :G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist G/Kern( φ ) isomorph zu Bild( φ ). Genauer, es ist
Φ : G/Kern( φ ) → Bild( φ )
gKern( φ )
φ (g)
ein Isomorphismus von Gruppen.
Beweis:
Wir zeigen zunächst, dass Φ ein Homomorphismus ist. Dazu seien gKern( φ ), g’Kern( φ ) Elemente aus
G/Kern( φ ). Sodann gilt
Φ ( gKern( φ )g’Kern( φ ) )
= Φ ( (gg’)Kern( φ ) ) = φ (gg’) = φ (g) φ (g’)
= Φ ( gKern( φ ) ) Φ ( g’Kern( φ ) ).
Es bleibt zu zeigen, dass Φ injektiv und surjektiv ist. Dazu sei zunächst gKern( φ ) aus Kern( Φ ), also
φ (g) = eH. Damit liegt g im Kern von φ , also gKern( φ ) = Kern( Φ ). Da wir uns über einer Faktorgruppe
befinden die aus Nebenklassen besteht und Kern( φ ) als neutrales Element besitzt, folgt damit die Injektivität von Φ . Sei h nun ein Element aus Bild( Φ )=Bild( φ ), dann gibt es ein g aus G mit φ (g)=h. Es folgt
damit Φ ( gKern( φ ) ) = φ (g)=h, also ist Φ surjektiv.
Der Nachweis, dass die oben festgelegte Zuordnung für Φ wohldefiniert ist, sollte der Leser nach obigem
Vorbild selber schaffen.
,
Beispiel:
Sei G=
, und H=
/n
für ein n>1. Wir definieren φ :
→
/n
durch φ (a)=a mod n. Dann ist φ ein
Gruppenhomomorphismus.
Welche Elemente enthält dann
/Kern( φ )?
Diese Frage haben wir eigentlich bereits beantwortet. Zunächst sollten wir klären, was wir unter Kern( φ )
zu verstehen haben. Es ist Kern( φ ) die Menge von Zahlen aus G, welche unter φ auf das neutrale Element von H abgebildet wird. Also ist Kern( φ )=n
={…, -2n, -n, 0, n, 2n, …}, die Menge aller
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Vielfachen von n. Dies ist sofort ersichtlich, wenn man sich vor Augen führt, dass in dieser UG (Restklasse) auch stets 0 als Repräsentant gewählt werden kann.
Mit den bisherigen Erkenntnissen ist dann klar, dass /Kern( φ ) = {a+ n | a ∈ n }
= 0+n
, …, (n-1)+n
, die Menge der Nebenklassen modulo n
Der Homomorphiesatz sagt nun aus, dass die Faktorgruppe
ist.
/Kern( φ ) isomorph zum Bild von φ ist. Hier
sind die Mengen sogar identisch.
,
Der Homomorphiesatz besgat also, dass wir alle homomorphen Bilder (bis auf Isomorphismus) von G,
wenn wir alle Normalteiler und damit alle Faktorgruppen von G kennen.
Folgerung 8:
Sei φ :G → H ein Gruppenhomomorphismus, so gilt
|G| = |Kern( φ )| ⋅ |Bild( φ )|.
Beweis:
Sei S:=Kern( φ ), dann gilt |G/S|=[G:S], und aus dem Satz von Lagrange folgt |G|=|S| ⋅ |G/N|. Nach dem
Homomorphiesatz ist |G/N|=|Bild( φ )|, denn beide Gruppen sind isomorph.
Es folgt | G| = |Kern( φ )| ⋅ |Bild( φ )|, wie behauptet.
,
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